第二章线性系统的状态空间描述6.ppt

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1、线性系统理论 (Linear System Theory),第二章 线性系统状态空间描述,2,系统模型是对现实世界中的系统或其部分属性的一个简化描述,系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 建立数学模型的途径：解析、辨识 系统建模的准则：在系统模型的简单性和分析结果的准确性之间作出适当的折衷。,线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。,系统建模即对系统建立模型, 在系统控制理论中具有基本的重要性。建模的目的在于深入和定量地揭示系统行为的规律性或

2、因果关系性。建模的实质是对系统的动态过程即各个变量和参量间的关系按照研究需要的角度进行描述。,3,线性系统的数学模型主要有两种形式：即时间域模型和频率域模型。 对应于系统的这两种模型，发展和形成了线性系统理论的两类不同方法。 建立系统的数学模型的基本途径是解析法和实验法。 建模问题是系统研究中的一项非常基本和重要的问题，已经构成系统理论中的一个独立的分支。,时间域模型表现为微分方程组或差分方程组，可同时适用于常系数系统和变系数系统。 频率域模型表现为传递函数和频率响应，只是用于常系数系统。,解析法是通过分析系统的机制直接运用物理原理来建立表征系统动态过程的数学描述。 实验法是在通过试验区的数据

3、和按照相应准则处理数据的基础上来导出最接近系统实际情况的简化数学描述。 系统辨识。,4,本章主要内容,2.1 状态空间的基本概念 2.2 系统的状态空间模型 2.3 控制系统的实现 2.4 状态方程的规范形式 2.5 由状态空间描述导出系统输入-输出描述 2.6 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵 2.7 离散系统的状态空间模型,第二章 线性系统的状态空间描述,状态空间方法是基于状态空间模型对自动控制系统进行分析与设计的一种方法。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。 本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法，然后介绍系

4、统状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。,5,系统的 p 维控制输入变量,系统的 n 维状态变量,系统的 q 维测量输出变量,符号说明：一个动态系统, 它是由相互制约和相互作用的一些部分所组成的一个整体, 习惯地采用如下图所示的一个方块来表征。方块以外的部分称为系统环境。,环境对系统的作用称为系统输入，属于外部变量,系统对环境的作用称为系统输出，属于外部变量,用以刻画系统在每个时刻所处态势的变量称为系统状态，属于内部变量,系统的方块图表示及其变量,6,状态：是描述系统运动行为的一些信息集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。包含了系统的过去、现在

5、和将来的状况。,2.1 状态空间的基本概念,状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小变量组。 表示为,最小变量组：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。在数学上又称最大线性无关变量组。,系统的状态由描述系统内部动态行为特征的变量表示。随着时间的推移，系统会不断演化。导致系统状态和演化进程发生变化的主要因素，包括外部环境的影响，内部组成的相互作用，以及人为的控制作用等。,该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。,7,状态变量的特点：,(1) 独立性：状态变量之间线性独立； (2) 多样性：系统中线性无关的变量数总小于系统的变量个数，使状态变

6、量的选取并不唯一，实际上存在着无穷多种方案；即可用某一组，也可用另一组数目最少的变量。 (3) 等价性：任意选取的两个状态变量组之间只差一个非奇异变换； (4) 现实性：状态变量通常取为含义明确的物理量； (5) 抽象性： 状态变量可以没有直观的物理意义。,非奇异矩阵：n 阶方阵 A 的行列式 |A| 是否等于0，若等于0，称矩阵 A 为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵 A 为非奇异矩阵。 线性非奇异变换：即当前的矩阵或者向量乘以一个非奇异矩阵。 (相当于坐标变换),线性相关：一个向量组 ，存在一组不全为零的数 ，使得 成立，则称这组向量线性相关。 即这组向量中至少有一个向量可以用其余向量表示。

7、线性无关：如果这个向量组中的任何向量都不能由其余向量线性表示，即它们之间不存在相互依赖的关系，称这个向量组线性无关。,8,当系统能用最少的n个状态变量 完全确定系统状态时，则把这n个状态变量看作列向量 的分量，则 称为状态向量，简称状态。记为 上标T为矩阵转置记号。 若状态向量由n个分量组成，则称n维状态向量。 一旦给定 时的初始状态向量 及 的输入向量 ，则 的状态由状态向量 唯一确定。,状态向量,9,(3) 初始时刻 的状态 在状态空间中为一初始点；随着时间推移，系统状态在变化， 便在状态空间中描绘出一条轨迹，称状态轨迹。,(2) 状态向量的端点在状态空间中的位置，代表系统在某一时刻的运动

