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1、Chapter9 Buckling of Columns,第九章 压杆稳定,第九章 压杆稳定 （Buckling of Columns ）,9-1 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns),9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Eulers Formula for other end conditions ),9-2 两端铰支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight, uniform, axially loaded, pin-ended columns),9-4 欧拉公式的应用范围经验公式 (Applic
2、able range for Eulers formula the experimental formula ),9-5 压杆的稳定校核 (Check the stability of columns),9-6 提高压杆稳定性的措施 (The measures to enhance the columns stability),第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为,例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1 mm.钢的许用应力为=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为,F = A = 3.92 kN,91 压杆稳定的概念 (The basic concepts
3、of columns),实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力.,一、引言 (Introduction),工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作.,二、工程实例（Example problem）,案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.,三、失稳破坏案例 (Bucking examples),
4、案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.,案例3 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.,研究压杆稳定性问题尤为重要,1.平衡的稳定性（Stability of equilibrium ）,四、压杆稳定的基本概念 (The basic concepts of columns),随遇平衡,2.弹性压杆的稳定性 (Stability of Equilibrium applies to elastic compr
5、essive members),稳定平衡状态,临界平衡状态,不稳定平衡状态,确定压杆的临界力 Fcr,五、稳定问题与强度问题的区别(Distinguish between stable problem and strength problem),平衡状态,应力,平衡方程,极限承载能力,直线平衡状态不变,平衡形式发生变化,达到限值,小于限值 sss,变形前的形状、尺寸,变形后的形状、尺寸,实验确定,理论分析计算,强度问题,稳定问题,压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？,压杆,9-2 两端绞支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight,
6、uniform, axially loaded, pin-ended columns),m,m,l,M(x)=-Fw,F,该截面的弯矩,杆的挠曲线近似微分方程,压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移,（a),令,(b)式的通解为,（A、B为积分常数）,边界条件,由公式(c),讨论：,若,则必须,这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）.,令 n = 1, 得,挠曲线方程为,挠曲线为半波正弦曲线.,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Eulers Formula for other end conditions ),1.细长压杆的形式（Different end con
7、ditions of a straight columns),两端铰支,一端自由一端固定,一端固定一端铰支,两端固定,2.其它支座条件下的欧拉公式(Eulers Formula for Other End Conditions),长度因数,相当长度,l,两端铰支,一端固定，另一端铰支,两端固定,一端固定，另一端自由,表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式, = 1, = 0.7, = 0.5, = 2,欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula),（ 为压杆的长度因数）,5.讨论（Discussion), 为长度因数, l
8、为相当长度,（1）相当长度 l 的物理意义,压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度 l . l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.,z,y,x,取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力.,若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.,即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然后取小的一个作为压杆的临界压力.,（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I,若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩.,例题1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆
9、为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.510 4 mm4,Iy=3.810 4 mm4，弹性模量E=2.110 5 MPa.试计算临界力Fcr.,（1）杆件在两个方向的约束情况不同；,（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆 的临界压力.,分析思路：,解：,所以连杆的临界压力为134.6kN.,xOy面：约束情况为两端铰支m=1，I=Iz，l=1m,xOz面：约束情况为两端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88m,压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算.,9-4 欧拉公式的应用范围经验公式 (Applicable
10、range for Eulers formula the experimental formula ),一、临界应力 (Critical stress),欧拉公式临界应力 (Eulers critical stress),按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为,i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径., 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳.,令,令,则,则,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力
11、cr 。,二、 欧拉公式的应用范围 (Applicable range for Eulers formula),只有在 cr p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.,或,令,即l 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.,当 1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.,1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，p=200MPa，得,三. 常用的经验公式 ( The experimental formula),式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.,2 是对应 直线公式的
12、最低线.,直线公式,的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.,或,令,四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio ),1.压杆的分类（Classification of Columns ）,（1）大柔度杆（Long columns）,（2）中柔度杆（Intermediate columns ）,（3）小柔度杆（Short columns）,2.临界应力总图,例题2 图示各杆均为圆形截面细长压杆. 已知各杆的材料及直径相等. 问哪个杆先
13、失稳?,解：,A杆先失稳.,杆A,杆B,杆C,例题3 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失 稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长 l=1m ，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa. 求压杆的临界 应力.,解：,因为 z y ，所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 1，用欧拉公式计算临界力.,例题3 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求,（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；,（2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力.,已知： E = 20
14、0 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.,解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度,压杆 = 1,（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?,用直线公式计算,1.稳定性条件 (The stability condition),2.计算步骤 (Calculation procedure),（1）计算最大的柔度系数max； （2）根据max 选择公式计算临界应力；,（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷.,9-5 压杆的稳定校核 (Check the stability of colum
15、ns),例题4 活塞杆由45号钢制成，s = 350MPa ， p = 280MPa E=210GPa. 长度 l = 703mm ，直径 d=45mm. 最大压力 Fmax = 41.6kN. 规定稳定安全系数为 nst = 8-10 . 试校核其稳定性.,活塞杆两端简化成铰支,解：, = 1,截面为圆形,不能用欧拉公式计算临界压力.,如用直线公式，需查表得：,a= 461MPa,b= 2.568 MPa,临界压力是,活塞的工作安全因数,所以满足稳定性要求.,例题5 油缸活塞直经 D = 65mm，油压 p =1.2MPa.活塞杆长度 l=1250mm，材料为35钢，s =220MPa，E
16、= 210GPa，nst = 6.试确定活塞杆的直经.,解：活塞杆承受的轴向压力应为,活塞杆承受的临界压力应为,把活塞的两端简化为铰支座.,用试算法求直径,（1）先由欧拉公式求直径,求得 d = 24.6mm.,取 d = 25mm,（2）用求得直径计算活塞杆柔度,由于 1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的.,例题6 AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端可视为铰支. 材料为Q235钢，弹性模量 E = 200GPa. 比例极限p =200MPa，屈服极限 s=240MPa，由AB杆的稳定条件求F. （若用直线式 a = 304 MPa， b =1.12 MPa ）,解：取 BC 研究,FN,用直线公式,F =118kN,不能用欧拉公式,自己看书（ P 305307）,9-6 提高压杆稳定性的措施,第九章结束,