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1、1,数字图像处理与图像通信 朱秀昌 刘 峰 胡 栋 北京邮电大学出版社,2,第3章 图像信号的正交变换,3.1 离散傅立叶变换 3.2 离散K-L变换 3.3 离散余弦变换 3.4 数字图像信号的正交基表示 3.5 沃尔什和哈达玛变换,3,3.1 离散傅立叶变换,3.1.1 一维离散傅立叶变换 设离散序列： 离散傅立叶正变换（DFT）： 离散傅立叶反变换（IDFT）：,4,1.函数及其性质 定义： 性质： (1) 筛选性质 (2) 尺度变化性质,5,(3) 乘积（取样） (4) 卷积性质 (5) 变换对,6,2. 频率域抽样定理（和时间域的抽样对称） 如果函数h(t)的持续时间有限，即： 则其
2、傅氏变换H(f)能由其等间隔样本唯一确定：,7,3. 一维离散傅立叶变换（略）,8,4.离散卷积 设x(n)、h(n)是周期为N的周期函数，其离散卷积y(n)是一个周期为N的函数： 离散卷积定理： 离散相关： 离散相关定理：,9,3.1.2 二维离散傅立叶变换 1. 二维DFT的定义： f(x,y)x=0,1,M-1；y=0,1,N-1 的DFT: | F(u,v) |幅度谱 (u,v) 相位谱,10,2. 二维DFT的性质（特性） (1) 变换的可分离性 (2) 旋转不变性,11,3. 二维DFT的实现 用两次一维DFT就可以实现二维变换： x，y分别与行、列坐标相对应： 用同一个（一维）变
3、换程序：,12,3.2 离散K-L变换,K-L变换(Karhunen-Loeve Transform)，从图像的统计性质出发的变换 散的K-L变换: 特征向量变换、主分量变换、霍特林(Hotelling)变换， K-L变换式表示为： 其中,13,K-L变换也有反变换，可以从Y来重建X。由于A矩阵的各行都是正交归一化矢量，所以 ，可得： 优点：K-L变换的最大优点是去相关性能很好， 缺点： 二维K-L变换不是可分离的变换， 它是一种和图像数据有关的变换，必须计算 图像数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，计算量庞大， K-L变换难以实际应用。,14,3.3 离散余弦变换,3.3.1 一维DCT D
4、CT变换的基本思想： 将一个实函数对称延拓成一个实偶函数， 实偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数， DCT变换本质上仍然是傅立叶变换，但只有实数计算，计算简单。 一维DCT的定义： 设信号序列为f(x)|x = 0,1,N-1，其离散余弦的正变换：,15,逆变换: 一维DCT的正反变换的变换核： 矩阵形式：,16,3.3.2 二维DCT 二维图像信号序列f(x,y)x=0,1,M-1；y=0,1,N-1的二维DCT正变换： 二维DCT的逆变换： 二维DCT的正反变换的变换核都相同，且是可分离的：,17,二维DCT的矩阵形式： 用两次一维DCT实现图像信号的二维DCT： 二维DCT的频谱分布特点
5、：由于DCT相当于对带有中心偏移的偶函数进行二维DFT，因此，其谱域与DFT相差一倍，如图3.3所示。,图3.3 DCT与 DFT频谱的区别,18,3.4 数字图像信号的正交基表示,3.4.1 变换核的一般表达式 正反变换的通用形式： 正变换核：g(x,y,u,v) ；反变换核：h(x,y,u,v)。 可分离变换：,19,3.4.2 变换的矩阵表达式 可分离变的矩阵形式：,20,3.4.3 基本图像和基本频谱 二维正交变换矩阵的外积形式： 矩阵 f 分解成为求和形式： 向量外积形式：,21,外积: 一个N1向量与另一个1N向量的积，结果为一NN 阶矩阵。 “基本图像” 是固定的矩阵（只与该正交
6、变换的阶数有关）； 物理意义：以变换域系数作为加权，由外积的组合， 或者说由“基本图像”的组合，可以得到原始图像 f 。 “基本频谱” 利用“基本图像”和“基本频谱”， 分析频域的分量在空间域像素的贡献（影响）， 空间域的像素值对频域中频谱分量的贡献（影响）。,22,3.5 沃尔什和哈达玛变换,3.5.1 离散沃尔（Walsh）什变换 包括只有+1和-1两个数值； 完备正交基，计便于算机处理。 1. 一维离散沃尔什变换 一维离散沃尔什变换核和正变换： 一维离散沃尔什反变换核和反变换：,23,2. 二维离散沃尔什变换 二维沃尔什变换的变换核和正变换 二维沃尔什正变换 二维沃尔什变换的反变换核和反
7、变换（略）,24,矩阵表达式 【例2】求二维数字图像信号信号的二维沃尔什变换。 图像是44矩阵，n=2、N=4 二维沃尔什变换为：,25,3.5.2 离散哈达玛(Hadamard)变换 哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换， 哈达玛变换核矩阵是一个方阵，只包括+1和-1两个矩阵元素， 哈达玛变换核矩阵的各行或各列之间彼此是正交的， 哈达玛变换核矩阵与沃尔什变换不同之处仅仅是行的次序不同， 哈达玛变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用二个低阶矩阵求得。,26,1. 一维离散哈达玛变换 一维哈达玛变换核为 一维哈达玛变换式为 例如：,27,一维哈达玛反变换核 一维哈达玛反变换 列率：某一列符号改变的次数。通常称为这个列的， 定序哈达玛变换：列率随u增加而增加的次序 定序哈达玛变换核和反变换核,28,2. 二维离散哈达玛变换 二维离散哈达玛变换对： 二维哈达玛变换核是可分离和对称的，可分成二步一维变换来完成， 哈达玛变换也存在快速算法FHT，其原理与FWT类似。,