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1、第二节 排列与组合,【知识梳理】 1.排列与组合的概念,排成一列,2.排列数与组合数的概念,3.排列数与组合数公式 (1)排列数公式： = _=_; =_. (2)组合数公式： = _ =_.,n(n-1)(n-2)(n-m+1),n!,4组合数的性质 (1) =_. (2) =_.,【考点自测】 1.(思考)下面关于排列和组合的结论正确的是( ) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列; 组合数公式的阶乘形式主要用于计算具体的组合数; 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同; 排列定义规定给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说,如果某个元素已被取出,则这个
2、元素就不再取了. A. B. C. D.,【解析】选C.错误.当两个排列的所有元素完全相同,但其排列顺序不同时,仍然不是相同排列,所以错误.错误.组合数公式的连乘形式常用于计算具体的组合数,阶乘形式常用于对含有字母的排列数的式子进行变形,所以该说法错误.正确.当两个组合的元素完全相同时,能得出这两个组合是相同组合;当两个组合相同时,能得出它们的元素完全相同.正确.由定义易知,取出的元素各不相同,因此取了的不能再取了.,2.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上 有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有( ) 【解析】选C.司机、售票员各有 种分配方法，由分步乘法 计数原理知共
3、有 种不同的分配方法,3.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分 年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数 是( ) 【解析】选A.分三类：一年级比赛的场数是 ，二年级比赛 的场数是 ，三年级比赛的场数是 ，再由分类加法计数 原理可知A正确.,4用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数 为( ) A.8 B.24 C.48 D.120 【解析】选C.从2，4中取一个数作为个位数字，有2种取法； 再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有 种排法，由 分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2 48个， 故选C.,5.若 . 【解析】因为 所以13n7，所
4、以n20， 所以 190. 答案：190,6.(2013大纲版全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1 名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果 共有 种.(用数字作答) 【解析】分三步：第一步，一等奖有 种结果；第二 步，二等奖有 种结果；第三步，三等奖有 种结 果，故共有 =6101=60(种)可能的结果. 答案：60,考点1 排列问题的应用 【典例1】(1)(2014淄博模拟)市内某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是( ) A.48 B.54 C.72 D.84 (2)(2013大纲版全国卷)6个人排成一行
5、,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答),【解题视点】(1)6个候车位,有3名乘客,故有三个空座位,而 要求的恰好是2个连续空座位的候车种数,则空座位分为2个连 续空座位和一个空座位,因此它们不相邻,需要插空. (2)甲、乙两人不相邻,可采用插空法.其他四个人的排列方式 有 种,4个人有5个空,从5个空中选择两个插入甲、乙二人 即可.,【规范解答】 (1)选C.由题意,先把3名乘客全排列,有 种排法,产生四个空, 再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中,有 种排法, 则共有 =72种候车方式. (2)将除去甲、乙的四人排成一行有 种排法,四人中有5个空 排甲、乙,有 种排法
6、,所以共有 =480(种). 答案:480,【互动探究】把第(2)题中的“甲、乙两人不相邻”改为 “甲、乙两人相邻”，则不同排法共有多少种？ 【解析】甲、乙两人相邻有 种排法，这样甲、乙看作一个 人，则不同的排法共有： =240(种).,【规律方法】求解排列问题的主要方法,【变式训练】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A.42 B.96 C.48 D.124,【解析】选A.方法一：分两种情况： (1)增加的2个新节目相连，(2)增加的2个新节目不相连；故不 同插法的种数为 =42 方法二：7个节目的全
7、排列为 ，两个新节目插入原节目单 中，那么不同插法的种数为 =42.,【加固训练】 1.数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( ) A.60个 B.48个 C.36个 D.24个 【解析】选C.由题意，符合要求的数字共有2 =36(个).,2.有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列，其中红球甲 和黑球乙相邻的排法有( ) A.720种 B.768种 C.960种 D.1 440种 【解析】选D.两个元素相邻的问题，一般用捆绑法，把红球甲 和黑球乙看作一个元素，则问题变为6个元素在6个位置进行排 列，红球甲和黑球乙两个元素之间还有一个排列，故共有 =1
8、 440(种).,3.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球放入红、黄、蓝、 白、黑5种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有 _种不同的放法. 【解析】因为红口袋不能装入红球，所以红球只能放在黄、 蓝、白、黑4种颜色的口袋中，所以红球有 种放法，其余的 四个球在四个位置全排列有 种放法，由分步乘法计数原理 得到不同的放法共有 =96(种). 答案：96,考点2 组合问题的应用 【典例2】(1)若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ) A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 (2)(2014广州模拟)某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一
9、位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答),【解题视点】(1)分全是偶数、全是奇数、两奇两偶三种情况进行分类计数. (2)由题意分类:A类选修课选1门,B类选修课选2门,确定选法;A类选修课选2门,B类选修课选1门,确定选法;然后求和即可.,【规范解答】(1)选D.全是奇数时，有 =5(种)；全是偶数 时，有 =1(种)；两奇两偶时，有 =60(种)，故共有 66种. (2)分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门， 有 种不同的选法. A类选修课选2门，B类选修课选1门，有 种不同的选法 所以不同的选法共有 =18+12=30(种) 答案
