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1、第二节 离散型随机变量,一、离散型随机变量的概率分布,定义2.1,称为离散型随机变量的概率分布或分布律.,分布律还可以简单地表示为：,分布律具有以下性质:,例1,解 X的分布律为:,例2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 个信号灯, 每个信号灯以1/2的概率允许或禁止 汽车通过.以X表示汽车首次停下时,它已通过的 信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求 X的分布律.,解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为,解 由分布律的性质,得,二、几种重要的离散分布,1. 两点分布(0-1分布),如果随机变量X只取两个值,就称X服从两点分布,一般两点分布取值为a和b,分布律为:
2、,如果a=0,b=1, 则称X服从0-1分布,记作,则X服从0-1分布,其分布律为,解 令,例2 商店里有10张同类CD片,其中6张为一级品,3张为二级品,1张为不合格品.顾客购买时任取其中一张,求取得合格品的概率.,例3 在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.,若定义随机变量X为,则有 P(X=0)=0.05, P(X=1)=0.95,若定义随机变量Y为,则有 P(Y=0)=0.95, P(Y=1)=0.05,从中看到X,Y都服从(0-1)分布,2. 超几何分布,例4 在N件产品中,有M件次品.现从中随机地取出n件(不放回抽样), 假如取
3、到每件产品的机会都相等. 求取出的n件产品中次品数X的分布律. 其中 ( M N, n N)。,解 依题意,的可能取值为,1,2,n, 由于从N 件中任取n件,共有,种取法,而n件中有X=m件,次品的取法共有,因此,称此分布为超几何分布,记做 H(n,M,N),3. 二项分布,定义 若随机变量X的可能取值为0,1,2,n且其分 布律为,则称X服从参数为n,p的二项分布,记做XB(n,p),例5 从次品率为20%的一大批产品中任取5件产 品, 求次品数X的分布率,并求P(X3)之值.,解 由于产品数量大,抽取件数少,可视为有放回抽 样. 因此每取一件产品可看作是一次试验, 这是一个 贝努利概型.
4、 次品数X服从二项分布B(5,0.2),例6 一办公室内有8台计算机,在任一时刻每台计算 机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立, 问在同一时刻: (1) 恰有3台计算机被使用的概率是多少? (2) 至多有2台计算机被使用的概率是多少? (3) 至少有2台计算机被使用的概率是多少?,解 设为在同一时刻8台计算机中被使用的台数,则 XB(8,0.6),于是,当k从0增加时,概率P(X=k)经历了一个从小到大,又从 大变小的过程, 事件“X=5”发生的概率最大,我们称之 为最可能事件, “5次”为最可能次数.,一般地,若XB(n,p),则当(n+1)p是整数时,X有两个最 可能次数(n+
5、1)p及(n+1)p -1;当(n+1)p不是整数时, 最可能次数为(n+1)p (即(n+1)p的整数部分).,0-1分布和二项分布的关系,由于贝努里试验是n次相互独立的重复试验,每 次试验只有两个可能结果,即事件A发生或者不发生, 如果令,即二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变 量之和, 而且这n个随机变量的取值互不影响.反之, n个取值互不影响的0-1分布随机变量之和服从二项 分布.,超几何分布和二项分布的关系,定理1 如果随机变量X服从超几何分布H(n,M,N), 则当N时，X近似地服从二项分布B(n,p),即,证明 见教材,注：定理1表明，当一批产品总数N很大，而抽取 的样
6、品数n远小于总数N时，则不放回抽样(超几何 分布)与有放回抽样(二项分布)将无很大的差别。,4. 泊松分布,定义 如果随机变量X所有可能取值为0,1,2,3, 而取各个值的概率为,其中0为常数, 则称X服从参数为的泊松分布, 记做XP().,易知,泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,例如电话交 换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数,某车辆 收费站每天过往车辆的台数,车站某时段候车人数及 购物中心来往顾客的人数,在一个时间间隔内某种放 射性物质发出的,经过计数器的粒子数等都服从泊松 分布. 泊松分布也是概率论中的一种重要分布.,例7 统计资料表明某路口每天经过某特种车辆的次 数服从参数为6的泊
7、松分布,求该路口一天内至少经 过两次特种车的概率.,解 设该路口每天经过特种车的次数为X,由题设, XP(6), 因此,所求概率为,即该路口一天内至少经过两次特种车的概率为 0.9826,解 (1),例8 某种商品日销量XP(5), 求以下事件的概率 (1) 日销3件的概率; (2) 日销量不超过10件的概率; (3) 在已售出1件的条件下, 求当日至少售出3件的概率.,(2),(3),例8 某种商品日销量XP(5), 求以下事件的概率 (1) 日销3件的概率; (2) 日销量不超过10件的概率; (3) 在已售出1件的条件下, 求当日至少售出3件的概率.,二项分布的泊松逼近,其中,二项分布的
8、计算比较复杂. 如果XB(n,p), 当n10, p0.3时, 可利用泊松定理作近似计算.,泊松定理,证明,证毕,例9 设某人每次射击的命中率为0.98. 独立射击300次, 试求至少有5次未击中的概率.,解 将每次射击看成一次试验. 设未击中的次数为X, 则XB(300,0.02). 其分布率为,至少有5次未击中的概率,例10 某地有2500人参加某种人寿保险,每人在年 初向保险公司交付保险金200元, 若在一年内投保 人死亡,则由其家属从保险公司领取5万元, 设该类 投保人死亡率为0.2%,求保险公司获利不少于10万 元的概率.,解 设X为投保人中一年内的死亡人数,由题设知 XB(2500
9、,0.002).若投保人中有X人死亡, 则保险公 司将付出50000X元, 而这一年保险公司收入为,元,所求概率为,例11 有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发 生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障由一人处 理.考虑两种配备维修工人的方法:一是由4人维护,每人负责20台;二是由三人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,即有 PA1+A2+A3+A4 0.0175,解 按第一种方法.以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”,以事件Ai=第i人维护的20台中发生故障不能及时维修(i=1,2,3,4),则知80台中发生故障不能及时维修
10、的概率为,PA1+A2+A3+A4PA1=PX2 而XB(20,0.01), 这时=np=0.2, 故有,解 按第二种方法. 以Y记80台中在同一时刻发和故 障的台数. 此时Y B(80,0.01),=np=0.8,故80台中发 生故障不能及时维修的概率为,所以第二种方法较第一种方法而言,不仅节约了人力, 而且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多.,例11 有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发 生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障由一人处 理.考虑两种配备维修工人的方法:一是由4人维护,每人负责20台;二是由三人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,