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1、电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,3.7 镜像法 （Method of Images）,镜像法的基本概念 3.7.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像法 3.7.2 点电荷关于导体球面的镜像法 3.7.3 点电荷关于无限大介质平面的镜像法 3.7.4 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,镜像法的基本概念,镜像法用镜像电荷代替导体面或介质面的影响，利用原电荷和镜像电荷来计算场分布。 当电荷附近存在着形状比较特殊的导体面或介质面（例如为无限大平面、无限长圆柱面、球面等等）时，可以采用镜像法。 镜像法的关键是要确定镜像电荷的位置、大
2、小和符号，使场量原来所满足的方程及其边界条件保持不变。若能做到这一点，则根据静电场唯一性定理，用镜像法所求出的解就成为所要求的场的唯一解。 镜像电荷实际上并不存在，它只是导体表面的感应电荷或者是介质表面的极化电荷的一种等效。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,照镜子与导体面前的点电荷,照镜子时，对观察者而言 人镜子人像（无镜子） 采用镜像法时，对场点而言 电荷导体面电荷镜像电荷（无导体面）,镜像法的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,3.7.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像法,点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷 点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷的
3、数学证明 无限大导体平面上方的点电荷所产生的电位和电场 点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷,点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷大小相等、极性相反，位置以平面为对称，即,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,的平面是一个电位为零的等位面。由于导体的表面必为等位面，因此，如果用一个无限大的导体平面来替代该等位面，则导体以上的场将不会改变。,电偶极子的电位和电场,点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的数学证明,（
4、3.7.1）,（3.7.2）,（3.7.3）,下面我们只需证明，（3.7.3）式所表示的电位是泊松方程（3.7.1）和边界条件（3.7.2）式所确定的边值问题的解。,导体平面上方的电位应满足下列方程和边界条件 由点电荷和镜像电荷即电偶极子所产生的电位,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,首先，将 代入（3.7.3）式，得出 ，即边界条件（3.7.2）式得到满足。 再看在 的上半空间，此时， ，依（1.3.12）式可知,如此一来，我们只需证明,（3.7.4）,即可。,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的数学证明,当 ，即在源点处，可以取一个以源点为球心的球体 ， 依高斯散度定理，可
5、以得到,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,当 ，即在不包含源点的区域，依（1.2.27）式可知,这里利用了关于闭合曲面立体角的结果。于是，也就证明了,的证明：,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的数学证明,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,无限大导体平面上方的点电荷所产生的电位和电场,（3.7.3）,无限大导体平面上方的电位,无限大导体平面上方的电场,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,无限大导体平面上的电荷密度 和总电荷,无限大导体平面上方的点电荷所产生的电位和电场,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,无限大导体平面上方的点电
6、荷所产生场的分布图,无限大导体平面上方的点电荷所产生的电位和电场,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,几点说明：,用镜像电荷来取代导体平面以后，在场域空间（上半空间）所产生的电位仍然满足原来电位的泊松方程和边界条件。 用镜像电荷取代导体平面以后，对导体平面上方的场分布不产生任何影响。 等效性仅仅在导体平面的上方才存在；在下半空间，这种等效性是不存在的。 严格地说，只有当导电平面为无限大时，镜像电荷才与原电荷等值异号，并位于原电荷的镜像位置上。对于有限的导体平面，利用镜像法得到的只是近似结果。 实际中，只要导电平面的面积足够大，满足一定的条件，都可以按无限大导体平面处理。,无限大
7、导体平面上方的点电荷所产生的电位和电场,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,如果导电平面上方存在多个点电荷或任意分布形式的电荷，可以用导体平面下方对称位置上的多个镜像点电荷或同样形式的镜像电荷分布来代替导体平面的影响。,（1）线电荷与无限大导体平面的镜像法 （2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法 （3）点电荷与两个平行的无限大导体平面的镜像法 补充说明,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,（1）线电荷与无限大导体平面的镜像法,镜像线电荷与原线电荷大小相等、极性相反，且位置以平面为对称，即,电磁场与电磁波理论,第3章
