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1、第六章 定积分应用,定积分的元素法 定积分在几何学上的应用 定积分在物理学上的应用,第三节 定积分在物理学上的应用,定积分物理应用之一,变力沿直线作功问题,问题的提出：,解:,在上述移动过程中，电场,例1 带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点，求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。,如图建立坐标系：,对q1作用力是变化的。,(i)取r为积分变量，则,(ii)相应于a,b上任一小区间r,r+dr 的功元素,(iii)所求功,解:,等温条件下，压强p与体积V的乘积为常数，即 pV=k 而 F=pS,例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等温条件下，由于气体膨胀，把容器
2、中的一个活塞（面积为S）从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。,如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。,注意到气体膨胀过程中V=V(x)即F=F(x),故采用元素法。,(i)取x为积分变量，则,(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx 的功元素,(iii)所求功,解:,如图选取x轴。,(i)取x为积分变量，则,(ii)相应于0,5上任一小区间x,x+dx 的一薄层水的重力为,(iii)所求功,例3 一圆柱形的储水桶高5米，底圆半径3米，桶内盛满了水。问把桶内的水全部吸出需作多少功？（水的比重为 ）,这薄层水吸出桶外需作之功近似为,解:,如图建立坐标系。,(i)取x为积分变量，
3、则,(iii)所求功,(ii)相应于小区间x,x+dx ，对应薄片由A升至B在水中行程为 r+x,在水上的行程为2r-(r+x)=r-x 。,思考练习 半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同。欲将球从水中取出，需作多少功？（水的比重为）,由于球的比重与水相同，薄片所受浮力与重力合力为零，不作功 ，由水面再上升到B时需作功，即功元素,r,定积分物理应用之二,水 压 力,从物理学知道，在水深为h处的压强为,问题的提出：,p=h（为水的比重）。,因此，一面积为A的平板水平放置在水深为h处时，其一侧所受的水压力为,定积分元素法,问题的解决方法：,设平板铅直位于液体中形状如图。,距离
4、液面x、高为dx、宽为f(x) 的矩形平板所受压力的近似值，即压力元素为,以液面为y轴，x轴铅直向下。,所求压力,（为液体比重）,解:,依题意，如图建立坐标系。则端面周界方程为：,(i)取x为积分变量，则,(iii)所求压力,(ii)相应于0,R上任一小区间x,x+dx 的窄条上各点压强,例4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（如图1）。设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一个端面上所受的压力。,R,，窄条面积近似于,，即压力元素为,解:,如图建立坐标系,则腰OB的方程为：,(i)取x为积分变量，则,(iii)所求压力,(ii)相应于0,6上任一小区间x,x+dx 的窄条上各点压强,例
5、5 一个底为8cm，高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受的压力（水的比重为）。,窄条面积,压力元素,A,B(6,4),解:,如图建立坐标系。,(i)取x为积分变量，则,(iii)所求压力,(ii)相应于小区间x,x+dx ，对应薄板的宽为,思考练习 边长为a和b的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深h处，设ab，液体的比重为，试求薄板每面所受的压力。,，窄条面积为,压力元素,a,定积分物理应用之三,引 力,从物理学知道，质量分别为m1、m2，相距为r的两质点间的引力大小为,问题的提出：,其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。,解:,例6 设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m 的质点M。试计算该棒对质点M的引力。,如图建立坐标系：,(i)取y为积分变量，则,(ii)相应于,(iii)引力,上任一小区间,y,y+dy 的引力元素,r,a,解:,练习 设有一半径为R、中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数。在圆心处有一质量为m 的质点M。试求这细棒对质点M的引力。,如图建立坐标系：,(i)取为积分变量，则,(ii)相应于,(iii)引力,x,y,上任一小区间,+d 的引力元素,