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1、,高等数学 教学课件,第八章 微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,内容导航 什么是微分方程 分离变量法 微分方程的应用（1） 二阶常系数线性微分方程 数学建模：微分方程应用（2）,8-1 什么是微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方
2、程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 （1） 此外还应满足条件 把方程（1）两边积分，得 即 把条件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程,8-1 什么是微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,引例2：质量为M的物体，受重力作用自由下降，试求物体下落的运动规律? 解 设所求运动规律为s=s ( t ) ，根据导数的力学意义，未知函数s=s ( t ) 应满足方程 (4) 由于自由落体的初始位置和初始速度均为零，未知
3、函数 s=s ( t )满足条件 把方程（4）两边积分，得 (5) 再积分一次，得 (6)其中 都是任意常数. 将条件分别代入（5）、（6）内，得 于是所求的运动规律为,8-1 什么是微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,5、特解通常可以按照问题的条件从通解中确定任意常数的特定值而得到，用来确定特解的条件，称为初始条件,1、含有未知函数的导数(或微分)的方程叫做微分方程,相关概念,2、微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶,3、如果把某个函数
4、代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程,4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解,8-2 可分离变量法,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,解简单微分方程常用的方法： 将方程进行变形，然后等式两边进行积分。 例：求解一阶微分方程 解 变形为 然后两边积分，得 于是 即 ，其中C为任意常数
5、， 可以验证，函数 是方程的通解。,8-2 可分离变量法,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,一般地，形如 的微分方程称为 可分离变量的微分方程。,求解基本方法是：先变形、后积分。,8-2 可分离变量法,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例 3 求微分方程 的通解,解 原方程可改写为 分离变量，得 两边积分，得 于是 即 ，这就是所求的微分方程的通
6、解。,8-2 可分离变量法,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例4 求方程 满足初始条件 的特解,解 原方程可改写为 分离变量，得 两边积分，得 化简，得 令 于是 这就是所求的微分方程的通解。 把初始条件 代入上式，求得C=11，于是所求微分方程的特解为 。,8-3 微分方程应用（1）,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,增长与衰减 用分离变量法
7、解实际中经常出现的方程 分离变量，得 两边积分，得 即 其中，于是系数A为正值，所以 所以，微分方程 总是联系于指数增长 或指数衰减 。,8-3 微分方程应用（1）,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例5 当一次谋杀发生后，尸体温度从原来的370C，按照牛顿冷却定律（一块热的物体其温度下降的速度是与其自身温度同外界温度的差值成正比的关系），开始变凉，假设两小时后尸体温度变为350C，并且假定周围空气的温度保持200C不变 （1）求出自打谋杀发生后尸体温度是如何作为时间的
8、函数而变化的； （2）画出温度时间曲线； （3）最终尸体的温度将如何？用图像和代数两种方式表示出最终结果； （4）如果尸体被发现时的温度为300C ，时间为下午4点整，那么谋杀时何时发生的？,8-3 微分方程应用（1）,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,解 （1）按冷却定律建立方程 温度变化率=a温度差=a(H-20), 其中a为比例常数，H 为尸体温度 于是 考虑a的正负号，如果温度差是正的（即H20）、则是H下降的，所以温度的变化率就应是负的，因此a 应为负的，于是
9、 分离变量求解，得 代入初始值（t=0时，H=37）求B， 于是 为了求K的值，我们根据两小时后尸体温度为350C这一事实，有 化简，取对数得 ， 于是温度函数为,8-3 微分方程应用（1）,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,（2）作草图如下： （3）“最终趋势”指 ,取极限 （4）求多长时间尸体温度达到300C，即 令H=30，代入得 ， 两边取自然对数得 即t8.4 （小时） 于是，谋杀一定发生在下午4点这一尸体被发现时的前8.4小时 （即8小时24分），所以谋杀是