8、静电场及其边值问题的解法,上半空间的电位分布,若将零电位参考点取在导体平面上，即 ，则有,其中,线电荷距零电位参考面的距离,镜像线电荷距零电位参考面的距离,（1）线电荷与无限大导体平面的镜像法,必须要有足够多的镜像电荷才能满足两个导体平面的边界条件。 只有夹角满足条件 时，才能利用镜像法进行求解。镜像电荷总数为 个。 如果将点电荷换成线电荷，可以采用类似的方法求解。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,（2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,将包括镜像电荷在内的所有电荷所产生的场叠加，就得到所要求的场。 当夹角 时，点
9、电荷产生的电位分布为 当夹角 时，线电荷产生的电位分布为 零电位参考点取在两个导体平面的交点上。,（2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,（3）点电荷与两个平行的无限大导体平面的镜像法,此时为了满足两个平行的导体平面的边界条件，需要无穷多的镜像点电荷。显然，最后所得到的电位分布将会是一个级数。但是，通常只需计算离场域较近的镜像电荷的影响即可。 如果将点电荷换成无限长均匀线电荷，将得到无穷多的镜像线电荷。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,补充说明,镜像法不仅可以应用于一个点电荷与一个导体平面，而且还可以应用于多个电荷
10、与一个导体平面或者一个电荷与多个导体平面或者多个电荷与多个导体平面的边值问题。 不仅点电荷可以是任意形式的电荷分布，导体平面也可以是后面要讨论的介质平面、导体球面或圆柱面。 只要能确定适当的镜像电荷，使它们与原电荷一起满足所要求解的边值问题同样的源分布和边界条件即可。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,3.7.2 点电荷关于导体球面的镜像法,1. 接地球（壳）外的点电荷的镜像法 2. 接地球壳内的点电荷的镜像法 3. 球或球壳不接地时镜像法的应用,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,镜像电荷的大小和距球心的距离分别为,1. 接地球（壳）外的点电荷的镜像法,（3
11、.7.8）,球（壳）的外半径,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,电位所满足的方程和边界条件为,点电荷及其镜像电荷所产生的电位为,接地球（壳）外的点电荷的镜像法的验证：,1. 接地球（壳）外的点电荷的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,在接地球（壳）外， ，则,在接地球（壳）的表面， ，有,由此证明了上述镜像电荷的大小和位置是正确的。,1. 接地球（壳）外的点电荷的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,接地球（壳）外的点电荷所产生的电位,将 代入 就得到球壳外的电场。球壳以及其内部内的电场为零，球壳内的电位因为球壳接地保持为零。,（
12、3.7.9）,1. 接地球（壳）外的点电荷的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,导体球壳外表面分布着不均匀的感应面电荷，其面密度为,导体球壳外表面感应电荷总量为,（3.7.10）,（3.7.11）,1. 接地球（壳）外的点电荷的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,几点说明：,由于 ，所以总的感应电荷等于镜像电荷，但是电量小于实际的点电荷的电量。 导体球外的电场正是由点电荷以及球壳的外表面上的感应面电荷共同作用的结果。 镜像电荷实际上并不存在，它只是球壳的外表面上的感应面电荷的一种等效。,1. 接地球（壳）外的点电荷的镜像法,电磁场与电磁波理论,第
13、3章静电场及其边值问题的解法,镜像电荷的大小和距球心的距离同样为,2. 接地球壳内的点电荷的镜像法,（3.7.12）,球壳的内半径,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,接地球壳内的点电荷所产生的电位,将 代入 就得到球壳内的电场。球壳以及球壳外部内的电场为零，球壳的电位因为球壳接地保持为零。,（3.7.13）,2. 接地球壳内的点电荷的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,球壳的内表面分布着不均匀的感应面电荷，其面密度为,球壳的内表面感应面电荷的总量为,（3.7.14）,（3.7.15）,2. 接地球壳内的点电荷的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及
14、其边值问题的解法,总的感应电荷等于镜像电荷，其电量也等于实际的点电荷的电量。 导体球内的电场也是由点电荷以及球壳的内表面上的感应面电荷共同作用的结果。 镜像电荷实际上并不存在，它只是球壳的内表面上的感应面电荷的一种等效。,几点说明：,2. 接地球壳内的点电荷的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,3. 球或球壳不接地时镜像法的应用,无论点电荷在导体球的外部，还是在导体球壳的内部，如果导体球或球壳没有接地，仍然可以借助于镜像法求解。 根据场的叠加性，将所要求解的边值问题分为两个边值问题的叠加。 一个是求解接地导体球外有点电荷或者是接地导体球壳内有点电荷，可以利用镜像法求解。
15、 另一个是求解导体球或球壳没有接地，也没有电荷，只需利用直接积分法就可以求解了。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,常见的球或球壳不接地的情况有三种： （1）球或球壳保持固定的电位； （2）球或球壳带有固定的电量； （3）球或球壳既不带电，电位也不是固定的。,3. 球或球壳不接地时镜像法的应用,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,3.7.3 点电荷关于无限大介质平面的镜像法,介质分界面镜像法的基本思想 点电荷关于介质平面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,介质分界面镜像法的基本思想,当电荷附近存在着介质面时，可以将介质面上的极化电荷用
