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1、,第六章 应力状态与强度理论,6.1 应力状态的概念,应力与点及截面方位有关。受力构件内过一点处不同方位微截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。可用应力单元体来研究一点的应力状态。,六个独立的应力分量：,第六章 应力状态与强度理论,6.1 应力状态的概念,单向应力状态可仅用某一方位微截面的正应力描述；纯剪切应力状态可仅由一对互垂微截面上的切应力描述。故对这两种应力状态下的点可分别按正应力或切应力建立强度条件，而无须涉及材料失效的原因。而对微截面既有正应力又有切应力的复杂应力状态，则必须找到能代表该应力状态的特征量，并结合材料失效的原因，才能建立相应的强度条件。,应力与点及截面方位有关。受力构
2、件内过一点处不同方位微截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。可用应力单元体来研究一点的应力状态。,dz,dx,dy,六个独立的应力分量：,6.1 应力状态的概念,若,则,实对称矩阵的特征值方程，有三个实根,6.1 应力状态的概念,J1 、J2 、J3 分别称为一点应力状态的第一、第二和第三不变量,若,若主应力有二重根，则与第三个主平面垂直的所有微面都是主平面，且相应主应力相等，可取其中两个互垂的微面作为主平面。,若主应力是三重根，则所有方位的微面都是主平面，且相应主应力相等，可取其中三个互垂的微面作为主平面。,6.1 应力状态的概念,工程中的杆件内各点在忽略次要应力的情况下一般处于平面应力状
3、态（单向应力状态可视为特殊的平面应力状态）。,如果将三个坐标轴分别取为互垂的各主平面方向，则应力单元体的所有微面都是主平面，单元体仅有主应力，称为主单元体，是过一点所有单元体中最简洁的，能反映该点应力状态的本质特点。,若一点的三个主应力都不为零，则称该点处于三向应力状态。如果只有两个主应力不为零，称为二向应力状态(平面应力状态)。仅有一个主应力不为零，则称为单向应力状态(单轴应力状态) 。,6.2 平面应力状态,一、斜截面上的应力,平面应力状态单元体可以用平面图形表示，由两对互垂微面上独立的三个应力分量就能完全确定该点应力状态。,6.2 平面应力状态,6.2 平面应力状态,二、应力圆 应力状态
4、的几何描述,分别以和为坐标轴的坐标平面内的圆。,圆周上的点与平面应力状态单元体斜截面一一对应 ，这个圆称为应力圆(莫尔圆)。,应力圆的圆心在横坐标轴上，故只要知道任意两个截面上的应力，就可作出应力圆,6.2 平面应力状态,三、主应力和主平面,若,定义0 为max 相应主平面与 x 截面的夹角，则,若,若,若,若,min 相应主平面的方位为,6.2 平面应力状态,三、主应力和主平面,最大 和最小切应力所在截面相互垂直且与主平面的夹角为45o,例：已知平面单元体的应力状态如图。 求：(1)截面上的应力；(2)主应力及主平面方位；(3)最大切应力 。,( MPa ),100,40,解：建立坐标系，有
5、,(1) 求斜截面上的应力,(2) 求主应力和主平面方位,得,60,例：已知平面单元体的应力状态如图。 求：(1)截面上的应力；(2)主应力及主平面方位；(3)最大切应力 。,( MPa ),100,60,40,(2) 求主应力和主平面方位,得,与 相应主平面的方位为,则与 相应主平面的方位为,(3) 求最大切应力,例：已知平面单元体的应力状态如图。 (1)求截面上的应力；(2)作应力圆。,解：建立坐标系，有,(1) 求斜截面上的应力,(2)作应力圆,应力圆收缩为一点 (点应力圆),6.3 三向应力状态简介,若一点处三个主应力都不为零，则该点为三向应力状态。可由微隔离体的平衡导出任意斜截面上的
