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1、第二章 控制系统的状态空间描述,Modern Control Theory,线性系统的数学描述 状态空间描述的基本概念 状态、状态变量 状态矢量（状态向量） 状态空间 状态方程 输出方程 状态空间表达式 状态变量结构图,本章主要内容,本 章 主 要 内 容,机理分析法列写状态空间表达式 由微分方程求状态空间表达式 系统的传递函数矩阵 系统状态方程的线性变换 基本知识及概念 状态方程的两种标准形式 对角形 约当形 将状态方程化为标准形式,本章主要内容,重点内容：要求熟练掌握 电路、机电系统状态空间表达式的建立（由系统的物理机理或由微分方程推导状态空间表达式）。 线性变换的基本性质以及对角和约当标
2、准型。 传递函数矩阵的定义及求取（由状态空间表达式）。,本章重点内容,2.1 线性系统的数学描述,系统描述中常用的基本概念 1. 系统：一些相互制约的部分所构成的整体。 典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。 被控过程具有若干输入端和输出端。 2. 输入和输出： 输入-由外部施加到系统上的全部激励 输出-从外部量测到的来自系统的信息,典 型 控 制 系 统 方 框 图,2.1 线性系统的数学描述,3. 系统数学描述的两种基本方法：,4. 松弛性:,若系统的输出 由输入 唯一确定，则称系统在 是松弛的。,系统的外部描述（输入输出描述）传递函数或高阶微分方程, 不计所有内部中间变量。
3、 系统的内部描述状态空间表达式，基于系统内部结构， 计及内部状态，是对系统的一 种完整的描述。,2.1 线性系统的数学描述,算子,5. 线性：一个松弛系统，当且仅当对任何输入 及任意常数 ， 均有 则该系统称为线性的，否则为非线性。 6. 定常性（时不变性）：,2.1 线性系统的数学描述,(可加性),(齐次性),一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数 ，均有,则称系统是定常的，否则称为时变的。,-位移算子,定常性（时不变性）,状态和状态变量 状态向量 状态空间 状态方程 输出方程 状态空间表达式 状态变量结构图,2.2 状态空间描述的基本概念,一、状态和状态变量 1、状态：表征系统在时间域
4、中运动的信息和行为。 2、状态变量：足以完全表征系统运动状态的 最小个数的一组变量。 注意：1)、状态变量的选取具有非唯一性，可用一组数目最少的变量作为状态变量；,相互独立， 其个数等于微分方程的阶数, 微分方程阶数取决于独立储能元件的个数 状态变量的个数应等于独立储能元件的个数,2)、状态变量不同于输出变量，其不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义。 二、状态向量（状态矢量）,若描述系统状态n状态变量用 表示，并把这些状态变量看作是向量(矢量) 的分量，则向量 称为n维状态向量，记作： 或：,三、状态空间,以状态变量 作为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间。,说明： 1)、系统在任一时刻的
5、状态，在状态空间中用一点表示。 2)、随着时间的推移，将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。,状态空间,四、状态方程-描述输入与系统内部状态的变化关系 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组(离散系统)称为状态方程。 说明：1)、状态变量的选择具有非唯一性，因此状态方程也具有非唯一性； 2)、虽然状态方程的形式不同，但它们的本质相同，都描述了同一个系统； 3)、不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。,五、输出方程 描述系统输出量与状态变量（输入量）之间函数关系的代数方程 称为输出方程。,由系统任务确定或给定,指定 作为输出，则：,或,
6、用y 表示,矩阵表示式为： 或 ：,六、状态空间表达式 A，B，C，D 状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，亦称为动态方程。 说明：1、状态空间表达式是对系统动态行为的完全 的描述，因为它既表征了输入对于系统内部状 态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输 出的影响。 2、状态空间表达式是非唯一的，因为系统状 态变量的选择是非唯一的。,设单输入-单输出线性定常连续系统，其状态变量为： ，则状态方程的一般形式为:,输出方程为：,状态空间 表达式,状态空间表达式写成一阶矩阵微分方程的形式为 :,简记为：,系统矩阵或系数矩阵:表示系统内部状态的联系，为 方阵,输出矩阵,输入矩阵或控制矩阵，为
7、输入对状态的作用， 的列阵,n 维状态变量,对于一个具有 个输入 个输出的复杂系统，其 状态方程为:,输出方程的一般形式为：,多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量形式为：,可简写为：,系统矩阵或系数矩阵:表示系统内部状态的联系，为 方阵,n维状态变量,输出矩阵,m 维输出向量,输入矩阵,r维输入向量 （控制向量 ）,直接转移矩阵 (关联矩阵 ),线性时不变系统模型：,线性时变系统模型：,线性定常离散系统模型：,七、状态变量结构图,+,+,+,+,讨论：1、状态变量的独立性。 2、由于状态变量的选取不唯一，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不唯一。但是，用独立变量所描述的系统的维数(阶数)应
