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1、第二章 线性系统的状态空间描述,2-1 线性系统的数学描述 2-2 状态空间的几个重要概念 2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 2-4 状态空间的线性变换 2-5 线性定常连续系统状态方程的解 2-6 传递函数矩阵,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,2-1 线性系统的数学描述,一、系统描述中常用的基本概念 1. 系统：一些相互制约的部分所构成的整体。 2. 输入和输出: 输入: 由外部施加到系统上的全部激励 输出: 从外部量测到的来自系统的信息 3. 系统数学描述的两种类型：,1) 系统的外部描述传递函数 2) 系统的内部描述状态空间表达式,4.松弛性:,若系统的输出
2、由输入 唯一确定,则称系统在 是松弛的。,5.线性: 一个松弛系统,当且仅当对任何输入 及任意常数 , 均有 则该系统称为线性的，否则为非线性。 6.定常性（时不变性）:,2-1 线性系统的数学描述,(可加性),(齐次性),一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数, 均有,则称系统是定常的,否则称为时变的。,2-2 状态空间的几个重要概念,一、状态空间的基本概念,1.状态 系统在时间域中的行为或运动信息的集合,2.状态变量 完全表征系统运动状态的最小一组变量。一般记为,3. 状态向量 描述系统状态的n个状态变量看作向量 的分量,向量 称为 维状态向量.,4.状态空间 以n个状态变量作为坐标轴
3、所组成的n维空间.,2-2 状态空间的几个重要概念,状态空间描述法示意图,线性连续时间系统状态空间表达式,2-2 状态空间的几个重要概念,线性离散时间系统状态空间表达式,线性定常系统状态空间表达式,A为系统矩阵 B为输入矩阵 C为输出矩阵 D为输入-输出矩阵,一般控制系统中,通常情况 D=0。,输入向量用u(t)表示，个数为：p个,输出向量用y(t)表示，个数为：q个,状态向量用x(t)表示，个数为：n个,2-2 状态空间的几个重要概念,2-2 状态空间的几个重要概念,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,一.不同系统状态空间表达式的特点又称动态方程,1.一般形式,3.线性系统： 若系
4、统状态空间表达式中，f 和g均为线性函数，则称线性系统,4.线性定常系统：若A，B，C，D与时间无关，为常数。,二、状态空间表达式的结构图,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,绘制步骤：1）在适当位置画出积分器，其个数=状态变量个数 每个积分器的输出等于对应的状态变量 2）由状态方程和输出方程画出加法器和比例器 3） 箭头连接各部分,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】,分析：本系统状态变量有三个,一个输入量u，一个输出量y，（p=1,q=1）,解：,系统结构图（或状态变量图）如下：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,三. 状态空间表达式的建立,1.从系统
5、的动态结构图出发,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,解：,状态变量的选取有三种途径：,（1）选取系统的储能元件的输出量作为状态变量-从机理 出发 （2）选取系统的输出量及其各阶导数 （3）选择使系统状态方程为某标准形式的变量,2.从系统机理出发,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,例.列写RLC网格的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的状态空间 表达式。,解：,法一：选,为系统的状态变量,则,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,解：,写成矩阵-向量形式为：,法二：选,为系统的状态变量,则,写成矩阵-向量形式为：,2
6、-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,结论： (1).状态变量选取具有非唯一性，但状态变量个数相同=系统的阶次；,(2).状态变量具有独立性；,(3).不同组状态变量之间可做等价变换，称作状态的线性变换。,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】试列写机械运动系统以质量M 的位移y为输出的状态空间表达式。,u = F,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,3.从微分方程出发,a. 系统输入量中不含导数项,关键：选取输出量导数为状态变量,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,则:,b. 系统输入量中含有导数,原则：使状态方程不含u的导数。,2-3 线性定常连续系
7、统状态空间表达式的建立,由上式求导得：,整理得：,则：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,注 意：这种方法不适用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】,状态空间表达式为：,4 从传递函数出发,由传递函数出发直接求出系统的状态空间表达式,属于系统的实现问题,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,1) 直接分解法,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,A) 可控标准形,将分解为两部分串联，为中间变量，应满足： 选取状态变量： ， ， ，,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,结论
8、：若系统状态空间表达式中，A，b所示如上，称此状态空间 表达式为可控标准形。,整理得:,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,结论：若系统状态空间表达式中，A，c所示如上，称此状态空间表达式为可观测标准形。,B) 可观测标准形,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】已知系统传递函数为 ，试求状态空间表式。 解：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,2) 串联分解法 - 适用于传递函数乘积形式,A),式中：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,取状态变量：,向量矩阵形式为：,试求状态空间表达式。 解：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】
