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1、3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义 问题提出 1.虚数单位i的基本特征是什么？ （1）i21； （2）i可以与实数进行四则运算，且原 有的加、乘运算律仍然成立. 2.复数的一般形式是什么？复数相等 的充要条件是什么？ abi（a，bR）； 实部和虚部分别相等. 3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如 何？ 设zabi（a，bR）. 当b0时z为实数； 当b0时，z为虚数； 当a0且b0时，z为纯虚数. 4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数 集之间的关系如何？ 复数 实数 虚数 纯虚数 5.实数与数轴上的点一一对应，从而 实数可以用数轴上的点来表示，这是实 数的几何意义，根据类
2、比推理，复数也 应有它的几何意义.因此，探究复数的几 何意义就成为一个新的学习内容. 探究（一）：复数的点表示 思考1：在什么条件下，复数z惟一确定 ？ 给出复数z的实部和虚部 思考2：设复数zabi（a，bR）， 以z的实部和虚部组成一个有序实数对（ a，b），那么复数z与有序实数对（a，b ）之间是一个怎样的对应关系？ 一一对应 思考3：有序实数对（a，b）的几何意义 是什么？复数zabi（a，bR）可以 用什么几何量来表示？ 复数zabi（a，bR）可以用直角坐 标系中的点Z（a，b）来表示. x y Oa b Z：abi 思考4：用直角坐标系来表示复数的坐标 平面叫做复平面，x轴叫做实
3、轴，y轴叫 做虚轴，在复平面内，原点(0，0)，点 (2，0)，点(0，1)，点(2，3)所表 示的复数分别是什么？ x y O a b Z：abi 0，2，i，23i. 思考5：一般地，实轴上的点，虚轴上的 点，各象限内的点分别表示什么样的数 ？ x y O a b Z：abi 实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原 点外都表示纯虚数，各象限内的点表示 虚部不为零的虚数. 思考1：用有向线段表示平面向量，向量 的大小和方向由什么要素所确定？ 探究（一）：复数的向量表示 有向线段的始点和终点. 思考2：用坐标表示平面向量，如何根据 向量的坐标画出表示向量的有向线段？ 以原点为始点，向量 的坐标对应
4、的点为终 点画有向线段. x y O (a， b) 思考3：在复平面内，复数zabi（a ，bR）用向量如何表示？ x y O a b Z：abi 以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的 向量 . 思考4：复数zabi（a，bR）可以 用向量 表示，向量 的模叫做复数z 的模，记作|z|或|abi|，那么|abi| 的计算公式是什么？ x y O a b Z：abi 思考5：设向量a，b分别表示复数z1，z2 ，若ab，则复数z1与z2的关系如何？ 规定：相等的向量表示同一个复数. 思考6：若|z|1，|z|1，则复数z对 应复平面内的点的轨迹分别是什么？ 单位圆，单位圆内部. 例1 若复平面
5、内一个正方形的三个 顶点对应的复数分别为z112i，z2 2i，z312i，求这个正方形第 四个顶点对应的复数. x y O Z1 Z2 Z3 Z4 z42i 理论迁移 例1 已知复数 对应的点在直线x2y10上，求实数 m的值. 例3 设复数 ，若 |z|5，求x的取值范围. 小结作业 1.复数集C和复平面内所有的点所成的集 合是一一对应的，即 复数zabi 复平面内的点 Z（a，b） 一一对应 2.复数集C与复平面内的向量所成的集合 也是一一对应的，即 复数zabi 复平面内的向 量 一一对应 3.复数zabi与复平面内的点 Z（a，b）和向量 是一个三角对应关 系，即 复数zabi 点Z
6、(a， b) 向量 复数的几何表示： y x o bi a Z(a,b) z=a+bi 复平面： 实轴： 虚轴： 一一对应 3 25 4 O 1 思考 ： 复数与点的对应 X Y （1） +i； （2） i； （3） i； （4） ； （5） i； (A)在复平面内，对应于实数的点都 在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点 都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应 的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应 的复数都是纯虚数。 练习： (1)下列命题中的假命题是（ ） D 练习： 设z=a+bi(a,b是实数）和复平面 内的点Z（a，b）对应，a，b满 足什么条件，才能使点Z位于： （1）第一象限（2）第四象限 （3）上半平面（不含实轴） 作业： P105练习：1. P106习题3.1A组：4，5，6.