8、状态。因此，系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如 二阶系统的状态可由 轴、 轴组成的状态平面(即相平面)中一点表示； 三阶系统的状态可由 轴、 轴、 轴组成的三维状态空间中一点来表示； n阶系统的状态则由 轴组成的n维状态空间中一点来表示。,状态空间：以状态变量 为坐标轴构成的n维正交空间。,(1) 状态空间的维数等同于状态变量的维数；以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称状态空间。,说明：,10,状态方程,状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。 状态方程是用于描述系统中状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组或差分方程组。 状态方程也反映了每个状

9、态变量对时间的变化关系。 状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。 系统的状态方程具有非唯一性。 状态方程描述的是系统动态特性，其决定系统状态变量的动态变化。,fi 是线性或非线性函数。,11,状态空间表达式,状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态方程。用于表示线性系统的状态空间模型。 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型，它是应用线性系统理论对系统进行分析和综合的基础。 状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入输出关系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。,输出方程,系统输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式称输出方程。,j 是线性或非线性函数。,

10、12,状态空间分析法,以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。 它具有下列优越之处： 便于在数字计算机上求解； 容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息； 数学描述简化； 适于描述多输入-多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。,倒立摆控制系统,航天器控制系统,机器人控制系统,导弹控制系统,13,建立方法 ：通过系统的物理模型建立动态方程 适用对象：系统结构和参数已知。 核心问题：合理选择系统的状态变量 状态变量的选择规则： 注意事项：,选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量 选择系统的输出

11、及其各阶导数作为状态变量 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量,同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同； 两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同。,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述(动态方程或运动方程)，包括状态方程(描述输入和状态变量之间的关系)和输出方程(描述输出和输入、状态变量之间的关系)。,2.2 系统的状态空间模型,14,【例】求图示RLC回路的状态空间表达式,建立方法： 1、根据物理定律建立系统的物理模型。 2、选择系统中储能元件的输出作为状态变量，将物理模型转化为状态方程和输出方程。,15,2) 根据基尔霍夫定律，列写电路

12、原始回路方程，并转化为一阶微分方程：,整理方法：将状态变量的一次导数看成待定量，并运用按代数方程组的求解方法，通过求解上述连立方程可得,1) 选取状态变量：考虑到给定电路只含有电容 C 和电感 L 两个独立储能元件, 可知系统有且仅有两个线性无关的内部变量。基此, 不妨选取电路中独立储能元件的变量组即电容端电压 和流经电感的电流 作为电路状态变量组。显然, 和 必满足状态变量定义中所指出的线性无关极大组属性。,16,3) 导出状态方程和输出方程,状态方程,输出方程,则输出,令,17,【例】,18,19,20,A称系统矩阵(系数矩阵，状态阵)，b称输入矩阵(在此为列矩阵)。,式中,可写成向量矩阵

13、形式：,一般形式的状态方程(SISO线性系统)：,式中常系数 与系统特性有关。,线性系统的状态空间模型的一般形式,线性系统的状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系，输出变量与状态变量，输入变量也是线性关系。,单输入 体现在？,21,式中常系数 与系统特性有关。 可写成向量矩阵形式：,式中 为输出矩阵(在此为行矩阵)，d 为直接联系输入量、输出量的前向传递(前馈)系数，又称前馈系数。,单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：,单输入单输出系统动态方程一般形式为：,式中 x 为 n 维状态向量，u 与 y 为标量，A为n阶方阵，b为 向量，c 为 向量，d 为标量。,单输出

14、体现在？,22,多输入线性定常连续系统的状态方程一般表达式为：,其向量矩阵形式为,式中u为p维列向量，B为 输入矩阵，或称控制系数矩阵，有,23,其向量矩阵形式为,式中,C 称为 输出矩阵，D 称为 前馈矩阵。,多输入多输出线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为：,24,多输入多输出系统动态方程一般形式为,式中：x为 状态向量，u为 输入向量，y为 输出向量。,简记为,A 为nn维系统状态矩阵，表征各状态变量间的关系； B 为np维系统的输入矩阵，表征输入对每个变量的作用； C 为qn维系统的输出矩阵，表征输出和每个状态变量的关系； D 为qp维系统的直接转移(传输、前馈)矩阵，表征输入对输