10、：30,【易错警示】分类讨论不全面致误 在本例的两个题中都涉及分类讨论,很容易因讨论不全面,使得解答不全面,从而导致答案不正确.,【规律方法】 1.组合问题的常见题型及解题思路 (1)常见题型:一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等. (2)解题思路:要在仔细审题的基础上,分清问题是否为组合问题;对较复杂的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”,一般是先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.,2.含有附加条件的组合问题的常用方法 通常用直接法或间接法,应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解,对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题,既可考虑反面情
11、形即间接求解,也可以分类研究进行直接求解. 提醒:区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键在于是否与顺序有关.,【变式训练】从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( ),【解析】选A.根据题意，即从6名女生，4名男生中抽取3名女 生，2名男生组成课外小组，则从6名女生中抽取3名女生有 种情况，从4名男生中抽取2名男生有 种情况，由分步 乘法计数原理，可得共 种情况.,【加固训练】 1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) 【解析】选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即,2.从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若
12、选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 种 【解析】(间接法)共有 34(种)不同的选法 答案：34,考点3 排列、组合的综合应用 【考情】高考对排列、组合要求的特点是基础和全面,都是以考查基本概念、基础知识和运算为主,能力要求主要是以考查分析问题和解决问题为主,多以选择题和填空题的形式出现.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2012北京高考)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 (2)(2013浙江高考)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有
13、种(用数字作答).,【解题视点】(1)考虑特殊元素0,与特殊位置个位.如果选0,则0只能在十位,个位必须是奇数. (2)按照要求先排A,B,C,剩下的再排D,E,F.,【规范解答】 (1)选B.当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是 奇数，十位百位全排列即可，共有 =12(个).当选取0 时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有 =6(个).综上，共有12+6=18(个). (2)分两步: 任意选3个空排A,B,C,共有 种排法; 再排其余3个字母,共有 种排法;所以一共有 =480(种)排法. 答案：480,【通关锦囊】,【关注题型】,【特别提醒】排列组合的综合题目,
14、一般是先取出符合要求的元素组合,再对取出的元素排列,分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.,【通关题组】 1.(2013四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不 同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 【解析】选C.由于lga-lgb=lg ,从1,3,5,7,9中取出两个不同 的数分别赋值给a和b共有 =20(种)结果,而得到相同值的是 1,3与3,9以及3,1与9,3两组,所以满足题意的共有18组,故选C.,2.(2013山东高考)用0，1，9十个数字，可以组成有重 复数字的三位数的个数为
15、( ) A.243 B.252 C.261 D.279 【解析】选B.组成三位数个数为91010=900.没有重复数 字的三位数有 =648(个),所以有重复数字的三位数的个 数为900648=252.,3.(2014肇庆模拟)用6种不同颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”(即图中A，B所示的区域)用相同颜色，则不同的涂法共有 种(用数字作答).,【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种 情况讨论，一共用了3种颜色，共有 =120种结果，一共用 了2种颜色.共有 =90种结果，一共用了1种颜色，共有6 种结果，所以根据分类计数原理知，共有120+90+6=216. 答案：216,
16、【加固训练】1.(2012新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种,【解析】选A.将4名学生均分为2个小组共有 =3种分法； 将2个小组的同学分给两名教师共有 =2种分法， 最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地有 =2种分法. 故不同的安排方案共有322=12种.,2.(2014上海模拟)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为 .,【解析】
17、根据题意，分两种情况讨论， 若甲、乙其中一人参加，有 =480种情况. 若甲、乙两人都参加，有 =240种情况，其中甲、乙 相邻的有 =120种情况, 则不同的发言顺序种数为480+240-120=600. 答案：600,【易错误区】在排列、组合的实际问题中重复计算出错致误 【典例】5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 .,【解析】,答案：,【误区警示】 【规避策略】,【类题试解】某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中， 每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共 有 种. 【解析】先把从周一到周日的七天分成三组,即 再利用排列分给三个人有 种排法， 因此共有
18、： =630(种). 答案：630,【巧思妙解11】正难则反解决排列组合问题 【典例】安排3名支教教师去4所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方法共有 种.(用数字作答),【常规解法】 3人去了3所不同学校有 种方法，有2人去了一所学校，另 一人去了另一所学校共有 种方法，所以共有 =60(种). 答案：60,【解法分析】 对问题进行分类利用排列组合直接求解，直接求解容易出现重复的情况，且计算较复杂，易出错.,【巧妙解法】 安排3名教师共43种方法，从中 排除3人均在其中一所学校的情况共4种， 所以434=60(种). 答案：60,【妙解分析】 阴影处先不管其中某些限制条件，求出其种数，再剔
19、除不合题意部分即可，选择哪种方法的依据是“正难则反”，此种解法可以避免复杂的分类，且计算较简便.,【小试牛刀】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂 进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可 自由选择，则不同的分配方案有 种. 【解析】常规解法：满足题意的不同的分配方案有以下三类： (1)三个班中只有一个班去甲工厂有 32=27(种)方案. (2)三个班中只有两个班去甲工厂有 3=9(种)方案. (3)三个班都去甲工厂有1种方案. 综上可知：共有27+9+1=37(种)不同方案. 答案：37,巧妙解法：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即444333= 37(种)方案. 答案：37,