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1、2019/9/2,1,第二章 不定方程,2.1 二元一次不定方程,2019/9/2,2,一、问题的提出百钱买百鸡,鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”,分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下：,消去z得到方程,这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 或正整数解，这种方程组称为不定方程。,2019/9/2,3,小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ）,分析： 这类问题实质上是“不
2、定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。,A、 、 B、 、 C、 、 D、 ,设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成， 则有,60m+90n=360.,2019/9/2,4,二元一次不定方程的一般形式为,注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。,2019/9/2,5,二、二元一次不定方程解的形式和判定,定理1 若1式有整数解,则1式的一切解可以表示为,（2）,2019/9/2,6,定理1的证明：,证：把2代入1，成立，故2是1的解。,2019/9/2
3、,7,例2 写出下列方程通解的形式：,2019/9/2,8,说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。,问题：所有的二元一次方程都有解吗？,定理2 有整数解,即为方程1的解。,2019/9/2,9,三、求二元一次不定方程整数解的一般方法,先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。,对于方程(1),若有解，则可化为,一般地，利用辗转相除法，得到,2019/9/2,10,例3 求方程 的一个特殊解。,解：用7、4进行辗转相除法,2019/9/2,11,例4 求 1的一切整数解。,原方程可以化为,先求 3 的一个整数解。,1073734，3749+1， 从而,故3的一
4、个整数解是,2的一个整数解是,原方程的整数解为,2019/9/2,12,三、求二元一次不定方程整数解的一般方法,代数运算，观察法,例5 求 的一切整数解。,即得到原方程的一个整数解,从而所求的一切整数解为,2019/9/2,13,三、求二元一次不定方程整数解的一般方法,变量代换法,例6 求 的一切整数解。,解：原方程可化为,则方程可化为,则方程可化为,则方程可化为,逐步往回代入，可得,2019/9/2,14,习题讲解：,则其一切整数解可以表示为,设 是原方程的一个非负整数解，,t 的取值区间长度为,从而得证。,2019/9/2,15,（1）方程的一般解可以表示为,在a个单位长度内，y一定有整数
5、解。,所以，一定存在某个 ，使得,对此t，代入原方程，得,2019/9/2,16,代入原方程，有,假设存在非负整数解，则,代入*，显然不成立。,2019/9/2,17,2019/9/2,18,2.2 多元一次不定方程,一、多元一次不定方程有解的判定,定理1 方程,1有解,2019/9/2,19,定理1 方程,假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。,令其一整数解为,故该方程有解，记为,进而得到 是原方程的一个整数解。,2019/9/2,20,二、多元一次不定方程求解的方法,例1 求不定方程 x 2y 3z = 7 的所有整数解。,（1）的解为,（2）的解为,把(4)代入(3),消去t,得
6、,注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.,2019/9/2,21,一般地，我们可以给出多元一次不定方程的求解方法.,2019/9/2,22,二、多元一次不定方程求解的方法,若d不能整除N，则原方程无整数解；,否则，继续下面的步骤。,(2)构造如下的n-1个方程,(3)求出每个方程的所有整数解含参数ti，,再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，,从而得到原方程的所有整数解。,2019/9/2,23,例2 求方程 的一切整数解。,原方程有整数解。,列出如下的2个方程：,(1)的解为,(2)的解为,把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为,2019/9/2,24,(1)的解为,(
7、2)的解为,把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为,例3 把 分解为三个分母两两互质既约正分数之和。,2019/9/2,25,例3 把 分解为三个分母两两互质既约正分数之和。,2019/9/2,26,2.3 勾股数,2019/9/2,27,人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？科学家们想尽了各种方法，比如通过卫星发射向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐等。而我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射类似下面的图形，如果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”.那这个图形的到底有什