15、出的直接传递关系。,线性时不变系统模型,25,A 表征各状态变量间的关系； B 表征输入对每个变量的作用； C 表征输出和每个状态变量的关系； D 表征输入对输出的直接传递关系。,由于 完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的动力学系统简称为系统 。,状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。状态空间表达式非唯一性，这是和传递函数明显区别的地方。同一系统具有不同的状态空间模型，但是这些状态方程都描述了同一个系统，因此这些方程本质上是相同的，它们相互之间可以通过线性变换而得到，因此这些模型在相似意义下是等价的，又称等价变换(变换前后系统的特征值不变)。 可以通过线性变换将系统的一般模型变

16、换为简单规范的标准型，从而简化系统的分析和设计 ；,线性变换是一种交换基底的坐标变换，虽然改变了数学模型的形式，但状态方程的特征值不变，所以模型的固有性质不变。,(P为非奇异常量矩阵，即存在P-1。),26,动态方程的结构图表示见下图，各方块的输入输出关系规定为: 输出向量(方块所示矩阵)(输入向量) 注意:在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。,线性系统的结构图表示,离散时间线性系统,连续时间线性系统,A 表征各状态变量间的关系； B 表征输入对每个变量的作用； C 表征输出和每个状态变量的关系； D 表征输入对输出的直接传递关系。,27,状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这

17、一过程，其中它考虑了被经典控制理论的输入-输出描述所忽略的状态，因此它揭示了问题的本质，即输入引起状态变化，而状态决定了输出。 输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程。状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。 对于给定的系统，状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一；通常选择可以测量的物理量作为状态变量；状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。 状态变量的个数仅等于系统包含的独立储能元件的个数； 很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型。 对于结构和参数

18、未知的系统通常只能通过辨识的途径建立状态方程。 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于计算机计算。,状态空间描述特点：,28,2.3 控制系统的实现,实际物理系统动态方程的建立，通常是根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程，选择可以量测的物理量作为状态变量来导出的，它能反映系统的真实结构特性，故动态方程可由诸元件的微分方程组或传递函数结构图演化而来。不过据此建立的动态方程一般不具有典型形式。 由于系统微分方程或传递函数也是一种线性定常连续系统的通用数学模型，当其已知时，可按规定方法导出典型形式的动态方程，便于建立统一的研究理论，并揭示系统内部固有的重要结构特性，下面来分

19、别加以研究。 对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一个状态空间实现。 由于所选状态变量不同，其动态方程也不同，故其实现方法有多种。为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义。 从传递函数组成上可看到存在与不存在零、极点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的动态方程中，状态变量数目最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需积分器个数最少，故有最小实现之称。,29,一、系统的实现问题 概念：由系统的外部数学模型确定等价内部数学模型。即化输入-输出描述为状态空间描述。 (微分方程、传递函数或矩阵)

20、(状态空间模型) 本质：根据系统的外部描述构造一个内部结构； 要求：既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的内部结构确定下来，故常称为系统的实现问题。 本节分析对象：SISO系统。 这里所谓的实现，是指数学意义上的实现，不是物理意义上的实现，也就是说并不是设计一个具有给定数学模型的物理系统。,30,已知：对于单输入-单输出线性时不变系统，其微分方程描述,其传递函数描述,求：其状态空间描述,基本步骤： 选取适当的状态变量组； 确定对应的参数矩阵组 。,式中 y 为系统输出量，u 为系统输入量。,二、典型实现,式中,31,给定单输入-单输出线性时不变系统的输入输出描述， 其对应的状态空间描述可按

21、如下两类情况导出：,(1) 不包含输入函数 u 的各阶导数的情况,此时输入输出描述为:,算法1、由微分方程描述导出状态空间描述, 选取状态变量：n阶系统有且仅有n个状态变量。当给定,和,时的输入,时，系统在,时的运动就完全确定了。所以可选,为系统的一组状态变量，并令,32,化方程组(1)和(3) 为 的一阶微分方程组。,则,系统的输出表达式为,方程(1),方程组(3),方程组(3),33, 将方程组(4)改写为向量形式，即系统的状态方程， 为此，令,则式(4)可表示为,由方程(5)得输出方程为,系统矩阵A特点：矩阵主对角线上方的第1个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0。这

