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1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示,1.了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,1平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1，2，使a1e12e2. 我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组,不共线,有且只有,基底,2夹角 (1)已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的 (2)向量夹角的范围是 ，a与b同向时，夹角 ；a与b反向时，夹角 . (3)如果向量a与b的夹角是 ，我
2、们说a与b垂直，记作ab.,夹角,0，,0,3把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解 4在平面直角坐标系中，分别取出x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，我们把有序数对 叫做向量a的 ，记作a ，其中x叫a在 上的坐标，y叫a在 上的坐标,互相垂直,(x，y),坐标,(x，y),x轴,y轴,5平面向量的坐标运算 (1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab ，ab ，a (2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量
3、 的坐标减去 的坐标 6若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab的充要条件是 .,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),终点,始点,x1y2x2y10,1若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c( ) A3ab B3ab Ca3b Da3b,热点之一 平面向量基本定理及其应用 1以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同 2对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映a与b的关系 3利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或
4、三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算 提醒：一组基底中，必不含有零向量,热点之二 平面向量的坐标运算 1向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用 2利用向量的坐标运算解题主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解,热点之三 平面向量共线的坐标表示 1凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行的充要条件 2两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用，一般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10
5、”比较简捷 3在求与一个已知向量a共线的向量时，采取待定系数法更为简单，即设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到欲求向量，这样可以使未知数的个数少一些，便于求解,思维拓展 (1)本题主要涉及平面向量的模、夹角、共线的充要条件等基础知识，以及运算能力、分析能力和数形结合能力注意“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的充要条件是x1y2x2y10.”的使用； (2)解法一用的是待定系数法，体现了方程的思想，关键是将题目中的等量关系转化成含有未知数的两个方程； (3)在解题时，要灵活地运用不同的方法，如利用数形结合，则可以直观地得到结果,热点之四 平面向
6、量坐标运算的综合应用 1对于向量坐标的综合应用，关键是利用已知条件转化为方程或函数关系式解决 2以向量为载体，解决三角、解析几何问题是高考常考题，要引起足够重视 3向量与三角结合题目关键是利用向量共线的坐标关系，结合三角函数中的有关公式进行求解,例4 已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2) (1)若ab，求tan的值； (2)若|a|b|,0，求的值 思路探究 (1)利用共线得方程，再结合同角关系式得解； (2)由|a|b|得正弦、余弦关系式，利用三角恒等变换得解,向量的坐标运算及用坐标表示平面向量、共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题向量的坐标运算
7、常与三角、解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现，属中档题,例5 (2010山东高考)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是( ) A若a与b共线，则ab0 Babba C对任意的R，有(a)b(ab) D(ab)2(ab)2|a|2|b|2,解析 A项，a与b共线，则R使得ab则有mp，nq，abpqpq0；B项，banpmq(ab)；C项，(a)b(m，n)(p，q)mqnp(mqnp)(ab)；D项，(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpnq)2m2q2n2p2m2p2n2q2(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2. 答案 B,