8、该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。 3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。,例2.1、 试分别确定下图（a）、（b）所示电路的独立状态变量。 图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。,（a） （b）,因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。 对图（b），x1 = x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量如（x2，x3）
9、作为状态变量。,解：并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。 对图（a），不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有,列写状态空间表达式（ 机理分析法） (1)、根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量； (2)、 根据对象或环节所遵循的物理或化学定律，列写出描述变化过程的原始方程； (3)、列出矩阵微分方程形式的状态空间表达式。,2.3 机理分析法建立状态空间表达式,几个不同系统状态方程的列写示例：,例2.2、电路系统状态空间表达式的列写示例,求图示RLC回路的状态空间表达式。,独立储能元件(2个)： 电容C 和电感 L,可用二阶微分方程式描述该系统,以
10、和 作为该系统的两个状态变量：,设状态变量 ，则该系统的状态方程为:,写成向量矩阵形式为:,简记为:,即：,若改选 和 作为两个状态变量，令: 则该系统的状态方程为:,状态变量选取的不同，状态方程也不同,指定 作为输出，则：,或,用y 表示,输出方程的矩阵表示式为： 或 ：,例2.3、力学系统状态空间表达式的列写示例,机械运动系统如下图所示， M为物体的质量，K为弹簧系数，B为阻尼器的阻尼系数，f为外加的力，y为受力后物体的位移，v为物体的运动速度。 试以外力f为输入、位移y为输出，写出该机械系统的状态空间表达式。,f,弹簧质量阻尼器系统,解：设 , , ,则有,根据牛顿第二定律 可写出该系统
11、的运动方程：,弹簧质量阻尼器系统,可得状态空间表达式为：,状态方程,输出方程,例2.4、倒立摆装置 长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为 M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力 u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状 态空间表达式。,设小车瞬时位置为 摆心瞬时位置为 在水平方向，由牛顿第二定律 即： 在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡,即: 则有： 联立求解：,选取状态变量：,2.4 由微分方程求状态空间表达式,经典控制论：输入、输出变量间的高阶微分方程描 述系统 现代控制论：输入、状态、输出变量间的一阶微分 方程组描述系统 提出问题：需选取合适的状态变量，推导
12、出状态空 间表达式，保持原输入输出关系不变。,2.4 由微分方程求状态空间表达式,1）输入变量没有导数项的情形 SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为 第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n个状态变量 令,第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有,第三步：将方程组表示为向量-矩阵形式,其中，,这样的A阵又称友矩阵,例2.5 已知系统的输入输出微分方程为 试列写其状态空间表达式。 解：取状态变量,可得,写成矩阵形式,2）系统输入量中含有导数项的情形 SISO线性定常连续系统的微分方程一般形式为： 一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。 为避免在状态方程中出现u的导数项，可选择
13、如下一 组状态变量。 设 ，选取：,是n个待定系数,即：,得到 将求出的 代入上式， 可得：,由已知系统微分方程,继续将上式代入前面求得的： 可得,合显然，若理选择系数 ，可使得上式中u的各阶导数项的系数都等于0,即可解得：,令上式中u的系数为 ，则： 最后可得系统的状态方程：,可写成向量-矩阵的形式： 即：,又,状态变量结构图,例2.6 已知系统的输入输出微分方程为,试列写其状态空间表达式,解：由微分方程系数知,首先求,直接写出状态空间表达式,另：对输入项含有导数项的微分方程，还有一种形式的状态空间表达式（推导略）：,注意：此种表示形式在bn=0即输入的阶次低于n时，状态空间表达式的列写非常直观简便。,因为 若bn=0，则有,如前面例2.6 已知系统的输入输出微分方程为 可佷方便的写出它的又一种状态空间表达式为：,