《离散数学》二元关系和函数-2.ppt

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1、第4章 二元关系和函数,Relation,在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的，其定义域是连续的。 本章把函数概念予以推广 定义域为一般的集合，支持离散应用。 把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。,4.6函数的定义与性质,函数定义,定义 设 F 为二元关系, 若 xdomF 都存在唯一的yranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的函数值. 例1 F1=, F2=, F1是函数, F2不是函数 ,4.6函数的定义与性质,函数与关系的区别,从A到B的函数f与一般从A到B的二元关系R有如下区别：

2、A的每一元素都必须是f的序偶的第一坐标，即dom(f)=A；但dom(R)R 若f(x)=y，则函数f在x处的值是惟一的，即(f(x)=y)(f(x)=z)(y=z)，；但(xRy)(xRz)得不到y=z,4.6函数的定义与性质,例1 设A=1,2,3,4,5，B=6,7,8,9,10，分别确定下列各式中的f是否为由A到B的函数。 (1)f=(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9) (2)f=(1,9),(3,10),(2,6),(4,9) (3)f=(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9) 解 （1）能构成函数，因为符合函数的定义条件。 （

3、2）不能构成函数，因为A中的元素5没有像，不满足像的存在性。 （3）不能构成函数，因为A中的元素1有两个像7和9，不满足像的惟一性。,4.6函数的定义与性质,函数相等,定义 设F, G为函数, 则 F = G FGGF 一般使用下面两个条件： (1) domF = domG (2) xdomF = domG 都有 F(x) = G(x) 实例 函数 F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1 不相等, 因为 domFdomG.,4.6函数的定义与性质,从A到B的函数,定义 设A, B为集合, 如果 f 为函数 domf = A ranf B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A

4、B. 实例 f：NN, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：NN, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数,4.6函数的定义与性质,B上A,定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA, 读作“B上A”，符号化表示为 BA = f | f：AB 计数： |A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm. A=, 则 BA=B=. A且B=, 则 BA=A= .,4.6函数的定义与性质,实例,例2 设 A = 1, 2, 3, B = a, b, 求BA. 解 BA = f0, f1, , f7, 其中 f0=, f1=, f2=,，f3=, f4=,，f5=, f6=,

5、 f7=, ,4.6函数的定义与性质,函数的像,定义 设函数 f：AB, A1A. A1 在 f 下的像： f(A1) = f(x) | xA1 函数的像 f(A) = ranf 注意： 函数值 f(x)B, 而像 f(A1)B. 例3 设 f：NN, 且 令A=0,1, B=2, 那么有 f(A) = f(0,1) = f(0), f(1) = 0, 2,4.6函数的定义与性质,函数的性质,定义 设 f：AB, （1）若ranf = B, 则称 f：AB是满射的. （2）若任意x1， x2 A 而且不相等，都有f(x1)与 f(x2)不相等, 则称 f：AB是单射的. （3）若 f：AB既是

6、满射又是单射的, 则称 f： AB是双射的 f 满射意味着：y B, 都存在 x使得 f(x) = y. f 单射意味着：f(x1) = f(x2) x1= x2,4.6函数的定义与性质,注意： 由单射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在单射函数f:XY，则|X|Y|。 由满射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在满射函数f:XY，则|X|Y|。 由双射的定义可知，设X和Y是有限集合，若存在双射函数f:XY，则|X|=|Y|。,4.6函数的定义与性质,实例,例4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? (1) f：RR, f(x) = x2+2x1 (2) f：Z+R, f(x

7、) = lnx, Z+为正整数集 (3) f：RZ, f(x) = x (4) f：RR, f(x) = 2x+1 (5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.,4.6函数的定义与性质,解 (1) f：RR, f(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射. (2) f：Z+R, f(x)=lnx 单调上升, 是单射. 但不满射, ranf=ln1, ln2, . (3) f：RZ, f(x)= x 满射, 但不单射, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1. (4) f：RR, f(x)=2x+1 满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ranf=

