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1、第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量及其分布函数 2.1.1 随机变量 随机变量是随机试验中测量的量，是随机试验的数值描述，是取值带随机性的变量。 1、随机变量的定义 设E为随机试验，=为其样本空间，若对任意 ，有唯一实数X（）与之对应，则称X=X（）是随机变量，简记作X。 2、随机变量和事件之间的关系,2、随机变量和事件之间的关系 对于任一随机变量X和任意实数a，b，则X=a，Xa，Xa， a Xb ， aXb等都是随机事件 3、随机变量的分类 离散型随机变量的取值为有限个或者可数无限多个，理论上我们可以将其所有可能取值一一列举出来。 连续型随机变量的取值可以是某一区间内的一切实数值。
2、,2.1.2 随机变量的分布函数 1、分布函数的定义 设 X 是一个随机变量，对任意x(-，+)，称函数F (x) = PXx为随机变量 X 的分布函数。 2、分布函数的性质 （1）有界性 0F（x）1， x(-，+) （2）单调不减性 对任意x1x2，有F （x 1 ） F（x2 ） Px1Xx2= F（x2 ）-F （x 1 ）,（3）右连续性 F（x ）是右连续函数。 （4） F（ + ）=1， F（ - ）=0 2.2 离散型随机变量 2.2.1离散型随机变量及其分布 1、离散型随机变量的定义 如果随机变量的所有可能取的值只有有限个或可数无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。离散
3、型随机变量的例子： 观测一小时内达到某收费站的汽车数量 110每天接到报警电话的次数,2、离散型随机变量概率分布的表示方法 其中 3、离散型随机变量概率分布的性质 （1）pi 0 （2） pi =1 4、离散型随机变量的分布函数,例1 给定离散型随机变量X的概率分布如下： （1）验证此分布满足概率分布的基本性质； （2）求X的分布函数F（x）； （3）作出F（x）的图形； （4）求P0X1.5， P1X1.5， P1X1.5,2.2.2 常用离散型概率分布 1、两点分布（ 0-1分布或伯努利分布） 随机变量X只取两个可能值0和1，且 PX=1=p，PX=0=1 p（0p1） 则称X服从参数为p
4、的0-1分布。 2、二项分布 B(n，p) 如果随机变量X的概率分布为 （k=0，1，n） 其中0p1，q=1-p，称随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布，记作XB（n，p）。,（1）二项分布典型应用：n重伯努利试验 如果每次试验都只有“成功”和“失败”两种结局，并且各次试验之间相互独立，即各次试验中成功的概率相同，将试验独立进行n次，就是 n重伯努利试验。以X表示n重伯努利试验中成功的次数，则随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布，其中p是每次试验成功的概率。 （2）二项分布的最可能次数（概率最大的次数） 设随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布，若如果（n+1）p是整数，则（n+1
5、）p -1和（n+1）p是最可能次数；如果（n+1）p不是整数，其整数部分m=（n+1）p，是最可能次数。,例2 有9个工人，间歇地使用电力。假设在任一时刻每位工人都以同样的概率0.2需要一个单位的电力，并且各位工人工作相互独立。求最大可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力？ 例3 据历史资料显示，某种疾病患者的自然痊愈率为0.25。为了试验一种新药，某医生把此药给10个病人服用，如果这10人中至少有4人治好了，则认为新药有效，否则认为新药无效。求新药有效并把痊愈率提高到0.35，但通过使用却被否定的概率。,3、泊松分布 如果随机变量X的概率分布为 其中参数0，则称随机变量 X服从参数为的
6、泊松分布。 设X服从参数为（n，p）的二项分布，当 n，p0，并且n p适中，则二项分布概率可以利用泊松分布概率近似计算，即,例4 设有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一个人去处理，（1）问至少要配备多少维修工人，才能保证设备发生故障而不能及时得到维修的概率小于0.01？若改为一人负责维修20台或3人负责维修80台，求这两种情况下，设备发生故障而不能及时维修的概率。 4、几何分布 如果随机变量X的概率分布为 PX=k=pq k -1 (k=1，2，) 其中q=1-p，0p1，则称随机变量X服从参数为p的几何分布。,例5 设某求
7、职人员，在求职过程中每次求职的成功率为0.4，问该人员要求求职多少次，才能有0.9的把握获得一次就业机会？ 2.3 连续型随机变量 2.3.1 连续型随机变量的定义 1、连续型随机变量定义 设随机变量X的分布函数F（x），如果存在非负函数f（x），使得对于任意实数x，有 则称随机变量 X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度。,2、连续型随机变量概率密度的基本性质 （1） f (x) 0；（2） 3、连续型随机变量概率密度的其他性质 （1）一般地，对任意事件A，有 （2）为任意实数 x，有 （3）在 f (x)的连续点处，有,例6 设随机变量X的概率密度为 （-x+） 求
8、（1）系数A；（2）P0X1；（3）X的分布函数。 例7 设随机变量X的分布函数为 求（1）系数A；（2） ；（3）X的概率密度,2.3.2 常用连续型概率分布 1、均匀分布（几何概型） 如果随机变量X的密度函数为 则称随机变量 X在a，b上服从均匀分布。 例8 设某地区汛期的一周内最高水位X（单位:米）服从区间29.20，29.50上的均匀分布，求该周最高水位超过29.40米的概率。,2、指数分布 如果随机变量X的密度函数为 其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。 例9 统计资料表明，某种型号洗衣机的寿命服从参数为=1/15的指数分布，求洗衣机的寿命超过k年的概率pk（k=5，10，1
9、5，20）。 3、正态分布 （1）一般正态分布,如果随机变量X的密度函数为 则称随机变量X服从参数为（，2）的正态分布，记作XN（，2）。 一般正态分布概率密度的特征 （2）标准正态分布 =0，=1的正态分布称为标准正态分布，记作XN（0，1）。,标准正态分布的概率密度为： 标准正态分布的分布函数为： 标准正态分布函数的性质：对任意x，有 （-x）=1- （x）,（3）一般正态分布与标准正态分布的关系 若X N（，2），则 N（0，1） 例10 设随机变量XN（1，4），求P0X 1.6。 例11 设随机变量XN （，2），求 （k=1，2，3）。 例12 设某地区年总降水量XN（600，15
10、02），求（1）明年的降水量在400700之间的概率；（2）明年的降水量至少为300的概率；（3）明年的降水量小于何值的概率为0.1？,例13 设随机变量XN（3，1），现对X进行三次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率。 2.4 随机变量函数的分布 设y=g（x）是连续函数，令Y = g（X），其中X为随机变量，则Y也是随机变量，并称之为随机变量X的函数。 2.4.1 离散型随机变量函数的分布 设随机变量X的概率分布为,1、 y=g（x）一一对应 Y=g（X）的概率分布为 其中 yi = g（ xi）（i=1，2，） 2、 y=g（x）不一一对应 假设有r个不同的值 ，使得 y=g（x）等于同一值yk ，则有 PY=yk =,例14 设随机变量X的概率分布为 求（1）Y=2X+1 （2）Z=X2的概率分布。 2.4.2 连续型随机变量函数的分布 设X为连续型随机变量，其概率密度为fX（x）。设函数y=g（x）严格单调，其反函数g-1（y）有连续的导数，则Y=g（X）也是连续型随机变量，其概率密度为,其中（c，d）是函数 y = g（x）的值域。 例15 设随机变量X N（ ，2 ），求Y=aX+b（a，b为常数， a 0）的概率密度。,