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1、Ch2-48,2.4 连续型随机变量及其概率密度,定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函数,则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的 概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度,2.3 连续,Ch2-49,分布函数与密度函数 几何意义,Ch2-50,p.d.f. f ( x )的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，,在 f ( x ) 的连续点处，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率,Ch2-51,积分,不是Cauchy 积分，而是Le
2、sbesgue 意义下 的积分，所得的变上限的函数是绝对连续 的，因此几乎处处可导,Ch2-52,注意: 对于连续型随机变量X , P(X = a) = 0,其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值,命题 连续随机变量取任一常数的概率为零,强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生),事实上,Ch2-53,对于连续型随机变量 X,Ch2-54,Ch2-55,例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连 续随机变量, 其密度函数为,(1) 求常数 c,(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(2) 计算,例1
3、,Ch2-56,解,(1) 令,c = 1000,(2),Ch2-57,(3),设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时,设在使用的最初1500小时三个电子管中 损坏的个数为 Y,Ch2-58,例2 设,为使 f (x) 成为某随机变量 X 在,解 由,上的密度函数， 系数 a, b , c 必须且只需,满足什么条件？,当,有最小值,Ch2-59,另外由,当且仅当 时,得,所以系数 a, b , c 必须且只需满足下列条件,Ch2-60,例3 设随机变量 具有概率 密度,(1) 确定常数,(2)求 的分布函数,解：,(1)由,Ch2-61,解得,(2) 的分布函数为,Ch2-62,Ch2-6
4、3,(1) 均匀分布,若 X 的密度函数为,则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称,X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作,均匀分布,Ch2-64,X 的分布函数为,Ch2-65,Ch2-66,即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的 概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.,进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作 服从 的随机变量,应用场合,Ch2-67,例3 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值不超过
5、0.004秒的概率.,解 X 等可能地取得区间,所以,上的任一值，则,Ch2-68,(2) 指数分布,若 X 的密度函数为,则称 X 服从 参数为的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,指数分布,Ch2-69,Ch2-70,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似,Ch2-71,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,年轻,Ch2-72,解 (1),例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内
6、发生故障的次数 N( t ) (t), 求,相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; 设备已正常运行小时的情况下,再正常 运行 10 小时的概率.,例4,Ch2-73,即,Ch2-74,(3) 正态分布,若X 的密度函数为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,正态分布,亦称高斯 (Gauss)分布,Ch2-75,N (-3 , 1.2 ),Ch2-76,f (x) 的性质：,图形关于直线 x = 对称, 即,在 x = 时, f (x) 取得最大值,在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点,曲线 y = f (x) 以 x
7、轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,f ( + x) = f ( - x),性质,Ch2-77,Ch2-78,f ( x) 的两个参数：, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x) 的形状不变化，只是位置不同, 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,若 1 2 则,比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=,附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点,前者取 ,Ch2-79,Showfn1,fn3,Ch2-80,正态变量的条件,若随机变量 X, 受众多相互独立的随机因素影响, 每一因素的影响都是微小的, 且这些正、负影响可以叠加,则称 X
8、 为正态随机变量,Ch2-81,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差； 人体的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生的考试成绩；,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,标准正态,其值有专门的表供查., 标准正态分布N (0,1),密度函数,Ch2-83,Ch2-84,-x,x,Ch2-85,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,Ch2-86,例5 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,例5,Ch2-87,求 P ( X 0 ).,解一,例6,Ch2-88,解二 图解
9、法,0.2,由图,Ch2-89,例 3 原理,设 X N ( , 2), 求,解,一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,当,3 原理,Ch2-90,标准正态分布的上 分位点 z,设 X N (0,1) , 0 1, 称满足,的点 z 为X 的上 分位点,z,常用 数据,Ch2-91,例7 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9 ?,解,例7,Ch2-92,设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米,故至少要进行 4 次独立测量才能满足 要求.,Ch2-93,每周一题6,第 6 周,问 题,上海某年有 9万名高中毕业生 参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取. 考试满分为600分，540分 以上有2025人 , 360分以下有13500 人. 试估计高校录取最低分.,Ch2-94,M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量,附录,X , 如何求其密度函数 f (x)？,思考题,附录,Ch2-95,