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1、2.4 麦克斯韦速度分布,所谓按速度分布，就是要找出在速度为 区间内的分子数占总分子数的比率，即：,表示一个分子处在 附近单位速度间隔内的几率,一个分子的速度处在 区间是指其速度分量分别处在 间隔内,仅是 的表示式,则：,2.4.1 速度空间,一、速度空间的代表点,1. 速度空间：,以速度分量vx、vy、vz为坐标轴的直角坐标系（或以v、 为坐标的球坐标系）所确定的空间。,在速度空间中，任意一个从原点出发的矢径 就代表了一个确定的速度,2. 代表点,速度空间中速度矢量的端点称为分子代表点。,N个不同速度的分子，就对应于速度空间中的N个代表点,3. 注意：, 速度空间是想象的空间，该空间仅只描述
2、了速度的大小 和方向。, 速度空间是想象的空间，该空间仅只描述了速度的大小和方 向。,速度空间中的矢径 实际上是将对应的分子的速度从其 真实坐标空间平移后得到的。,速度空间的代表点不描述分子的 空间位置，仅只说明该点对应了一个速度为 的分子。,(2) 结论：,有多少分子其速度在 间隔内,= 有多少分子的速度矢量的端点处在速度空间中以dvx、dvy、 dvz为边长的一个小体积元内,= 有多少分子代表点处在速度空间中以dvx、dvy、dvz为边长 的一个小体积元内,二、代表点在速度空间的分布：,1. 分布图：,若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一
3、种分布图形。,表示了体积元 内分子代表点的相对密集程度,2. 速度分布概率及概率密度：,一维：,考查点位于xx+dx区间的概率：,dx表示区间线度，,f(x)表示考查点分布的概率密度,二维：,考查点位于xx+dx, yy+dy区间的概率：,dxdy表示区域面积，,f(x，y)表示考查点分布的概率密度,对于三维速度：,设考查区为vxvx+dvx, vyvy+dvy, vzvz+dvz的微分元，其中的代表点数目为dN(vx,vy,vz)，则相应有：,即：概率密度,3. 分析 ：, 一维情况（如x方向）：,a) 在速度空间vx轴等间距分若干微元，取其中之一：dvx,只要速度的x分量在vxvx+dvx
4、范围，则所有分子代表点均处于此薄薄的无穷大平板中,b) 设此板内分子代表点数为dN(vx)，则分子速度x分量在vxvx+dvx的概率为：,其中f(vx)称气体分子在x方向速度分量的概率密度,分子速度x分量在vxvx+dvx的概率为：,其中f (vx)称气体分子在 x方向速度分量的概率密度, 一维情况：,同理可得一维情况在vy、vz方向的结果：,根据分子混沌性假设，平衡态时分子速度没有择优取向，故：,速度三个分量的概率密度f (vx)、 f (vy) 、 f (vz) 形式相同, 二维情况（如x、y方向）：,类似地在速度空间vx、 vy轴等间距分若干微元，取其中之一：dvxdvy ，,为一根平行
5、于vz，截面积为dvxdvy的无穷长方体。,速度分量介于vxvx+dvx ， vyvy+dvy的dN(vx ,vy)个分子代表点均处于此长方体中。,分子速度x分量在vxvx+dvx的概率为f (vx)dvx，速度y分量在vyvy+dvy的概率为f (vy)dvy 。,分子同时处于这两个区域即图中长方体中的概率为：, 三维情况：,同理，应当在速度空间的一个体积元(dvx,dvy,dvz)中找到速度分量介于vxvx+dvx , vyvy+dvy , vzvz+dvz的分子代表点数目为dN(vx,vy,vz)，则有：,可见：,速度分布概率密度 f (vx,vy,vz) =分子按速度分量分布的概率密度
6、的乘积f (vx) f (vy) f (vz),分子处于速度微元dvxdvydvz中的概率= f (vx,vy,vz)dvxdvydvz,2.4.2 麦克斯韦速度分布,速率间隔在vv+dv内的分子数，实际上就是处在速度空间内到坐标原点的距离为 vv+dv区域内的分子代表点的数目。,此区域是一个半径为v厚度为dv的球壳，,其内的分子代表点数目为：,根据分子混沌性假设，此球壳内的代表点均匀分布，则其体密度为：,则在速度 附近，体积元 内的分子代表点数目为：,则：速度在 区间的分子数占总分子数的百分比，,即麦克斯韦速度分布为：,则在速度 附近，体积元 内的分子代表点数目为：,2. 速度分量的分布函数
7、：, 表达式：,对任意一个速度分量 i (i=x,y,z)，分子的概率分布为：,则速度分量在vxvx+dvx的分子数dN(vx)占总分子数的比率为：,速度分量在vyvy+dvy的分子数dN(vy)占总分子数的比率为：,速度分量在vzvz+dvz的分子数dN(vz)占总分子数的比率为：, 概率分布曲线：,可见：, 速度分量的概率密度函数 f (vi)是偶函数，对称于纵 轴分布, 任一区间dvx的分子分布概率即为曲线下对应部分的面积,速度分量在vivi+dvi的分子数dN(vi)占总分子数的比率为：,面积,3 说明：, 上面是简单说明性推导，严格的理论推导最早由麦克斯韦用概率统计的方法导出, 历史