22、种矩阵称为友矩阵。,34,解：选取,则,35,(2) 包含输入函数导数项的情况,此时输入输出描述为:,此时这种情况不能选输出及其导数作为状态变量。因为如果把 作为状态变量，仍如式(3)所示，则状态方程为：, 选取状态变量：,这时，状态变量中包含了输入信号的导数项，使得当输入信号出现阶跃，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求，因此当微分方程含有输入导数项时，不能选择 作为状态变量。下面介绍一种方法：,(6),36, 选取状态变量：考虑到所导出的一阶微分方程组中，等式右边不应出现的导数项，否则就可能使方程组解的存在性和唯一性被破坏。 通常可选取输出变量 y 和输入变量 u 以及其各阶导数

23、的适当组合得到。,式中， 是n个待定系数。下面给出i 求解方法。,则,(6),则,(8),(7),37,则,不难看出，式(9)的等式左端相加，即为式(6)的等式左边。因此，式(9)的等式右端相加，应等于式(6)的等式右端，即,(9),整理得,(6),对比等式,的系数,38,对比等式,的系数，可得,上式即为根据,和,计算,的关系式。,及,整理得,(6),39, 导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式。 由式(7)得,(10),(7),输出表达式,40,其对应的状态空间描述为:,其中, 将式(10) 写成向量形式,可见，状态矩阵的最后一行由微分方程系数决定，从低次幂系数到高次幂系数排列，并加符号

24、。,当 时，可得 代入上式，就可得到微分方程不包含有输入导数项的情况的结果。,(10),41,其实现的状态变量图如图所示,42,由此可得状态方程和输出方程为,43,其实现的状态变量图如图所示,44,给定单输入-单输出线性时不变系统的输入输出描述,算法2、由输入输出描述导出状态空间描述,式中,令,式(12)代入式(11) ，有,(12),(13),(11),为了直观起见，定义变量,如下图所示。,利用长除法，则,45,由图可知,(14),(15),将式(14)反转换为微分方程,(16),这里，定义,为系统的一个状态变量，,式(16)与式(1)的不含输入函数的导数情况相当，则相对应，状态变量的选择方

25、法相同，则其余n-1个状态变量选为,46,再由式(16)，可得,另一方面，由式(11)，式(13)及式(15)，可得,将式(17)和式(18)写成矩阵形式，得,其中,(17),(18),(19),(15),(16),47,其中,(19),式(19)的系数矩阵的明显特征是：矩阵A的最下面一行为系统传递函数特征多项式的系数。特别当,多项式的系数。因此，又把式(19)称为相伴型状态方程式。此时,时，矩阵C中的元素是系统传递函数分子,其中,(20),称系统为严真情形。其中mn。,称系统为真情形。,48,其实现框图如下左图所示，其实现的状态变量图如下右图所示。,其中,(19),49,50,将式(22)代

26、入式(21)后，可得输出Y(s)的表达式。,给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：, 系统传递函数的特征多项式的根为两两相异,其极点即传递函数分母方程的根为,按如下两类情形导出：,，则对应的状态空间描述可,的特征根,当系统传递函数,可展开为部分式的形式，即,为两两相异时，则上式,其中,定义状态变量,的拉氏变换满足,(21),(22),算法3、由传递函数描述导出状态空间描述,约当规范形：直接以特征值表征系统矩阵的一种状态方程规范形。,51,可得,因此状态方程和输出方程可由以下各式给出,写成矩阵形式，有,其中,(23),(23),由式(22),拉氏反变换,A又称对角线规范形,选状态变量,

27、式(23)反变换,52,其实现的状态变量图如图所示。,53,其实现的状态变量图如下图所示。,54, 系统传递函数G(s)的特征多项式的根有重根时,当系统传递函数,的特征根有重根时，为了讨论方便，不妨设,为三重根，,为两两相异的根。将上式进行部分分式展开得,其中,(24),给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：,55,定义状态变量,的拉氏变换满足,(25),根据式(24),则,(26),(24),由式(25),拉氏反变换,选状态变量,56,因此状态方程和输出方程可由以下各式给出,将上式写成矩阵形式，有,0,0,0,0,约当规范型,57,58,59,2.4 状态空间的规范形式,线性定常系

28、统的系统矩阵A的特征值是表征系统的动力学特性的一个重要参量。系统的状态方程将可通过适当的线性非奇异变换而转化为由特征值表征的规范形。 当特征值两两相异时，规范形具有对角线规范形的形式，当特征值为非互异时，规范形为约当规范形。 这种以特征值表征的规范形状态方程，对于分析系统的结构特性是非常直观的。 详细内容见线性代数。,60,若存在非奇异变换 ，使如下关系成立 则称这两个系统模型为代数上的等价系统。且线性非奇异变换 称为等价变换。,代数上的等价系统,设两个线性定常系统状态模型为,线性变换：是一种交换基底的坐标变换，虽然改变了数学模型的形式，但模型的固有性质不变； 同一系统具有不同的状态空间模型，

