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1、,几何与代数,关秀翠,东南大学数学系,习题解析第四章,教学内容和学时分配,第四章 n维向量, 能由向量组 I:1,s线性表示,r(A)=r(A,), Ax = 有解., L(1,2,s) = R(A),1,2,s与1,2,t等价,L(1,2,s)=L(1,2,t),r(A)=r(A,B)=r(B), 矩阵方程 AX=B, BY=A都有解.,1, ,t能由1,s线性表示 AX=B 有解.,等价的向量组(相同个数)构成的矩阵必等价(相抵).,一、向量组的线性表示与等价,反之不成立,x11+x22+xss= 只在x1=x2=xs=0时成立.,(1,s)x= 只有零解., (1,s)x=Ax= 有非零
2、解,向量组1,s-1,s线性相关,向量组1,s-1,s 线性无关, r(A) s, r(A) = s =向量个数, 某个向量i可由其余的向量线性表示.,共线共面的推广,唯一表示定理: I l.i.,I,l.d.可由I 唯一线性表示.,Th4.3 大向量组由小向量组线性表示大向量组l.d.,Th4.5. 若I可由II线性表示, 则秩(I)秩(II); 且这两个向量组等价 秩(I)=秩(II).,反之不成立,二、向量组的线性相关与线性无关,三、向量组的极大无关组,(i) I0l.i.; (ii)II0,I0,l.d. I可由I0线性表示,命题：如果r(1,2,s)= r, 则1,2,s中任意 r个
3、线性无关的向量均为1,2,s的极大无关组.,极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价.,向量空间V的基为向量组V中的极大无关组.,V的维数为向量组的秩.,齐次线性方程组的解空间V=xRn| Ax=0的基础解系为向量组V的极大无关组, V的维数为nr(A).,四、向量空间,V Rn,对加法数乘封闭,Rn本身,e1, e2, , en,n,零空间,无,0,齐次线性方程组的解空间 xRn|Ax = , ARmn,Ax = 的基础解系,n r(A),生成子空间L(1, ,s) = k11+ kss|k1,ksR,1, , s的 极大无关组,1, , s的秩,A的秩,A的列向量组的 极大无关组,矩阵A的
4、列空间, 即L(A1,A2, An),n r(A),Ax = 的基础解系,A的秩,A的列向量组的 极大无关组,A的核空间或零空间K(A)=xRn|Ax= ,A的值域R(A)= Ax|xRn=L(A1,A2, An),五、向量的内积,向量空间基和维数,一. 内积和正交性,二. 标准正交基和Schmidt正交化方法,线性相关,共线共面,基,直角坐标系,标准正交基,维数,仿射坐标系,三. 正交矩阵,维数,将l.i.向量化为标准正交向量组,Q(QT)正交QTQ=E Q1=QT Q列(行)向量组标准正交,基础解系本质是解向量组的极大无关组, 维数为n-r(A),r(A,b) = r(A)+1 Ax=b无
5、解b不能由A的列向量 组线性表示直线(或平面)间无公共点; (2) r(A,b)=r(A)=n Ax=b有唯一解 b可由A的列向 量组唯一地线性表示 直线(或平面)间有唯一公共点; (3) r(A,b)= r(A)n Ax=b有无穷多解, 且通解中含有 nr(A)个自由变量, Ax=0的基础解系有nr(A)个解向量 b可由A的列向量组线性表示, 但表示方式不唯一 直线(或平面)重合或平面交于一条直线.,x = 0 + k11 +knrnr .,六. 线性方程组的解的结构,齐次线性方程组的基础解系,非齐次线性方程组的一般解,作业中的问题：,作业中的问题,证明一组向量线性无关时，最好不要假设它们
6、线性相关，再令线性组合等于0；而是直接令线性 组合等于0，再证明所有的组合系数都等于0.,将向量组写成矩阵时，要事先说明向量是列向量还是行向量，并注意区分向量组等价及矩阵等价.,第四章 n维向量,A成立的充要条件是B成立.,即A成立 当且仅当 B成立.,即A成立 B成立.,既要证明必要性“”，又要证明充分性“”,8. 设a,b为参数, 讨论向量组 的秩; 并问a,b为何值时, 向量组线性无关？,解: 令,A中含有一个二阶非零子式, r(A)2,当a=0或b=1/3时,r(A) = 2.,当a0且b 1/3时,r(A) = 3,向量组线性无关.,习题解析,第二章 n维向量,11. 设1,2,s线
7、性均为n维向量, 1=1, 2= 1+2, 3= 1+2+3, s= 1+2+s, 证明：1, 2, , s线性无关 1,2,s线性无关.,证1:,第二章 n维向量,设1,2,s线性无关.,则 k11+k2(1+2)+ + ks(1+2+s) = .,习题解析,证明充分性:,设 k11+k22+ + kss = .,即 (k1+ + ks)1+ (k2+ + ks)2+ +kss = .,因为1,2,s线性无关.,所以1, 2, , s线性无关.,11. 设1,2,s线性均为n维向量, 1=1, 2= 1+2, 3= 1+2+3, s= 1+2+s, 证明：1, 2, , s线性无关 1,2,