16、镜像电荷来代替。 所以对于不同的介质区域，要分别假设镜像电荷的位置和大小，并求出该介质区域中的电场。 必须利用介质分界面处的边界条件，确定镜像电荷的位置和大小，由此得到整个场域的场。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于介质平面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于介质平面的镜像法的镜像电荷的大小,（3.7.22）,（3.7.21）,在与原电荷的位置上设置镜像电荷 时，镜像电荷的大小,点电荷关于介质平面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,3.7.4 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法,平行线电荷的等位面以及电
17、轴法 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,平行线电荷的等位面以及电轴法,一对无限长的极性相反的平行线电荷的等位面,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,当用一个理想导体面来替代等位面，导体以外的场是不会改变的。利用平行线电荷的等位面的特点，可以得到线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像。不仅如此，还可以直接求解两个平行圆柱导体，两个偏心圆柱导体以及一个圆柱与无限大导体平面的等静电场的边值问题（电轴法） 。,平行线电荷的等位面以及电轴法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,电轴法的基本概念 当用一个理想导体面来替代等位面
18、，导体以外的场是不会改变的。 利用平行线电荷的等位面的特点，可以直接得到线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像。 还可以直接求解两个平行圆柱导体，两个偏心圆柱导体以及一个圆柱与无限大导体平面的等静电场的边值问题。 在求解过程中，只要能找到能够产生与圆柱导体重合的等位面所需要的线电荷的大小和位置即可。 电轴产生所需要的等位面线电荷的位置。,平行线电荷的等位面以及电轴法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像线电荷的大小和位置,线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱导体面外部的电位分布 取线电荷与镜像线电
19、荷的连线的中心为零电位参考点,圆柱体表面的电位,（3.7.29）,线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,导体圆柱外表面感应面电荷的面密度为,总的感应电荷等于镜像电荷，其电量也等于实际的点电荷的电量。,导体圆柱外表面感应面电荷的总量为,（3.7.30）,（3.7.31）,线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,3.8 静电场的数值解法,静电场的数值解法的基本概念 3.8.1 有限差分法 3.8.2 矩量法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,静电场的数值解法的基本概念,当边值问题所涉
20、及的边界形状比较复杂时，解析方法（分离变量法和镜像法等）往往变得无能为力，而不得不求助于数值方法来求解。 数值计算方法的基本特点是把求解整个场域中连续空间位置上的场转化为求解场域中各离散位置或场域中部分离散位置上的场。 数值计算方法可以分为“场域型”数值方法（如有限差分法、有限元法）和“边界型”数值方法（如矩量法、边界元法）。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,有限差分法的基本概念 1. 差分和差商的基本概念 2. 二维静电场边值问题的有限差分法求解 3. 差分方程的超松弛迭代法求解,3.8.1 有限差分法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,有限差分法用一组
21、描述离散点上的函数值之间的有限差分方程代替连续函数所满足的微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程），从而将微分方程离散成差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程。 利用有限差分法求解静电场边值问题中电位所满足的泊松方程或拉普拉斯方程，最终得到的将是场域空间内诸多离散点上的电位值。如果还需要求其它的物理量（电场、电容、储能等），还必须进行相应的差分计算。 离散点取的越多，得到的结果越精确。不过，所需要的时间也将越多。,有限差分法的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,1. 差分和差商的基本概念,增量 一阶差分 一阶差商,单变量函数的差分和差商,电磁场与电磁波理论,第3
22、章静电场及其边值问题的解法,二阶差商,1. 差分和差商的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,双变量函数的差分和差商,增量 二阶差商,1. 差分和差商的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,拉普拉斯运算,两个变量的增量可以是不等的，即 。 上式是二阶差商的其中一种近似形式，但却是精度最高的一种 。可以借助函数的泰勒展开表示式来加以证明。 类似地，可以得到三变量函数的二阶差商。但是，由于下面我们仅仅研究二维的场，所以就不讨论了。,几点说明：,1. 差分和差商的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,2. 二维静电场边值问题的有
23、限差分法求解,离散点的选择（区域的剖分）正方形的网格节点,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,对于每一个内部节点电位的拉普拉斯运算,这与书上利用泰勒展开式得到的结果是一样的。 对于位于区域边界的节点，如果是第一类边值问题，电位值由边界条件直接给出；否则，要做一些近似处理。,2. 二维静电场边值问题的有限差分法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,对应于泊松方程和拉普拉斯方程的差分方程组,对应于泊松方程的差分方程组,（3.8.10）,2. 二维静电场边值问题的有限差分法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,对应于拉普拉斯方程的差分方程组,（