29、相互之间可以通过线性变换而得到，说明这些模型在相似意义下是等价的，又称等价变换 ； 可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范的标准型，从而简化系统的分析和设计 ；,61,特征值和特征向量,线性定常系统,特征值的性质,1一个 n 阶系统的系统矩阵 A，有且仅有 n个特征值。 2物理上可实现的系统，系统矩阵 A 的各元均为实数，因此其 n 个特征值或为实数，或为共轭复数对。 3对系统做非奇异变换，其特征值不变。,即变换前后的特征多项式相同，故特征值不变。,62,4. 若在向量空间存在一非零向量 v ，使,则称 为矩阵A的特征值。满足上式的非零向量 v 称为矩阵 A的对应于特征值 的特征向量。

30、,5. 设 为系统矩阵A的特征值， 为矩阵 A 的相应于这些特征值的特征向量，当 两两相异时， 线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵 P 必为非奇异。,63,【例】 计算 的特征向量。,解： (1) 计算A的特征值,解得：,(2) 计算 的特征向量,将 代入 中，得,64,则,解得：,可见， 可以取任意相等的值，使 为非零向量。例如取 ，则,同理，计算,(3) 变换矩阵 P：,65,对角线标准型,其中,若其特征值,为两两相异，则必有非奇异阵,为矩阵A相应于,的特征向量，即,对于线性定常系统,一、矩阵A为任意形式,将状态方程化为对角线标准型,即当矩阵A具有相异的特征根时，利用矩阵A的特征向量组

31、成的变换矩阵P，可将矩阵A变换成对角形，且对角线上的各元素分别为A的特征值。,可将矩阵A化为,66,证明,P为非奇异矩阵，且,两端左乘 则,67,线性系统,其中,试将状态方程化为规范形式。,解：,可化为对角线规范型,设特征向量,【例】,68,同理,状态方程的规范形式,69,二、矩阵A为相伴型,矩阵A的特征值两两互异时，P可取范德蒙矩阵,为矩阵A的互异特征值。,友矩阵,70,解：,系统的特征值两两相异，取非奇异变换矩阵P为,状态方程的规范型,【例】,71,矩阵 A 能否通过线形变换化为对角线标准型，关键在于能否找到 n 个线性无关的特征向量。若矩阵 A 有相同的特征值 仍存在 n 个线性无关的特

32、征向量（化为对角型） 线性无关的特征向量个数小于n（化为约当标准型）,将状态方程化为约当标准型,约当块和约当矩阵的定义：,形如 的分块称为约当块。,0,0,由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。,72,比较上式两端各列,合并整理, 当系统矩阵A有n重特征根时，,特征向量的求法：,73,。则经非奇异变换，可将A化为, 当矩阵A有q个重特征值为,而其余n-q个特征值为两两相异时：,其中,为相应于重特征值,的特征向量；,为相应于其余单特征值的特征向量。它们满足,分别为,74,解：,可知系统特征值为,设相应的特征向量为,【例】,由 得,取基本解,75,由 得,同理，由 得,76,则非奇异变换阵

33、P为,77,当矩阵A为相伴性矩阵，且有q个重特征值为,，而其余,n-q个特征值 为两两相异时，P可取为,为其余相异特征值组成的矩阵。,其中,78,79,如果已经得到了系统的状态空间模型，那么，只要消除状态空间模型中的状态变量，即可得到系统输出变量与输入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。比较容易。,【例】,2.5 由状态空间描述导出系统的输入-输出描述,2.5.1 由状态空间描述导出系统的微分方程描述,80,2.5.2 由状态空间描述导出传递函数矩阵,1970年，英国罗森布洛克和罗马尼亚的波波夫把传递函数的概念推广到多变量系统，建立了与单变量系统类似的频域分析设计方法。 对于多变量线性定

