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1、第3讲 平面向量的数量积,最新考纲 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系.,知 识 梳 理 1平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即 ab ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0. (2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积,|a|b|cos ,|a|b|cos ,|b|cos ,3平面向量数量积的运算律 (1
2、)abba(交换律) (2)ab(ab)a(b)(结合律) (3)(ab)cacbc(分配律),辨 析 感 悟,2对平面向量的数量积的性质、运算律的理解 (4)ab0，则a0或b0. () (5)(ab)ca(bc) () (6)abac(a0)，则bc. (),感悟提升 三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)； 二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量设向量a，b的夹角为，当为锐角时，投影为正值；当为钝角时，投影为负值；当为直角时，投影为0；当0时，b在a的方向上投影为|b|，当180时，b在a方向上投影为|b|，如(2)；当0时，ab0，180，ab0
3、，即ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)； 三是ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab，如(4),考点一 平面向量数量积的运算 【例1】 (1)(2014威海期末考试)已知a(1,2)，2ab(3,1)，则ab ( ) A2 B3 C4 D5 (2)(2013江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_,规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用,考点二 向量的夹角与向量的模 【例2
4、】 (1)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_ (2)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|_.,考点三 平面向量的垂直问题 【例3】 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0) (1)求证：ab与ab互相垂直； (2)若kab与akb的模相等，求(其中k为非零实数) 审题路线 证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证由模相等，列等式、化简求.,(1)证明 (ab)(ab)a2b2|a|2|b|2 (cos2sin2)(cos2sin2)0， ab与ab互相垂直,规律方法 (1)当向量a与b是坐
5、标形式给出时，若证明ab，则只需证明ab0x1x2y1y20. (2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明ab0. (3)数量积的运算ab0ab中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有ab0，但不能说ab.,(1)证明：ab； (2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b， dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t),1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的 运算转化为向量的数量积的运算 3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.,答案 1,4,反思感悟 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多,