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1、,一、填空题（每题4分，共24分） 1.函数f(x)=- x3+ x2+2x取极小值时，x的值是_. 【解析】f(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1) 在(-,-1)和(2,+)上f(x)0, 在(-1,2)上f(x)0, 当x=-1时f(x)取最小值. 答案：-1,2.(2010琼海高二检测)函数 的极大值为_，极小值为_. 【解析】令y=f(x)则f(x)= 令f(x)=0,得x=1或x=-1. 当x变化时,f(x)、f(x)的变化如下表：,由上表知y极小值=f(-1)= y极大值=f(1)= 答案：,3.(2010北京高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x
2、)在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点_个.,【解题提示】极小值点是导数为0的点.且f(x)左减右增，即f(x)左负右正时f(x)取得极小值. 【解析】由图像看，在图像与x轴的交点处左侧f(x)0，右侧f(x)0的点才满足题意，这样的点只有一个B点. 答案：1,4.已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad=_. 【解析】y=3-3x2,令y=0得x=1, 且当x1时，y0,当-1x1时，y0， 当x-1时，y0,故x=1为y=3x-x3的极大值点， 即b=1, 又c=3b-b3=31-1=2,bc=2, 又a
3、,b,c,d成等比数列， ad=bc=2. 答案：2,5.(2010杭州高二检测）设aR，若函数y=ex+ax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围为_. 【解析】y=ex+ax,y=ex+a, 由于y=ex+ax有大于零的极值点，即方程ex+a=0有大于零的解. 即a=-ex(x0)，当x0时，-ex-1, a-1. 答案：a-1,6.关于x的方程x3-3x=k在R上只有一个实根，则常数k的取值范围为_. 【解析】设f(x)=x3-3x-k,则f(x)=3x2-3， 令f(x)=0,得x=-1或x=1. 可得函数f(x)在(-,-1)和（1,+）上是增函数，在(-1,1)上是减函数. f(x
4、)极大值=f(-1)=2-k，f(x)极小值=f(1)=-2-k. 要使原方程只有一个实数根，只需 2-k0或-2-k0 解得k2或k-2. 答案：(-,-2)(2,+),二、解答题（每题8分，共16分） 7.（2010聊城高二检测）已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值. (1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值. (2)在点A(2,2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.,【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx-3,依题意， f(1)=f(-1)=0,即 解得a=1,b=0, f(x)=x3-3x, f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
5、, 令f(x)=0,得x=-1,x=1, 所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.,（2）曲线方程为y=x3-3x,点A（2，2）在曲线上. 由k=f(2)=3(22-1)=9, 切线方程为y-2=9(x-2), 即：9x-y-16=0.,8.设a为实数，已知函数f(x)= x3-ax2+(a2-1)x (1)当a=1时，求函数f(x)的极值. （2）若方程f(x)=0有三个不等实数根，求a的取值范围.,【解析】（1）依题意有f(x)= x3-x2, 故f（x）=x2-2x=x(x-2),由 得f(x)在x=0时取得极大值f(0)=0,f(x)在x=2时取得极小 值f(2)=,(2
6、)因为f(x)=x2-2ax+(a2-1) =x-(a-1)x-(a+1), 所以方程f(x)=0的两根为a-1和a+1, 显然，函数f(x)在x=a-1时取得极大值，在x=a+1时取得极小值. 因为方程f(x)=0有三个不等实根， 解得-2a2且a1. 故a的取值范围是（-2，-1）(-1,1)(1,2).,9.（10分）a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根,两个不等实根,三个不等实根?有没有可能无实根? 【解题提示】方程可变为x3-3x2=a,方程实根的个数即为函数y=x3-3x2与函数y=a的图象的交点的个数.,【解析】令f(x)=x3-3x2, 则f(x)的定义域为R. 由f(x)=3x2-6x=0, 得x=0或x=2. 当x2时,f(x)0; 当0x2时,f(x)0. 函数f(x)在x=0处有极大值0, 在x=2处有极小值-4.如图所示.,方程x3-3x2-a=0的根即为函数f(x)=x3-3x2与g(x)=a的交点的横坐标,观察图象可得. 当a0或a-4时，原方程有一个根； 当a=0或a=-4时，原方程有两个不等实根； 当-4a0时，原方程有三个不等实根. 由图像可知，原方程不可能无实根.,