6、应力，取坐标轴分别与三个主平面方向一致，任意斜截面方位用其法向矢描述，则有,同理，有,可视为以 l 2、m2 和 n2 为未知量的联立方程组，求解可得：,6.3 三向应力状态简介,三个互相相切的应力圆称为三向应力圆,6.3 三向应力状态简介,时有等式成立,时有等式成立,时有等式成立,6.3 三向应力状态简介,最大切应力所在平面与主应力2 平行且与另两个主应力1、3所在的主平面互成 45 o 夹角,最大正应力,最小正应力,最大切应力,例：已知一点的单元体应力状态如图。 求：(1)求主应力；(2)作三向应力圆；(3)求最大切应力。,解：单元体前、后面为主平面；建立坐标系，有,(主应力),(1)求主
7、应力,(2)作三向应力圆,(3)求最大切应力,6.4 广义胡克定律,各向同性材料的广义胡克定律,不变量，称为体积应变,6.4 广义胡克定律,各向同性材料的体积变化率 (体积应变)：,展开并略去高阶小量,在线弹性小变形下各向同性材料的体积改变仅与任意三个互垂截面的正应力之和相关,6.4 广义胡克定律,主应变,平面应力状态下的应变分析是电测法力学实验的理论基础之一。通过测量构件表面一点的应变，利用广义胡克定律换算出应力，从而确定该点应力状态。而自由表面各点处于平面应力状态。,6.5 平面应力状态下的应变分析,取,由广义胡克定律,6.5 平面应力状态下的应变分析,应变花 (应变片组),由于切应变不易
8、测量，实用中是沿三个便于计算的角度测出线应变，代入上式解出,直角应变花：取,6.5 平面应力状态下的应变分析,应变花 (应变片组),直角应变花：取,等角应变花：,6.5 平面应力状态下的应变分析,若被测点主方向已知，则可直接沿主方向测出两个主应变,单向应力状态：,纯剪切应力状态：,即单向应力状态和纯剪切应力状态只要测得一个主方向的主应变就可以确定所有主应变，进而算出主应力。,例：用直角应变花测得构件表面某点的应变,材料的弹性常数,试求该点的主应力和最大切应力,解：对直角应变花，有,6.6 应变能密度 畸变能密度,纯剪切应力状态，有,单向应力状态单元体微面上的力在变形过程中做的功为,弹性体因变形
9、而储存的能量称为应变能(变形能)，线弹性范围内，可通过功能原理求得。,不考虑能量损耗，则力做的功全部转化为单元体的应变能,单位体积内储存的应变能，称为应变能密度，单向应力状态有,叠加原理不再适用,6.6 应变能密度 畸变能密度,若用主单元体的应力应变表示，则有,注意此表达式不是叠加原理的结果,线弹性范围内，应变能只与受力变形的最终状态有关，与加力的次序无关。在三向应力状态下，有,6.6 应变能密度 畸变能密度,6.6 应变能密度 畸变能密度,形状改变能密度(畸变能密度),体积改变能密度,例：试以纯剪切为例，求各向同性材料的弹性常数之间的关系。,其主应力为,则有,解：纯剪切应力状态下应变能密度为
10、,得,比较二式，即,6.7 强度理论 相当应力,一、最大拉应力理论 ( 第一强度理论 ),试验表明，材料的破坏失效不仅与材料性质有关，而且还与应力状态有关,从可观察到的破坏现象，可归结为两类：脆性断裂与错动屈服。人们针对这两类破坏的机理进行探讨研究，提出了多种关于材料失效原因和判据的假说，一旦被实践验证，就成为强度理论。常用的强度理论按破坏形式大致分为针对脆性断裂的理论和关于错动屈服的理论两类。,脆性材料如铸铁、石材在拉伸和扭转时会发生脆性断裂；但在受压时则发生错动脱开，三向受压时甚至会出现明显的塑性变形。,低碳钢等塑性材料，在一般情况下的破坏表现为屈服失效，发生显著的塑性变形；在三向受拉时却
11、会产生脆断而无明显的塑性变形。,在任何应力状态下，材料发生脆性断裂的主要原因是最大拉应力达到极限值。,失效判据(断裂条件)：,该极限值可通过单向拉伸破坏试验得到，即发生脆性断裂时材料的强度极限b。,强度条件：,该理论与脆性材料在二向或三向拉伸时的破坏符合；若存在压应力，只要最大压应力的大小不超过最大拉应力，该理论同样适用；也适用于塑性材料在(或接近)三向等拉应力状态时的场合。,6.7 强度理论 相当应力,二、最大伸长线应变理论 ( 第二强度理论 ),在任何应力状态下，发生脆性断裂的主要原因是最大伸长线应变达到极限值。,失效判据(断裂条件)：,该极限值可通过发生脆性断裂的单向拉伸破坏试验得到。,
