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1、第四章 随机变量的数字特征,一个随机变量的性质，完全由它的分布函数所确定，但在实际问题中，常常很难求出随机变量的分布函数;另一方面，在某些问题中也并不需要知道其分布函数，只要知道随机变量的某些特征就够了。,例如：评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般是评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常只需知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个平均寿命的偏离程度就够了。,本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩.,例: 在一次测验中，10名学生有2人得70分，5人得80分，3人得90分，那么他们的平均成绩为81分，具体计算方法为：,若将10个学生中任一个人的测验成绩看成随机变量 X，则 X的分
2、布律为,上面平均分算式的右端正好是X的各个可能取值与相应概率乘积之和，所以由 ,称为X的数学期望,数学期望是能够体现随机变量取值的平均数。,1 数学期望,一、数学期望的定义,注: 数学期望是最基本的数字特征，数学期望是能够体现随机变量取值的平均数,数学期望简称期望，又称为均值。,例:买一张奖卷能获得的奖金数 X 服从如下分布,求 “期望”的奖金数就是 X 的平均值。,1) 若将5个装置串联成整机，求整机寿命 N 的数学期望；,2) 若将5个装置并联成整机，求整机寿命 M 的数学期望。,2) 若将5个装置并联成整机，求整机寿命 M 的数学期望。,例、某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方
3、式。记使用寿命为 X（以年记），规定：,设寿命 X 服从指数分布，概率密度为,试求该商店销售一台的收费 Y 的数学期望。,于是,二、一维随机变量的函数的数学期望X,E(g(X)?,说明: 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求 E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可 以了.,例: 设随机变量 X 的分布律为,令Y=,E(Y)=4*0.7+0*0.32.8,(2)方法一：,例: 假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变 量 X (单位:吨), 它 在区间 2000,4000 上服均匀分布. 已知每售 出一吨该商品就可赚得外汇 3 万美元； 但若销售不出去, 则每 吨需存储费
4、用 1万美元, 那么，外贸部门每年应组织多少货源 才能使收益的期望值最大？,三、二维随机变量函数的数学期望(X,Y),E(g(X,Y)?,说明: 在已知Z是X,Y的连续函数前提下,当我们求 E(Z)时不必知道Z的分布, 只需知道(X,Y)的分布就可 以了.,例:设(X,Y)的分布律为,(1)E(X),E(Y);(2)Z=Y/X,求E(Z);(3)Z=XY,求E(Z),解:方法一： (1) E(X)=1*0.4+2*0.2+3*0.4=2,E(Y)=-1*0.3+0*0.4+1*0.3=0,(1)E(X)=0.2*1+0.1*2+0*0.3+0.1*1+0*2+0.3*3+0.1*1+0.1*2
5、+0.1*3=2,E(Y)=0.2*(-1)+0.1*(-1)+0*(-1)+0.1*0+0*0+0.3*0+0.1*1+0.1*1+0.1*1=0,(2)E(Y/X)=0.2*(-1/1)+0.1*(-1/2)+0.0*(-1/3)+0.1*(1/3) =-1/15,(3)E(XY)=0.2*(-1*1)+0.1*(-1*2)+0.0*(-1*3)+0.1*(1*3) =0.2,方法二：,四、数学期望的性质,16,例: 一送客车上有 20 位乘客，乘客有 10 个车站可下车 ，如到达一车站无人下车，车就不停，以 X 表示停车次数，求 E(X) (设每个人在各车站下车是等可能的且每个人是否下车相互独立),本题将 X 分解成数个随机变量之和,然后利用数学期望的性质来求 X 的期望，这种处理方法具有一定的普遍性。,课堂练习:将n只球（1n号）随机的放进n只盒子（1n号）中去，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X为总的配对数，求E(X)。,五、求数学期望的几个常用公式,