第五章概率与正态分布.ppt

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1、第五章 概率与正态分布,概率基本知识 随机事件 概率的两个基本法则 正态分布 随机变量 正态分布特点(标准正态分布) 正态分布表 正态分布曲线下面积的应用,概率基本知识,随机现象与确定性现象 抛硬币，落地时，正面向上。 掷一粒骰子，掷出点（不可能事件）。 向空中抛一块石头，落到地上（必然事件）。 随机事件：随机现象的各种可能结果（也称为“事件”，用大写字母A，B，C等表示） 基本事件：不能分解的 复合事件：可分解的,事件的概率,1.频率 事件发生的概率与频率有关。对于随机事件A，如果在N次试验中出现a次，则A发生的频率记作 F（A）=a/N 频率满足不等式0F（A） 1,事件的概率,经验概率

2、对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件发生概率的一个估计。,事件的概率,先验概率 当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时，则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。 设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：,关于两种概率的理解 抛一枚硬币，落地时正面朝上的概率是多少？ 先验概率： 经验概率： 大数定律：试验次数越大，P(A)的相对频率估计越好。,50粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全混合在一起，石子中有25粒蓝色，20

3、粒绿色和5粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出一粒石子，计算以下概率： （1）P(红色石子) （2）P(蓝色或红色石子),在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是多少？是女婴的概率是多少？,概率的性质 (1)任何随机事件的概率都是不小于零且不大于的数。,(2)不可能事件的概率等于零。 (3)必然事件的概率等于。 (4)两个互逆事件（对立事件）的概率之和等于，逆事件的概率 (5)小概率事件，P(A)0.05,概率的两个基本法则 概率的加法法则：两个互不相容事件A、B之和的概率等于两个事件分别发生的概率之和

4、。,互不相容事件：一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容事件。,在9道试题中，有6道选择题，2道是非题，1道填空题，随机抽出一道题为是非题或选择题的概率是多少？ 解：,概率的两个基本法则 乘法法则：两个相互独立事件A、B同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率的积。,相互独立事件：一个事件的发生概率与另一个事件的发生与否无关。,两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是多少？3/8 设第一题做对为事件A，做错为事件 ，第二题做对为事件B，做错为事件 ，做对第一题的概率为 ,做对第二题的概率为,正态分布,随机变量 正态分布特点(标准正态分布) 正态分布表 正态分布曲线下面积的应用,随机变量：随机现

5、象的函数化,随机变量：表示随机现象结果的变量 在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本点出现的随机性，其数量呈现为随机变量。 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量 每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等候付款的时间V。Y,U,V是三个不同的随机变量。 在随机现象中还有不少样本点本身不是数，这时可根据研究需要设计随机变量。 检查一个产品，只考察合格与否，则其样本空间为合格品，不合格品，这时可设计一个随机变量X如下：,定义在样本空间上的实值函数X=X（w）称为随机变量。 将事件映射为数字 可以将概率研究定量化，引入分布函数 设X是一个随机变量，对任意实数x，称

6、F（x）=P（X=x） 为随机变量X的分布函数。,离散型随机变量 随机变量X只取有限或可列无穷多个值。 例：某学生做一道正误判断题，做对记分，做错记分。他在这道题的得分为随机变量X 连续型随机变量 随机变量X可以取无限的且是不可列的值。 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为随机变量Y,概率分布 随机变量各取值的概率构成的分布 某学生参加一次数学竞赛，共回答三个问题，求该生答对题数的概率分布。,考虑全班153位同学体重的概率分布，若体重以千克为单位，可以精确到无限小数位，你能否列表显示各种取值的概率？,连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量X有无限多个可能的取值，那么任何一个特殊值的概率都

7、是0。 由于X的取值是不可数的，则对应的概率密度也是不可数的。 连续型概率分布不能表示为列表的形式，只能表示为连续型的曲线或者该曲线的函数表达式 连续型分布不能计算某一点的概率，只能计算两点间的概率，以曲线下的面积表示。,图5.1 连续型随机变量的概率分布,68.3,95.4,99.7,密度,连续随机变量（X）,图5.2 正态分布曲线,正态概率分布（正态分布）,正态分布曲线的特点,钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数 。 正态分布曲线的位置和形状分别由平均数 和标准差 决定。 平均数大小决定图形向左移或右移。 标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大值。,图5.3 平均数不等，标准差相等