10、在上午7点36分发生的。,t,0,H,20,H=20+17e-0.063t,37,8-4 二阶微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,形如 的二阶微分方程称为二阶常系数线性齐次微分方程 。如 例：求 的通解 分析： 解微分方程是求未知函数y，观察分析此题，常见函数中什么函数的 是同 一类函数呢？联想到是ex类型， 用待定法设 y=erx ，代入变形为 则只须 ，称此代数方程为微分方程的特征方程，其根设为特征根。,8-4 二阶微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数
11、 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 （可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解 ，只要他们不成比例，则 为该方程的通解） 例7 求方程 的通解 解 特征方程 则通解为 重根时，得一个特解 ，再用待定法令 或 等等，求得另一个特解,8-4 二阶微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例 求微分方程 的通解,解 特征方程为 共轭虚根为
12、 原方程的通解 （共轭虚根时，由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而消去i ）,8-4 二阶微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,于是二阶线性齐次微分方程的特解形式 ：,特征方程 的两个根 微分方程 的通解 (1)两个不相等实根r1,r2 (2)两个相等实根r1=r2=r (3)共轭虚根,8-4 二阶微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章
13、 微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程 例9：求 的通解 分析：这类微分方程叫二阶常系数线性非齐次微分方程 可以证明： 其通解为“齐次通解+非齐特解”。 即可先求 的通解，再求 的特解。 解 特征方程 齐次通解为,8-4 二阶微分方程,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,用待定系数法求解（由方程右边的特点） 令 y=ax+b 代入原方程，得 即 解之 所以原方程的通解 说明：求非齐次方程的特解时，由f(x)的特点如指数函数或三角函数等用待定法求解，即类似可解 等等,8-
14、5 数学建模：微分方程应用(2),精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,微分方程组与相平面分析，微分方程是常用的 数学模型，微分方程建模解决问题有其特点： 直接研究一个变量y=f(x)常常不容易，而考虑其系数 及其关系更容易一些，这就产生微分方程； 一个主要原因是，事物都在变化，也就有变化率 ，事物的变化又常以时间t为自变量，这就考 虑 等等; 事物的关系又通常是对立统一关系，x与y相互 联系，这就得到微分方程组。看下面的实例。,8-5 数学建模：微分方程应用(2),精品课
15、程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，可视为双方的士兵人数，一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少（死亡或受伤）的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比，而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。 于是x、y服从微分方程： （） 下面分析求解此微分方程组,8-5 数学建模：微分方程应用(2),精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章
16、求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,由复合求导法则 分离变量求得 (2) 此方程在图像上是双曲线簇（右图） （其中k为参数，反映了曲线簇中不同 的类型，这是相平面）。图中箭头表 示随时间t的增加，x(t)、y(t)的变化趋 势，可以看出，如果k0，轨线将与y轴 相交，这就说明存在使t1，使 即当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜。 同理可知，k0时甲方获胜，而k=0时双方战平。 进一步分析某一方比如乙方取胜的条件，考虑初始条件代入（2）式得：,X(t),0,y(t),ay2-bx2=k,K0的情形,8-5 数学建模：微分方程应用(2),精品课程 序 言 第1章 函 数 第
17、2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,() 由k0即 得 () 考虑a、b的含义，（1）式中a为乙方的“战斗有效系数”（可以认为是乙方士兵的射击率乘上命中率），b为甲方的战斗有效系数。 于是（4）式说明，双方初始兵力之比 以平方关系影响着战争的结局，例如若乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争的结局的能力增加到4倍（正如毛泽东兵法，战略上藐视敌人，战术上重视敌人，战术上要求有数倍于敌人的兵力而速战速决）。 此例的研究不是求微分方程的定量解、解析解，而是作定性分析，说明数学除了通常上擅长作定量分析外，也能够作定性分析；定性分析同样重要。 此战争模型及研究分析方法有一般意义，对于事物矛盾双方关系分析，如生物，动物天敌、某些经济竞争等都适用。,