8、s线性无关.,证1:,第二章 n维向量,所以 1,2,s 线性无关.,习题解析,证明必要性:,设1, 2, , s线性无关.,因1, 2, , s可由1,2,s线性表示，,r(1, 2, , s) r(1,2,s), s,s =,所以 r(1,2,s) = s,11. 设1,2,s线性均为n维向量, 1=1, 2= 1+2, 3= 1+2+3, s= 1+2+s, 证明：1, 2, , s线性无关 1,2,s线性无关.,证2:,第二章 n维向量,习题解析,由已知可得1=1,2= 2 1,3= 3 2, s= s s1,1, 2, , s 与1,2,s等价., r(1, 2, , s) = r(
9、1,2,s),1, 2, , s线性无关 1,2,s线性无关.,11. 设1,2,s线性均为n维向量, 1=1, 2= 1+2, 3= 1+2+3, s= 1+2+s, 证明：1, 2, , s线性无关 1,2,s线性无关.,证3:,第二章 n维向量,习题解析,(1, 2, , s) = (1,2,s),1, 2, , s线性无关 1,2,s线性无关.,因1, , s可由1,s线性表示，,设 A=(1, ,s), B= (1 , , s ),C, B = AC,|C| =1 0, C 可逆., A = BC1,故1,s可由1, , s线性表示., r(1, 2, , s) = r(1,2,s)
10、,设i为列向量.,12. 已知1,2,3线性无关,问参数a,b为何值时向量组1= a1+b2,2= a2+b3, 3= a3+b1线性无关?,解:,第二章 n维向量,设 A=(1,2,3), B= (1, 2, 3 ),1 , 2 , 3线性无关，, r(B)=r(1 , 2 , 3)= 3, |C| = a3 + b3 0,设1,2,3为n维列向量组.,则B= (a1+b2, a2+b3,a3+b1) = AC., r(C) = 3, |C| 0,习题解析, a + b 0, 3= r(B) r(C) 3,13.已知能由向量组I:1,2,s线性表示, 证明:表示方式唯一 1,2,s线性无关.
11、,证明1: (充分性),第二章 n维向量,习题解析,1,2,s线性无关,能由向量组1,2,s线性表示,由唯一表示定理知, 能由I唯一的线性表示.,(必要性), = l11+l22+ +lss .,设 k11+k22+ +kss = 0., = (l1 +k1)1+ (l2+k2) 2+ + (ls+ ks) s .,因为的线性表示方式唯一., k1= k2 = = ks = 0 ., 1,2,s线性无关.,13.已知能由向量组I:1,2,s线性表示, 证明:表示方式唯一 1,2,s线性无关.,证明2:,第二章 n维向量,习题解析,且1,2,s线性无关.,能由向量组I:1,2,s线性表示,设i为
12、列向量，,A=(1, ,s).,r(A)=r(A,), Ax = 有解.,能由向量组I唯一线性表示, Ax = 有唯一解., r(A) = r(A,) = s, r(A) = r(A,), 且Ax = 只有零解,能由向量组I:1,2,s线性表示,14. 设向量组1,s线性相关, 10, 证明存在某个j (2js)可由前j1个向量1,j1线性表示.,证明1:,第二章 n维向量,设kj (2js)是最后一个不为0的系数，,即k1,k2,kj1不全为0, kj 0, kj+1 = = ks= 0,向量组1,2,s线性相关,设k11+k22+ + kjj + + kss = 0.,习题解析,则存在一组
13、不全为0的数k1,k2,ks ,使得,k11+k22+ + kjj = 0, kj 0.,存在某个j可由前j1个向量1,j1线性表示.,证明2: (反证法),第二章 n维向量,则ks = 0，, k11 = 0,假设错误，命题成立.,设任意j(2js)都不能由前j1个向量1,2,j1线性表示.,设k11+k22+ + ks1s1 + kss = 0.,同理, ks1 = = k2 = 0.,因为 1 0，, k1 = 0, 1,2,s线性无关, 与已知矛盾.,习题解析,则s都不能由前s1个向量1,2,s1线性表示.,14. 设向量组1,s线性相关, 10, 证明存在某个j (2js)可由前j1
14、个向量1,j1线性表示.,第三章 矩阵的相抵变换和秩线性方程组,3.4 线性方程组解的结构,证明1：,17. 设向量组1,s线性无关, , j=1,2, ,s, 记A=(aij)ss. 证明: 1, 2, , s线性无关 A可逆.,j=1,2, ,s,设 B= (1 , , s ), C =(1, ,s), B = CA,必要性：设1, , s线性无关, r(A), s,则s = r(B), r(A) = s,A可逆,充分性：设A可逆, C = BA1,故1,s可由1, , s线性表示.,两向量组等价.,r(1 , , s ) = s,则1, , s线性无关.,设i为列向量.,第三章 矩阵的相抵变换和秩线性方程组,3.4 线性方程组解的结构,证明2：,17. 设向量组1,s线性无关, , j=1,2, ,s, 记A=(aij)ss. 证明: 1, 2, , s线性无关 A可逆.,设 k11+k22+ + kss = .,1,s线性无关,A=(aij)Rss可逆,只有零解,k1 = = ks= 0.,1, 2, , s线性无关,证明：,A正交,28. 设A是n阶正交阵，证明： (1) |A| = 1. (2) 若|A| = 1，则|E+A| = 0.,|AAT| = |E|,|A|2 =,|A|AT| =,= 1., |A| = 1.,(2),