8、么秘密呢？,我是地球人,I am a man on the earth ,2019/9/2,28,毕达哥拉斯,(公元前572-前492年) ,古希腊著名的数学家、哲学家、天文学家。,毕达哥拉斯,相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，从朋友家的地板中发现了这个秘密.,2019/9/2,29,SA+SB=SC,等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,2019/9/2,30,毕达哥拉斯定理：,毕达哥拉斯,“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理” 相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰
9、了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”,2019/9/2,31,赵爽弦图,赵爽:东汉末至三国时代吴国人. 为周髀算经作注，并著有勾股圆方图。这是我国对勾股定理最早的证明。,“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。,正因为如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。,2019/9/2,32,=,2019/9/2,33,这就是本届大会会徽的图案,这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”,2019/9/2,34,1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。
10、 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。,2019/9/2,35,a,a,b,b,c,c,伽菲尔德证法:, a2 + b2 = c2,2019/9/2,36,一、问题的提出,我们把满足二次不定方程,的正整数解称为勾股数.,早在我国古代数学书周髀算经中，就载有“勾三 股四弦五”，实际上说明该方程存在整数解。方程 1的非零整数解如何去求，其解具有怎样的特征， 是这里要回答的问题。,周髀算经是中国流传至今最早的一部数学著作,同 时也是一部天文学著作。现传本大约成书于西汉时期 (公元前一世纪)。也有史家认为它
11、的出现更早，是孕于 周而成于西汉，甚至更有人说它出现在纪元前1000年。,2019/9/2,37,二、二次不定方程 解的形式,为简单起见，我们先求方程1满足下述条件(2)的解,定理1：,2019/9/2,38,定理1的证明：,不论z如何取值，z2也不可能表示为该形式。,讨论同(2).,2019/9/2,39,定理1虽然给出了勾股数的一些特征，如何进一步写出任意的勾股数呢？,引理 不定方程,的一切正整数解，可以写成下面的形式,充分性显然；,必要性的证明如下：,2019/9/2,40,定理2：,(5),充分性：,2019/9/2,41,必要性：,定理2：,(5),2019/9/2,42,推论 单位
12、圆周上坐标都是有理数的点可以写成,的形式，其中a与b是不全为零的整数。,证明：,显然,都是单位圆周 上的有理点。,另一方面，,单位圆周 上的有理点,代入定理2即得证.,2019/9/2,43,Fermat 大定理,约于1637年，在Diophantus Arithmetica (Book 2, Problem VIII)的旁白上，Pierre de Fermat 写道：,“不可能把一个立方数分成两个立方数，或把一个四次 幂分成两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分成 两个同一次的幂；对此，我发现了一个殊堪称道的证明 ，但这里的空白太小，容不下。”,2019/9/2,44,相关高次方程解的判定
13、,定理3不定方程,证明反证,不可能！,2019/9/2,45,定理3中使用的证明方法称为无穷递降法，常用于,判定方程的可解性.,2019/9/2,46,推论 方程,没有满足 的整数解。,证: 反证,2019/9/2,47,2019/9/2,48,习题提示：,连续两次运用 的结论可以得出。,仿照 的证法。,2019/9/2,49,补充例题：,例1. 设x，y，z是互质的勾股数，x是素数，证明： 2z 1，2(x y 1)都是平方数.,证：,由x2 = (z y)(z y)及x是素数得,z y = x2，z y = 1，,于是2z 1 = x2，,2(x y 1) = (x 1)2,都是平方数。,
14、2019/9/2,50,例2.求整数x，y，z，x y z，使x y，x z，y z 都是平方数。,解：设 x y = a2，y z = b2，x z = c2，,则 a2 b2 = c2，,而方程a2 b2 = c2 的解可以表示为,.,由此得x = (u2 v2)2 t，y = (u2 v2)2 t,或 4u2v2 t，z = t，u, v, tZ.,2019/9/2,51,例3. 求方程x2 xy 6 = 0的整数解。,解：由x(x y) = 6得,从而(x, y) 的取值为：,或(3, 1)，或(3, 1)，或(6, 5)，或(6, 5)。,(1, 5)，或(1, 5)，或(2, 1)
15、，或(2, 1)，,2019/9/2,52,例4. 求方程 的正整数解。,解：显然x z，y z，,令x = z s，y = z t，s，tN，,代入方程可得z2 = st，,于是s = a2d，t = b2d，z = abd，,其中a, b, dN，(a, b) = 1，,由此得x = abd a2d，y = abd b2d，z = abd，,2019/9/2,53,例5. 证明 x2 y2 z2 = x2y2 没有满足xyz 0的整数解。,证： 设x，y，z是x2 y2 z2 = x2y2的整数解，,如果x，y同为奇数，则x2 y2 z2 被4除的余数为2或3，,但x2y2被4除的余数为1可以简单验证，此不可能；,如果x，y一奇一偶，则x2 y2 z2被4除的余数为1或2，,x2y2能够被4整除，此也不可能。,如果x，y同为偶数，则z也是偶数，,令x = 2x1，y = 2y1，z = 2z1，代入原方程,得x12 y12 z12 = 22x12y12，,反复以上的推理可得x，y，z能被2的任意次乘幂整除，,