8、上先推得麦氏速度分布，而后由速度分布推得速率分布, 在推导麦氏速度分布时没有考虑分子间的作用力，因而只适用于平衡态理想气体, 意义:,首次用概率统计的方法讨论微观过程，为统计物理学的诞生奠定了重要基础。,2.4.3 相对于vp的麦克斯韦速度分量分布与速率分布误差函数,一、 相对于vp的麦克斯韦速度分量分布,1. 分布：,例如:讨论速度的x分量在0vx范围的分子数。,其中 为最概然速率, 相对速度分量，约化速度分量,则：,速度的x分量在vx vx+dvx范围的分子数所占比率,速度的x分量在vx vx+dvx范围的分子数所占比率 （概率）：,可见，速度的x分量在某一数值 vx 以内的概率（比率）：
9、,速度的x分量在 0ux （或0vx）范围的分子数为：,速度分量在( vx ， ) 内的分子所占比率为：,2. 误差函数：, 定义：, 误差函数表见课本70页表2.1，,当x大于表中数值时，erf(x)可按幂级数展开计算，即：,例1 试求在标准状态下氮气分子速度的x 分量小于800 ms-1的 分子数占全部分子数的百分比,查表得erf (2)=0.9953,解：,即求T=273K时，0 vx 800 ms-1的,二、 相对于vp的麦克斯韦速率分布,麦克斯韦速率分布：,（A）,（B）,则 可得0v 速率范围的分子数所占比率：,则 0v 速率范围的分子数占总分子数的比率：, 0v 速率范围的分子数
10、：, 速率在( v, ) 范围内的分子数占总分子数的比率：, 速率在( v, ) 范围内的分子数：,说明：,称为约化速率。,在理论分析式总结实验数据规律时，常采用约化量，它们能更好地反映共性，有利于揭示现象的本质。,例2 试求在标准状态下氮气分子速率介于200205 ms-1 的 分子数占全部分子数的百分比,解：标况下N2分子有：,2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布,对于麦克斯韦速率分布，在速度空间中，所有速率介于vv+dv 区间内的分子的代表点应该都落在以原点为球心，v 半径，厚度为dv的一薄层球壳中。,所谓速率分布是指速率处于任一区间vv+dv内的分子数占总分子数的比率。,根据分子
11、混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概率的，,对薄球壳，dv 0，,则在球壳内的代表点数 dNv 是 :,麦克斯韦速度分布,由此可知：在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表点的数密度D(v) 为：,说明分子代表点的数密度 D 是球对称的，D 仅是离开原点的距离v 的函数，即D(v) 。,可认为它内部各分子代表点的数密度D 都相等，都为D(v) 。,由此可知：在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表点的数密度D(v) 为：,由麦克斯韦速度分布,这就是麦克斯韦速率分布。,在球壳内的代表点数 dNv 是 :,2.4.5 绝对零度时金属中自由电子的 速度分布
12、与速率分布 费米球,金属自由电子模型指出，金属中的价电子是无相互作用的自由电子。在T=0 K时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球。其球心位于速度空间的原点，球的半径为vF（称为费米速率，是一个仅与金属种类有关的常数）。,具体说来，电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零，位于球内的概率密度为常数，设为De,由归一化条件知,电子的速率分布可表示为,电子的速率分布可表示为,由此可求：,不同金属，EF 值不同，一般它取eV的量级。,费米能：费米球表面的能量,这说明即使在T=0 K时，金属中自由电子还在以106ms-1的数量级的平均速率在运动着，这是经典理论无法解释的（按照麦克斯
13、韦分布，T=0 K时的自由电子平均速率为零）。这种运动称为零点运动。,例如，铜的EF =1.110-18J，而me=9.110-31kg，由此知T=0 K时铜中自由电子的平均速率为：, 具有N个分子的气体处于平衡态(P,V,T)时，以容器为参考系的速率分布函数为：, N个分子的气体处于平衡态时，以容器为参考系，速率在 v v+dv间的平均分子数等于：, N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v v+dv间的分子占总分子数N的百分比（概率）,麦克斯韦速率分布概率密度,概率,即分子处于速率 v 附近单位速率区间内的概率,麦氏速率分布：,打靶实验：,一维情况 :,，靶点在 的数目,，靶点在 的概率,x方向的概率密度：,表示了沿x方向在dx区域内靶点的相对密集程度,靶点处于x 到 x+dx 范围内的概率:,