《《概率论》第3章§3.4随机变量函数的分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论》第3章§3.4随机变量函数的分布.ppt（34页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、实际背景,在加工机件时,只能测得工件的直径 然而我们关心的是工件的截面面积 如果知道 的分布，问如何求 的分布?,例,在某电路中，电流 是一个 当电流通过一个,的电阻时，问在该电阻上消耗的功率是多少?,例,一般地，若 是 是一个函数,则 也是 问怎样求 的分布,？,解,例,设 的密度函数为,其它,求 的密度函数.,的分布函数为,其它,其它,单调增加 反函数 也单调增加，可导,设 的密度函数为 又 是严格单调函数,其反函数 连续可导,则 的密度函数为,人物介绍 柯西,定理,解,例,记 则,的密度函数为,严格单调增 (或单调减),严格单调函数其反 函数一定存在,且反函数也严格单调,Cauchy分布
2、,解,例,记 则,的密度函数为,为常数.,正态r.v的线性函数仍是正态r.v,重要结论,例,问,记 怎样确定其反函数,？,分析,当 时 的反函数为,？,表明 几乎只在 上取值,故 的反函数存在的区域是,其反函数为,解,记 则当 时, 反函数是,的密度函数为,其它,其它,其它,下面讨论直接计算法,例,解,的分布函数为,其它,其它,若 没有单调性,有什么结论,？,设 的密度函数为 又函数 在互不相交的区间 上逐段严格单调, 且其反函数 均连续可导,则 的密度函数为,推广的定理,定理,使得反函数有意 义的 有两部分,解,例,记,其反函数分别为,则 在 上严格单调减少，,而在 上严格单调增加,且,的密
3、度函数为,实际背景,冷冗余系统：,设有两个部件 、 其工作寿命分别为,部件 坏了,换上备用部件 继续工作,热冗余系统：,部件 、 并联同时工作,仅当两个部件都损坏时，整个系统才失效,串联系统：,部件 、 串联同时工作,只要有一个部件损坏，整个系统就失效,一般地,设 是一个二元函数,思路：,设 ,则 的分布函数为,若 相互独立,则 的密度函数为,称为卷积公式,记为,卷积公式的应用,例3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布.,解：,所以 Z = X+ Y N(0, 2).,进一步的结论见后,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此
4、类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，,注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).,且独立，,则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).,泊松分布的可加性,若 X P(1) ，Y P(2)，,注意： X Y 不服从泊松分布.,且独立，,则 Z = X+ Y P(1+2).,正态分布的可加性,若 X N( )，Y N( ) ，,注意： X Y 不服从 N( ).,且独立，,则 Z = X Y N( ).,X Y N( ).,独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下),独立正态变量的线性
5、组合仍为正态变量,Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则,伽玛分布的可加性,若 X Ga(1, )，Y Ga(2, ) ，,注意： X Y 不服从 Ga(12, ).,且独立，,则 Z = X + Y Ga(1+2, ).,2 分布的可加性,若 X 2( n1 )，Y 2( n2 ) ，,注意： (1) X Y 不服从 2 分布.,且独立，,则 Z = X + Y 2( n1+n2).,(2) 若 Xi N(0, 1)，且独立，则 Z =, 2( n ).,注 意 点,(1) 独立的0-1分布随机变量之和服
6、从二项分布.,(2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.,例3.3.3 设 X 与 Y 独立，XU(0, 1), YExp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.,解:,被积函数的非零区域为：,00,用卷积公式：,(见下图),x,z,1,z = x,因此有,(1) z 0 时,pZ(z) = 0 ;,(2) 0 z 1 时,pZ(z) =,(3) 1 z 时,pZ(z) =,1,由独立性及卷积公式有,解,例,设 相互独立,且,求 的分布密度.,令,则,独立正态r.v和的一般结果,设 相互独立,且,则对于不全为零的常数 有,求 串联后的总电阻 的概率密度.,解,例,某电气设备中的两个部
7、件存在接触电阻,两个部件的工作状态是相互独立的,概率密度均为,其它,由卷积公式有,被积函数的非零区域是,其它,其它,其它,解,例,设 相互独立且都服从参数为 的指数分布,由卷积公式有 的密度函数为,提示：,则,记,设法导出递推公式，然后用归纳法证明,解,例,设 独立同分布,其密度函数为,思考题,(瑞利Rayleigh分布),解,例,设 相互独立同服从正态分布,设 ,且 相互独立,则,则,设 独立同分布, 具有密度 怎样求,分析,体育馆的大屏幕由信号处理机和显示屏构成，,例,它们的寿命分别为 若它们的概率密度分别为,其中 试求大屏幕系统的寿命 的概率密度.,分析,信号处理机和显示屏构成串联系统,
8、故整个,系统的寿命为,密度函数,也是一种指数分布,其中参数 称为失效率,而 表 示平均寿命.,解,的失效率之和,其失效率是每个部件,可见指数分布的串联 系统仍服从指数分布,小结：,六个常用分布： (0-1)分布，二项分布b(n, p)，Poisson分布P() 均匀分布U(a, b)，指数分布E()，正态分布N(,2),一个方法： 求随机变量函数的分布,六个概念：,小结,多 维 随 机 变 量 及 其 分 布,多维随机变量,概率分布,定义,类型,独立性,离散型，连续型,定义，充要条件，性质,分布函数,联合分布，边缘分布， 条件分布,离散型,连续型,随机变量函数的分布,分布律，边缘分布律， 条件分布律,密度，边缘密度， 条件密度,习题： 28、32,