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1、第六节 高斯公式与斯托克斯公式,一 问题的提出,二 Gauss 公式,三 简单应用,四 斯托克斯公式,五 小结,高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.,一 问题的提出,格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，也有同样类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。,二
2、高斯公式,Gauss 公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲 面上的曲面积分之间的关系.,三 高斯公式的简单应用,解,(利用柱面坐标得),使用Guass公式时应注意验证:,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,（此处也可用柱面坐标计算）,故所求积分为,例3,计算,所围的空间区域的表面，方向取外侧.,解,其中 S 为锥面,与平面,例4,计算,其中 S 是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所,围的正立方体表面并取外侧为正向.,解,设 S1 为上半球体的底面，,例5,计算,的外侧.,解,其中 S 是上半球面,取下侧.,于是
3、,解：,练习利用高斯公式计算曲面积分,其中为平面x0 y0 z0 xa ya za所围成的立体的表面,的外侧 。,由高斯公式,原式,(这里用了对称性),斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿 S,的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.,对曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定：,设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，,指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线,L 的正向.,四、斯托克斯公式,这个规定方法也称为右手法则.,L是有向光滑曲面 S的 正向边界曲线,右手法则,定理 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线,同 L ）上具有连续一阶偏导数，则有,S
4、 的侧与 L 的正向符合右手法则,在 S （连,注意:,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,如果 S 是 xoy 坐标平面上的一块平面区域,另一种形式,便于记忆形式，利用行列式记号把（Stokes)公式写成,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,例1. 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为平面 x+ y+ z = 1 与各坐标面的交线，,解,取逆时针方向为正向如图所示.,记三角形ABC为 S , 取上侧, 则,例2. 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的椭圆正向.,解
5、,记以 L 为边界的椭圆面为 S , 其方向按右手法则,确定，于是有,例3. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,解,按斯托克斯公式, 有,解,则,即,内容小结,1. 高斯公式,2. 斯托克斯公式,德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,高斯 (1777 1855),