8、的正态分布示意图,1,0,1,2,3,4,5,3,2,4,5,图5.4 平均数相等，标准差不等的正态分布示意图,标准正态分布,标准正态分布：平均数为，标准差为1的正态分布。标准分数即服从标准正态分布 标准正态分布曲线的特点： 曲线最高点为（Z0，Y=0.3989）。曲线下的总面积即概率总和为，对称轴两边各为0.5。 曲线是以过Z=0的纵线为对称轴，两侧横坐标绝对值相等的对应点高度相等，对应的曲线下面积相等。 标准正态分布的平均数、中数、众数三点重合在Z=0这一点上。 曲线与对称轴交点处Y值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；,正态分布表,根据标准正态分布曲线的函数公式进行计算编制而成的

9、。通过Z值可查Y值或P值，也可通过P值查Z值。,标准正态分布表中各变量的含义,已知下列Z值，查表求P值。 （1）Z-1与Z1之间的概率 （2）Z-2与Z2之间的概率 （3）Z-3与Z3之间的概率 （4）Z-1.96与Z1.96之间的概率 （5）Z-2.58与Z2.58之间的概率,利用正态分布表求： （1）正态曲线下Z1.34处左侧的面积 （2）正态曲线下Z2.16处右侧的面积 （3）正态曲线下Z-1.64处左侧的面积 （4）正态曲线下Z-1.5处右侧的面积,利用正态分布表求： （1）中央50的面积的下限Z值和上限Z值 （2）正态曲线下右尾20的面积的下限Z值 （3）正态曲线下左侧30的面积的上

10、限Z值,标准正态曲线下面积的应用,使用前提： 随机变量（X）服从或近似正态分布，其标准化后的变量（Z）才能服从标准正态分布，才能应用正态分布表（标准正态分布曲线）的规律进行概率的计算。,解题关键 画出正态分布曲线示意图 注意题意转换成Z、P,推求考试成绩特定区间内的人数,已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布，平均分为85分，标准差为10分，学生甲的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？,图5.6 运用标准正态分布曲线解题（一）,已知某省有86582名考生参加1998年全国普通高校招生入学数学考试，总体成绩服从均值为66分、标准差为19.79分的正态分布，试问下列范围内的人数

11、有多少？ （1）6072分； （2）72分以上。,推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限,某次招生考试，学生成绩符合正态分布，学生成绩的平均分为80分，标准差为10分，要择优录取25的学生进入高一级学校学习，问最低分数线应是多少分？,图5.7 运用标准正态分布曲线解题（二）,a,解：已知 1.择优25录取，设分数线在a点，则a点右侧的 的概率为0.25 2.那么a 点的P为0.5-0.250.25 3.查正态分布表P=0.25时，Z=0.67 4.将Z0.67通过公式 转换成原始分数即可，得到a点的分数为86.7分 答：择优录取25的人的话，最低分数线应为86.7分。,某次数学竞赛，学生成绩

12、呈正态分布，参赛学生200人，平均分66.78分，标准差为9.19分，（1）若表彰前20名竞赛优胜者，其最低分应是多少？（2）某生若得80分，他在参赛者中排列第几名？,分析：已知N=200, （1）前20名，在所有参赛者中的位置是前10 设最低分数点为b，则b点右侧的概率是0.1 b点标准分数对应的P 值是0.5-0.10.4 查正态分布表得b点的Z分数为1.28，根据Z分数 的公式转换求得b点分数为78.54分。 （2）某生得80分，则其Z 分数为1.44 查表Z1.44时，P=0.42507 那么等于和高于该生的人数比率为 0.5-0.425070.07493 具体人数2000.0749315（人）,图5.7 运用标准正态分布曲线解题（二）,b,确定按能力或成绩等级分组的各组人数,某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力将学生分成五个组。该次测验参加人数为300人，平均分为60分，标准差为13.2分，问各组人数及原始分数区间都是怎样的？,关于作业,小数位的保留与取整 解题格式 计算过程 字迹与卷面,