8、R. (5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x 有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射.,实例（续）,4.6函数的定义与性质,构造从A到B的双射函数,有穷集之间的构造 例5 A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 解 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B= f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,.,令 f：AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f7,4

9、.6函数的定义与性质,实数区间之间构造双射 构造方法：直线方程 例6 A=0,1 B=1/4,1/2 构造双射 f :AB,构造从A到B的双射函数（续）,解 令 f：0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4,4.6函数的定义与性质,构造从A到B的双射函数（续）,A 与自然数集合之间构造双射 方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始 按照次序与自然数对应 例7 A=Z, B=N，构造双射 f：AB 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：011 2233 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是： ,4.6函数的定义与性质,常函数、恒等函数、单调函数,1.

10、 设f：AB, 若存在 cB 使得 xA 都有 f(x)=c, 则称 f：AB是常函数. 2. 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所有 的 xA 都有 IA(x)=x. 3. 设 f：RR，如果对任意的 x1, x2R，x1x2, 就 有 f(x1) f(x2), 则称 f 为单调递增的；如果对任意 的 x1, x2A, x1 x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为 严 格单调递增 的. 类似可以定义单调递减 和严格单调递减 的函数.,4.6函数的定义与性质,集合的特征函数,设 A 为集合, A A, A 的 特征函数 A：A0,1 定义为,实例 集合：X =

11、A, B, C, D, E, F, G, H , 子集：T = A, C, F, G, H T 的特征函数T ： x A B C D E F G H T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1,4.6函数的定义与性质,5. 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g：AA/R g(a) = a, aA 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.,自然映射,4.6函数的定义与性质,实例,例8 (1) A的每一个子集A都对应于一个特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 例如 A=a, b, c, 则有 = , , ， a,b = , , (2) 给定集合 A， A 上不同的等价关系确定不同的自

12、然映射, 其中恒等关系确定的自然映射是双射, 其他的自然映射一般来说是满射. 例如 A=1, 2, 3, R=,IA g(1) = g(2) = 1,2, g(3) = 3,4.6函数的定义与性质,函数复合的定理,定理 设F, G是函数, 则F G也是函数, 且满足 (1) dom( FG)= x | xdomG G(x)domF (2) xdom(F G) 有FG(x) = F (G(x) 推论1 设F, G, H为函数, 则 (FG)H 和 F(GH) 都是函数, 且 (FG)H = F(GH) 推论2 设 f： BC, g： AB, 则 fg：AC, 且 xA 都有 fg(x) = f

13、(g(x).,4.7函数复合和反函数,函数复合运算的性质,定理 设g ：AB, f ：BC. (1) 如果f,g都是满射, 则 fg：AC也是满射. (2) 如果 g, f 都是单射, 则f g:AC也是单射. (3) 如果 g, f 都是双射, 则 fg：AC也是双射. 证 (1) cC, 由 f：BC 的满射性, bB 使得 f(b)=c. 对这个b, 由 g：AB 的满射性，aA 使得 f(a)=b. 由合成定理 fg(a)= f ( g(a)=f(b)=c 从而证明了 fg：AC是满射的.,函数复合运算的性质,(2) 假设存在 x1, x2A使得 fg(x1) = f g(x2) 由合

14、成定理有 f (g(x1)= f (g(x2). 因为 f：BC是单射的, 故 g(x1)=g(x2). 又由 于 g：AB也是单射的, 所以 x1=x2. 从而证 明 fg：AC是单射的. (3) 由 (1) 和 (2) 得证. 定理 设 f: AB，则 f = fIB = IAf,定理 设f:XY，g:YZ，那么 （1）若gf是单射，则f是单射。 （2）若gf是满射，则g是满射。 （3）若gf是双射，则f是单射，g是满射。,函数复合运算的性质,反函数存在的条件,任给函数 F, 它的逆F 1不一定是函数, 是二元关系. 实例：F=,， F 1=, 任给单射函数 f：AB, 则 f 1是函数,

