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1、第7章,气体动理论(3),7.5 麦克斯韦速率分布律,1、速率分布的概念,平衡态下，气体分子分布在各个速率区间的分子数占总 分子数的百分率 ,大部分分子分布在哪个速率区间,0 时 ，O2 分子速率分布的统计数据,统计数据表明:,速率很大和速率很小的分子数占总分子数的比率 均很小，大多数分子以中等速率运动。,2、麦克斯韦速率分布律,设总分子数为 N,N 表示速率在 v v + v 区间内的分子数。,N 与 v 、 v 有关 。, 表示速率处在 v v + v 区间内的分子数占总 分子数的百分率。,（1）速率分布函数,也与 v 、 v 有关。, 分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总 分子
2、数的比率。,用 表示。,函数 称为速率分布函数, 其物理意义是: 分子速率在 v 附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分律。对单个分子而言就是任一分子速率处在 v 附近单位速率区间的概率(几率)。,（2）麦克斯韦速率分布函数,是分子的质量,玻耳兹曼常数,（3）速率分布曲线,以 v 为横坐标， 为纵坐标，画出的 曲线称为速率分布曲线。,分布曲线的物理意义：, 小矩形的面积,表示速率处在 v v + dv 区间内的分子数占总分子数的百分率。,曲边梯形的面积,表示速率处在 v1 v2 区间内的分子数占总分子数的百分率。,曲线下的总面积,归一化条件,3、三种统计速率,可由求极值条件 求得,分布曲线极
3、大值对应的速率叫最可几速率。,讨论两种情况：,（1）m0 一定,曲线高峰右移, 同时高度下降。,（2）T 一定，,1. 平均速率,若用dN表示速率在vv+dv 区间内的分子数，v 连续分布时，上式过渡到积分。,2. 方均根速率,速率平方的平均值,方均根速率,三种速率中， 最大， 次之， 最小,附录: 三种统计速率的计算,速率分布函数中令,则,速率平方的平均值,讨论思考题：试说明下列各式的物理意义,并非 之间的分子的平均速率,例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气
4、，哪条对应的是氢气？,解：,(1) T1 T2,(2) 绿：氧 白：氢,例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由电子数为 N ,电子速率最大值为费米速率 ，且已知电子速率在 v v + d v 区间的概率为：,解：,（1）,（2）,由归一化条件确定常数A,（3）,例3、求速率在 v1 v2 区间内的分子的平均速率。,解：,7.6 玻耳兹曼分布律 (了解),1、麦克斯韦速度分布律,分子动能,上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即,上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以 表
5、示分子的速度， 分别表示速度沿x,y,z的分量，则理论表明，平衡态下，在速度分量区间 内的分子数dN与总分子数N的比率为,全“速度空间”捕捉粒子的概率为1,“速率区间 v v + v ” 对应“速度空间”中半径为 v 、厚度为 d v 的“球壳”，所以粒子在速率区间内的概率为,2、玻耳兹曼分布律,当系统在保守力场中处于平衡态时，坐标介于 内，同时速度介于 的分子数为,式改写一下,式对所有速度积分得体积元 内的总分子数,式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件,令 ，式写成,称为分子数密度按势能分布的规律,重力场中分子数密度按高度分布的规律,n0 为 z = 0 处 的分子数密度,由理想气体状态方程得：,理想气体状态方程的另一形式,等温气压公式,高度计原理,作 业,8 ， 13 ， 15, 21,气体动理论,