24、3.8.11）,场域内任何一个节点的电位等于它周围四个节点电位的算术平均值。,2. 二维静电场边值问题的有限差分法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,例子在一个矩形场域内采用正方形网格剖分时泊松方程所对应的差分方程组。共有9个内部节点和16个边界节点。,内部节点上电荷密度与介电常数的比值,2. 二维静电场边值问题的有限差分法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,求解内部节点电位的矩阵方程,2. 二维静电场边值问题的有限差分法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,从上述分析可见，对应于场域内的每一个节点，就有一个差分方程。差分方程的个
25、数就等于场域内部节点的个数。由这些差分方程所组成的差分方程组就可以唯一地确定场域内部各节点上的电位。 场域内部各节点上的电位值可以是采用直接求解差分方程组的方法来确定，即直接法求解。也可以采用目前广泛使用的迭代法来确定场域内部各节点上的电位值。 在写出每一个节点差分方程组时，要特别注意节点的全局编号和局部编号的关系。,差分方程组的求解,2. 二维静电场边值问题的有限差分法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,迭代方程可以就是对应于泊松方程或拉普拉斯方程的差分方程，也可以是由这些差分方程根据不同的迭代法（雅可比法、高斯赛得尔法或超松弛法）所派生出来的方程。 迭代的终止（精度）
26、：,差分方程组的迭代法求解根据给定的边值和区域选择一组各节点的电位值作为初始值 ，将初始值代入迭代方程得到一次迭代值 ，再将一次迭代值代入迭代方程得到二次迭代值 ，如此循环下去，直到得到满意的解。,3. 差分方程的超松弛迭代法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,网络节点的双标号标示在采用迭代法时，通常采用节点的坐标的编号来表示节点的编号,不同迭代法所用的对应于拉普拉斯方程的迭代方程,3. 差分方程的超松弛迭代法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法, 高斯赛得尔（GaussSeidel）法或松弛法：, 超松弛法：,收敛因子,参考程序：电磁场数值计算法与M
27、ATLAB何红雨编著, 雅可比（Jacobi）法（简单迭代法）：,3. 差分方程的超松弛迭代法求解,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,3.8.2 矩量法,1. 矩量法的基本概念 2. 静电场边值问题的矩量法分析,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,1. 矩量法的基本概念,矩量法通过选取适当的基函数（展开函数）和权函数（测试函数）将各种线性算子方程（积分方程、微分方程、差分方程等）化为矩阵方程进行求解。由于在求解过程中，需要计算广义矩量，故此称为矩量法。 矩量法也是将所求方程化为矩阵方程后进行求解。 矩量法需要进行剖分和分析的区域仅仅限于问题的边界。 矩量法可以
28、像有限差分法那样用来求解附带一定边界条件的偏微分方程（例如，本征值问题），但是更便于求解边界条件已经包含在内的积分方程。 边界剖分所占用的计算机内存往往比场域剖分所占的内存少得多。但是，当媒质不均匀或场域结构比较复杂时，用有限差分法分析比用矩量法分析来得简便。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,矩量法的三个基本步骤 算子方程,（1）选取基函数 ，将未知函数 表示成基函数的级数，将算子方程化为代数方程。,算子方程,已知函数,展开系数,线性算子,代数方程,1. 矩量法的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,（2）取权重函数（加权函数、测试函数） ，并通过定
29、义适当的内积 将算子方程最终化为矩阵方程。,1. 矩量法的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,（3）求解矩阵，得到算子方程的近似解。,1. 矩量法的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,基函数和权函数的选择 矩量法应用的好取决于许多因素，例如离散化的程度、基函数与权函数的选择、矩阵的求解过程等等，其中基函数与权函数的选择尤为重要。 基函数可以分为全域（定义在整个所求空间内）基函数和分域（定义在整个所求空间的各个子空间内）基函数；而权函数除了可以选择全域权函数和分域权函数外，还可以选择 函数作为权函数，即点匹配。基函数和权函数的不同组合便形成了不
30、同的方法。 常用的全域函数有傅立叶级数、幂函数、勒让德函数等。常用的分域函数是单位函数（脉冲函数）、三角波函数、正弦函数和内插函数等。若基函数和权函数选成相同的形式，就称为伽略金法。,1. 矩量法的基本概念,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,2. 静电场边值问题的矩量法分析,（1）二维积分方程的矩量法 （2）一维积分方程的矩量法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,（1）二维积分方程的矩量法,任意已知常数,任意已知函数,二维积分方程,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,首先，将积分区域 分成 个小区域 。 然后，取分域脉冲函数作为展开函数，权重
31、函数取为狄拉克函数，且 ，即 其中的 是区域 的中点。 加权运算取成,（1）二维积分方程的矩量法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,二维积分方程的矩量法的矩阵方程,例题：求一块电位为 的金属薄板上的面电荷分布,（1）二维积分方程的矩量法,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,（2）一维积分方程的矩量法,任意已知常数,任意已知函数,将积分区域 分成 个小区间 。 取分域脉冲函数作为展开函数，权重函数取为狄拉克函数，且 。 加权运算取成,一维积分方程,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,例题：求一根电位为 的金属导线上的线电荷分布,一维积分方程的矩量法的矩阵方程,（2）一维积分方程的矩量法,