34、常系统，每个输入和输出之间的关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构成了一个矩阵，称为传递函数矩阵。传递函数矩阵是表征系统输入输出特性的最基本形式。 本节中，从系统的状态空间描述出发，求取系统的传递函数矩阵，也就是找出由状态空间描述到输入输出描述的转换。即首先给出传递函数矩阵的概念，然后介绍由状态空间模型求传递函数矩阵的方法。,81,传递函数矩阵,对线性定常多输入多输出系统，任一个输入 ui 和任一个输出 yi 间的传递函数定义为：除第 i 个输入外，设其余输入均为零，且在在零初始条件下，第 j 个输出变量拉普拉斯变换和第 i个输入变量拉普拉斯变换之比，记为,线性系统满足叠加原理，则系统的各个

35、输出分别为,82,称G(s)为多变量系统的传递函数矩阵。具有与单变量系统中的传递函数相同的意义。它表示初始条件为零时，输出向量与输入向量拉氏变换式之间的传递关系。对于单输入单输出系统，传递函数矩阵蜕变为传递函数。传递函数矩阵是系统的外部描述(即输入-输出描述)，与状态变量无关。,注：因为Y(s)，U(s) 都是向量或矩阵，传递函数矩阵不能表示为,则,表示成矩阵形式：,83,(1) G(s)的函数属性,传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的qp有理分式矩阵。,(2) G(s)的真性和严真性,当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的,(3) G(s)的特征多项式和最小多项式,

36、(4) G(s)的极点,G(s)的极点定义为方程式,的根,(5) G(s)的循环性,若,称G(s)是循环的,(6) G(s)正则性和奇异性,84,即 基于(A,B,C,D)的表达式求G(s),考虑连续时间线性时不变系统的状态空间模型,式中， 。A,B,C,D分别为 维矩阵。,由状态空间模型求传递函数矩阵,对上式进行拉氏变换，同时考虑到 得：,则,由传递函数矩阵定义，此线性系统的传递函数矩阵为：,传递函数矩阵由状态空间模型系数矩阵唯一确定。适合于SISO，MIMO。,整理得,输入-状态传递函数矩阵,状态-输出传递函数矩阵,85,难点,矩阵的行列式,矩阵的伴随矩阵,代数余子式,86,A的伴随矩阵,

37、则 可以表示为：,tr(A)称为矩阵的迹，就是对角线上元素的和。,87,88,设两个子系统,2.6 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵,由两个或两个以上的子系统按一定方式联接而构成的系统称为组合系统。 组合的基本方式可分为并联、串联和反馈三种基本类型。 一个比较复杂的系统，往往就是包含几种联接的组合系统。本节就上述三种基本组合方式，分别讨论相应的组合系统的状态空间描述。,89,可见，两个子系统可以实现并联联接的条件：,2.6.1 子系统的并联,经并联构成的组合系统如图所示：,实现并联后系统变量：,因此，对于并联组合系统，有,令 为组合系统的状态，将上式改写可得并联组合系统的状态空间描述为,9

38、0,现将上述结论推广到N个子系统并联构成的组合系统。通过与上述类同的推导，可得组合系统的状态空间描述的一般形式为,进一步，由于各子系统的传递函数矩阵为,考虑以并联组合系统中，有,和,可导出并联组合系统的传递函数矩阵为,91,两个子系统可以实现串联联接的条件是：,2.6.2 子系统的串联,经串联构成的组合系统如图所示：,而在实现由1和2顺序串联联接后组合系统在变量上的特点为,则串联组合系统的状态空间描述为,令,令 则得串联组合系统的状态空间描述为,92,与此类似，可以导出由N个子系统顺序串联构成的组合系统状态空间描述。但是由于其结构过于复杂，这里就不介绍了，但是利用,可导出串联组合系统的传递函数

39、矩阵为,其中各子系统的传递函数矩阵,由下式给出。,93,设,两个子系统实现输出反馈联接的条件是,反馈联接后,2.6.3 子系统的反馈连接,94,2.7 离散系统的状态空间描述,计算机控制系统的广泛应用，使离散系统控制理论具有了越来越重要的地位，已日趋成为系统与控制理论中的一类主要研究对象。 离散系统中存在采样、保持、数字处理等过程，因而离散系统具有一些独特的性能。 离散系统要用差分方程，z 传递函数以及本节介绍的离散状态空间模型描述。事实上，连续系统也可以用差分方程、z 传递函数以及离散状态空间模型描述。 下面介绍如何建立离散系统的数学模型。,95,96,当差分方程中含有输入量的差分项，即系统的差分方程为：,类似于连续状态空间模型中的方法，状态变量可以选择为,则系统的离散状态空间模型为,其中，系数的计算,一般，多输入多输出线性定常系统的离散状态空间模型为,97,