12、强度条件：,该理论符合脆性材料在单向受拉应力状态时的脆性断裂破坏，且较好地解释了岩石等脆性材料在单向受压时沿纵向开裂的脆性断裂现象。但在其他受力场合下与实际情况吻合程度较差。故这一理论适用范围有限。,用正应力表示的失效判据,由于早期的工程材料主要为砖石、铸铁等脆性材料，人们观察到的破坏现象多为脆断。所以早期提出的强度理论如第一强度理论和第二强度理论都是针对脆性断裂破坏的理论。这一类理论说明材料的脆性断裂只有在以拉伸为主的情况下才可能发生。随着低碳钢等一类塑性材料大量用于工程，出现了以屈服失效或发生显著塑性变形为标志的破坏形式，又发展出相应的强度理论。,6.7 强度理论 相当应力,三、最大切应力
13、理论 ( 第三强度理论 ),在任何应力状态下，发生错动屈服的主要原因是最大切应力达到极限值。,失效判据(失效条件)：,对塑性材料该极限值可通过发生错动屈服失效的单向拉伸破坏试验得到。,强度条件：,最大切应力理论又称为屈雷斯加(H.Tresca)屈服条件，适用于塑性材料在三向等拉应力状态以外的所有情况下的破坏。相应强度条件形式简单，且偏于安全。,用正应力表示的失效判据,6.7 强度理论 相当应力,四、畸变能密度理论 ( 第四强度理论 ),在任何应力状态下，发生错动屈服的主要原因是畸变能密度达到极限值。,失效判据(失效条件)：,对塑性材料该极限值可通过发生错动屈服失效的单向拉伸破坏试验得到。,畸变
14、能密度理论又称为米塞斯(Von.Mises)屈服条件，适用范围与最大切应理论相同，且更接近试验结果。,用正应力表示的失效判据,强度条件：,6.7 强度理论 相当应力,五、莫尔(Mohr)强度理论,莫尔强度理论是以几种典型应力状态下材料的破坏试验结果为依据，而建立的带有一定经验性的强度理论。,强度条件：,莫尔强度理论可以看作是最大切应力理论的发展，考虑了材料拉压强度不等的因素。,6.7 强度理论 相当应力,强度理论的应用,对脆性材料：,在三向压缩应力状态下材料的破坏为屈服失效，应采用第三或第四强度理论。,在复杂应力状态下的最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况下，宜采用莫尔强度理论。,在其他
15、应力状态下材料的破坏为脆断，采用第一强度理论。,对塑性材料：,在三向等拉应力状态(或接近)下材料的破坏为脆断，应采用第一强度理论。,在其他应力状态下材料的破坏为屈服失效，采用第三或第四强度理论。,上述观点，在现行工程设计规范中都有所反映。应当指出，在不同的情况下究竟如何选用强度理论，这并不单纯是个力学问题，还与有关工程技术部门长期积累的经验和相应规定有关。不同的行业部门看法也不完全一致。如对钢梁的强度计算一般采用第四强度理论，而对压力容器多采用第三强度理论。,6.7 强度理论 相当应力,相当应力,主应力强度条件,相当应力,(Tresca应力),(Mises应力),6.7 强度理论 相当应力,相
16、当应力,单向拉伸应力状态,塑性材料,单向压缩应力状态,纯剪切应力状态,铸铁材料,简单应力状态下，按正应力或切应力建立的强度条件符合相应的强度理论,例：图示钢制圆柱形薄壁容器,受均布内压 p=3.6MPa 的作用。其平均直径 D=500 mm,材料的许用应力=160 MPa 。试确定容器的壁厚 t 。,解：求横截面和纵截面上的应力,取单元体，求主应力,塑性材料在二向受拉应力状态,按第三强度理论：,按第四强度理论：,第三强度理论偏于安全,例：图示两端简支的焊接工字钢梁，Iz =8810 -6 m4 ，许用应力 =160MPa，试用第四强度理论校核梁的强度。,解：作内力图，确定危险截面,校核危险点的强度,B,( 超出量 5 % ),例：图示两端简支的焊接工字钢梁，Iz =8810 6 mm4 ，许用应力 =160MPa，试用第四强度理论校核梁的强度。,解：作内力图，确定危险截面,校核危险点的强度,B,例：图示两端简支的焊接工字钢梁，Iz =8810 6 mm4 ，许用应力 =160MPa，试用第四强度理论校核梁的强度。,解：作内力图，确定危险截面,校核危险点的强度,B,综上，梁的强度是足够的。,