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1、王培磊,浅谈P问题、NP问题、NPC问题及NP难问题,Contents,时间复杂度,时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间，而是当问题规模扩大后，程序需要的时间长度增长得有多快。 不管数据有多大，程序处理花的时间始终是那么多的，我们就说这个程序很好，具有O(1)的时间复杂度，也称常数级复杂度；数据规模变得有多大，花的时间也跟着变得有多长，这个程序的时间复杂度就是O(n)。,时间复杂度,多项式级的复杂度 。 如 O(1), O(log(n),O(na)等 因为它的规模n出现在底数的位置 ！,时间复杂度,非多项式级的 如：O(an)和O(n!)等！,P问题,如果一个问题可以找到一个能在
2、多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于P问题。 我们常见到的一些信息奥赛的题目都是P问题。 ？ P问题 VS NP问题 ？,NP问题,首先：NP问题不是非P类问题 ！ NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题 可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。 像Hamilton回路问题。 在这个题中，找一个解很困难，但验证一个解很容易。 当然有不是NP问题的问题，即咱猜到了解但是没用，因为咱不能在多项式的时间里去验证它。 如下面这个： 我们已经知道Hamilton回路是NP问题，因为验证一条路是否恰好经过了每一个顶点非常容易。但我们把问题换成这样：试问一个图中是否不存在Hamilton回
3、路。这样问题就没法在多项式的时间里进行验证了，因为除非你试过所有的路，否则你不敢断定它“没有Hamilton回路”。,已经知道所有的P类问题都是NP问题。 那反之呢？其实就一句话：证明或推翻P=NP 这就是所谓的“NP问题”！,NPC问题（一）,人们普遍认为，P=NP不成立 多数人相信，存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的NP问题这就是NPC问题。 Reducibility(“约化”或“归约”)：一个问题A可以约化为问题B的含义即是，可以用解决问题B的解法来解决问题A，或者说，问题A可以“变成”问题B。 如：一元一次方程可以“归约”为一元二次方程。 问题A可“约化”为问题B直观意义：B的
4、时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度。也就是说，问题A不比问题B难。 很显然，约化具有一项重要的性质：约化具有传递性。如果问题A可约化为问题B，问题B可约化为问题C，则问题A一定可约化为问题C。,NPC问题（二）,现在再来说一下约化的标准概念就不难理解了：如果能找到这样一个变化法则，对任意一个程序A的输入，都能按这个法则变换成程序B的输入，使两程序的输出相同，那么我们说，问题A可约化为问题B。 注：我们所说的“可约化”是指的可“多项式地”约化(Polynomial-time Reducible)，即变换输入的方法是能在多项式的时间里完成的。约化的过程只有用多项式的时间完成才有意义。,NPC问题
5、（三）,NPC问题,P问题,NP问题,约化,约化,NPC问题（四）,总结： 定义：同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。首先，它得是一个NP问题；然后，所有的NP问题都可以约化到它。 证明：先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它,NP-Hard问题,NP-Hard问题：其满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条（就是说，NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广，但不一定是NP问题）。 NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法，但它不列入我们的研究范围，因为它不一定是NP问题。即使NPC问题发现了多项式级的算法，NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项
6、式级的算法。事实上，由于NP-Hard放宽了限定条件，它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。,NPC问题（补充）,？,NPC问题存在吗?,NPC问题（补充）,逻辑电路问题: 给定一个逻辑电路，问是否存在一种输入使输出为True。 这是第一个NPC问题。其它的NPC问题都是由这个问题约化而来的。因此，逻辑电路问题是NPC类问题的“鼻祖”。 我们知道，一个逻辑电路由若干个输入，一个输出，若干“逻辑门”和密密麻麻的线组成，如下图：,NPC问题（补充）,有输出无论如何都不可能为True的逻辑电路吗？,NPC问题（补充）,逻辑电路问题属于NPC问题它显然属于NP问题，并且可以证明所有的NP问题都可以约化到它 。,其大概意思是说任意一个NP问题的输入和输出都可以转换成逻辑电路的输入和输出（想想计算机内部也不过是一些 0和1的运算），因此对于一个NP问题来说，问题转化为了求出满足结果为True的一个 输入（即一个可行解）。,Thank You !,