15、 且是从 ranf 到 A的双射函数, 但不一定是从 B 到 A 的双射函数. 实例：f : N N, f(x) = 2x, f 1 : ranf N, f 1 (x) = x/2,反函数,定理 设 f：AB是双射的, 则f 1：BA也是双射函数. 证 因为 f 是函数, 所以 f 1 是关系, 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 对于任意的 yB = dom f 1, 假设有x1, x2A使得 f 1f 1 成立, 则由逆的定义有 ff 根据 f 的单射性可得 x1 = x2, 从而证明了f 1是函数，且是满射的. 下面证明 f 1 的单射性

16、. 若存在 y1, y2B 使得 f 1 (y1) = f 1 (y2) = x, 从而有 f 1f 1 ff y1 = y2 ,反函数的定义及性质,对于双射函数f：AB, 称 f 1：BA是它的反 函数. 反函数的性质 定理 设 f：AB是双射的, 则 f 1f = IA, ff 1 = IB 对于双射函数 f：AA, 有 f 1f = ff 1 = IA,定理 若f:XY是可逆的，那么 （l）(f-1)-1=f （2）f-1f=IX，ff-1=IY 定理3.9 设X,Y,Z是集合，如果f:XY，g:YZ都是可逆的，那么gf也是可逆的，且(gf)-1=f-1g-1 。,函数复合与反函数的计算

17、,例 设 f：RR, g：RR 求 f g, g f. 如果 f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数.,解 f：RR不是双射的, 不存在反函数. g：RR是双射的, 它 的反函数是 g1：RR, g1(x) = x2,一、两个有限集如何比较多少。 设两个班级A 和B，要比较这两个班级的学生哪班多，哪班少，可采取两种方法。 方法1：报数。报数后看谁的数目大，数目大的就表示这个班上学生人数多。但这个方法对无限集却行不通。 方法2：配对。将A 中的一个学生a1 和B 中的一个学生b1 配成一对，配好以后，不许他们再和别人配对了。然后再把A 中的另一个学生a2 和B 中的一个学生b2 配成一对，同

18、样，配好以后也不准他们再和其他人配对了。这样一对一配下去，如果A中的人都配完了，而B还剩下一些人，则说B中的学生比A多；如果B 中的人都配完了，而A 剩下一些人，则说A中的学生比B多；如果A和B中的学生正好都能一对一地搭配起来，则说A和B的学生人数一样多。这种“配对”的办法可以应用到无限集中去。,定义一 设A与B为集合，若存在从A到B的双射，则称A和B为等势，记为AB。 例6.13 (-1,1)(-,+)。 证明 因存在着双射 ，x(-1,1)，所以(-1,1)(-,+)。 等势关系具有如下性质 AA。 若AB，则BA。 若AB，BC，则AC。 所以等势关系是等价关系。,定义二 设Nn=0,1

19、,2,n-1，A 为任一集合。若A=或A 与某个Nn等势，则称A为有限集；否则称A 为无限集。 定理一 自然数集N为无限集。 证明 任取nN，f 是从Nn 到N 的任意一个函数。令k=1+maxf(0),f(1),f(n-1)，则kN。但对每个xNn，都有f(x)k，因此f不是满射，从而f 不是双射。由n和f的任意性得知N 是无限的。,定义三 （1）对于有限集合A，有唯一的Nn与其等势，对应的n称为A的基数，记为|A| （2）自然数集N 的基数记为0（读作阿列夫零）。 （3）实数集R 的基数记为（读作阿列夫）。 由定义可知，有限集合的基数就是其所含元素的个数。两个有限集合等势当且仅当A和B 的元素个数相同。,定义四 与自然数集N 等势的集合叫做可数集或可列集，其基数记为0。与自然数集N不等势的无限集叫做不可数集或不可列集。 下面介绍可数集的一些性质。 定理五 集合A 为可数集的充要条件是A 的元素可以排列成无限序列的形式（即 A=a0,a1,an,）。 定理二 任一无限集必含有可数子集。 定理三 任一无限集必与其某一真子集等势。 定理四 可数集的任何无限子集是可数的。 定理五 两个可数集的并集仍是可数集。,