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1、主要内容,随机变量的独立性,难点,离散型、连续型随机变量的独立性的判断,重点,利用随机变量的独立性进行相关概率的计算,回顾事件的独立性,应相互独立，即,相互独立,之间没有任何关系,问,分析,若 相互“独立”,从直观上看，X的取值,对Y的取值应该没有影响,即,问：如何进行数学描述？,设,定义,即,则称 相互独立,问,相互独立,r.v独立性的直观意义,的取值与 的取值是相互独立、互不相干的,设 的分布律为,则 相互独立等价于 有,甲袋中有 个红球 个白球;乙袋中有 个红球 个白球.从 甲、乙两袋中各任取两球，记 分别表示取到白球的个数，问 是否独立？,例,由于从两袋中取球是相互独立的过程，所以 的
2、取值是相互独立、互不相干的，故 相互独立.,分析,解,由2例 的分布律及边缘分布律为,设 从 四个数中等可能取值,又设 从 中等可能取值.问 是否独立？,例,不独立,解得 或 ； 或,解,例,设 的分布律为,若 相互独立,则,设 为连续型r.v，且,若 相互独立，则,相互独立,即有,解,例,设 的密度函数为,其它,问 是否独立？,相互独立,的边缘密度分别为,若 的密度函数能分解为,是否为密度？,在某一分钟内，信号进入收信机是等可能的.若收到两个互相独立的信号的时间间隔小于0.5秒,则信号将相互产生干扰，求两信号相互干扰的概率.,故两信号互相干扰的概率为,则,解,例,设两信号进入收信机时间分别为
3、 (分钟),独立,故联合密度为,其它,相互独立,相互独立,事件独立性与条件概率的关系,r.v独立性与条件密度的关系,解,设雷达的圆形屏幕半径为1,目标出现点 在屏幕上服从圆域 上的均匀分布,问 是否独立？,例,由本章 例求得当 时有,其它,与 有关 不独立,二维正态随机变量的独立性,密度函数为,其中各参数满足,重要结论,问,参数 与独立性有什么关系？,定理,证,相互独立,若 相互独立,则,即,若 显然,即 相互独立,一维边缘分布,的分布函数,二维边缘分布,的联合分布是,的联合分布是,类似地，可以定义三维、四维等高维边缘分布,设,随机向量的独立性,若有,则称 相互独立,若有,从直观上看：,随机向量的独立性是指各随机向量的取值是相互独立、互不相干的,问： 这 两 个 概 念 有 区 别 吗？,定理,相互独立,相互独立,设 是两个通常的函数,则,两堆独立的数据,数据处理,处理后的数据仍是独立的,数据处理,建立坐标系如图.,解,设在 内部任取一点 在底边 上任取一点 求直线 与线段 相交的概率.,例,依题意,点 服从 上的均匀分布,点 服从区间,上的均匀分布,其它,其它,因为点 与点 相互独立,故联合概率密度为,其概率密度分别为,问,直线 与线段 相交等价于什么？,直线 与线段 相交的概率为,由全概率公式有,则当 时,利用“形式统一性公式”进行计算,记事件,发生,直线 与线段 相交,