9、已知系统传递函数为,其中：,状态空间表达式为：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,【例】已知系统传递函数为,，试求约当型状态空间表达式。,解：,其中：,状态空间表达式为：,2-3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立,2-4 状态空间的线性变换,目的：同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程，对系统进行 线性变换，便于揭示系统特性及分析和综合设计,且不会改变系统的性 质。,变换后系统动态方程为：,式中：,例 系统状态空间表达式为,取,使,2-4 状态空间的线性变换,结论：状态变量经过某种变换，化“A” 阵为对角化后，解除
10、了系统状态的耦合，为研究系统提供的方便。,结论：状态变量经过某种变换，特征值的不变性,二. 系统特征值的不变性,对于状态变量x，有非奇异矩阵P，使,2-4 状态空间的线性变换,三. 系统矩阵A的规范化 对角化、约当化、模态式化,1. 对角化,2-4 状态空间的线性变换,定理1：,2-4 状态空间的线性变换,A具有重特征值,所对应的独立向量仍为m个,其它(n-m)个特征值互异，则仍可将A化为对角形，且,定理2,2-4 状态空间的线性变换,2-4 状态空间的线性变换,【例】试将下列系统状态方程变换为对角标准型。,令,2-4 状态空间的线性变换,由,，有,解出,，则,即:,只有一个独立向量,则只能将
11、A化为约当阵,定理1,2.化A为约当标准形,A 阵为“友”矩阵，具有重特征值,m阶约当块,与之对应，其余(n-m)个特征值互异,2-4 状态空间的线性变换,式中,A具有重特征值,其余(n-m)个特征值互异,则可将A化为约当化,定理2：,2.化A为约当标准形,2-4 状态空间的线性变换,与m阶约当块对应的特征向量为：,2-4 状态空间的线性变换,3.化A为模式化矩阵,设A为二阶矩阵,1）,2）,2-4 状态空间的线性变换,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,【例】,2.拉氏变换法,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,拉氏反变换，有,则,【例】 已知系统状
12、态方程为,，初始条件为,试求状态方程的解。,解：,，,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,则：,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,三、 状态转移矩阵的性质 要求熟练掌握,证明：,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,5.,6.,7.,证明：,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,（2）根据状态转移矩阵性质2知：,解：（1）根据状态转移矩阵可知：,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,1.,2.,四、 常见 的求解,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,3 线性变换法,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,解：根据状态转移矩阵的性质可知,2-5 线性定
13、常连续系统状态方程的解,五、线性连续定常非齐次状态方程的解,1、直接积分法,由于,所以,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,2.拉氏变换法,，,两边同时取拉氏变换,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,解：,由,2-5 线性定常连续系统状态方程的解,故,2-6 系统的传递函数矩阵,对于多输入-多输出系统,需要讨论传递函数矩阵。,1. 定义,初始条件为零时,输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的 传递关系称为传递函数矩阵,简称传递矩阵。,设系统动态方程为,令初始条件为零,进行拉氏变换有,系统传递函数矩阵表达式为,例 已知系统动态方程为,试求系统的
14、传递矩阵。,解:,故,2-6 系统的传递函数矩阵,2-6 系统的传递函数矩阵,2. 不变性,系统经状态变换，特征值与特征方程不变性 传递函数矩阵不变性,3.开环与闭环传递矩阵,开环传递矩阵 - H(s)G(s),闭环传递矩阵,3.解耦系统的传递矩阵,耦合:,2-6 系统的传递函数矩阵,标志：解耦系统的传递矩阵具有对角线矩阵形式,2-6 系统的传递函数矩阵,a) 用串联补偿器Gc(s）实现解耦,2-6 系统的传递函数矩阵,2-6 系统的传递函数矩阵,b）用前馈补偿器Gd(s）实现解耦,2-6 系统的传递函数矩阵,【例】已知两输入两输出单位反馈系统结构如下图，试求该系统的开环传递函数矩阵，闭环传递
15、函数矩阵，并求串连补偿器，使解耦系统的闭环输出为：,答案:,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,一、 线性离散系统的状态空间表达式,离散系统：系统中只要有一处信号是离散的，则成为离散系统。,二、系统的动态结构图,离散系统一般结构图,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,由差分方程建立动态方程,单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,向量-矩阵形式为,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,二、线性定常连续系统动态方程的离散化,离散化： 通过采样器将连续状态方程化为离散状态方程的过程.,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,解：,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,三、连续离散系统状态方程解,1. 递推法,2-7 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,设定常离散系统的状态方程是：,两边取Z变换：,，整理有,两边取Z反变换：,