2016高考数学大一轮复习 4.8三角函数模型及解三角形应用举例课件 理 苏教版.ppt

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1、,4.8 三角函数模型及解三角形应用举例,第四章 三角函数、解三角形,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.,3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角(如图).,上方,下方,(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等. (3)方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图). (4)坡度：

2、坡面与水平面所成的二面角的正切值.,正北,4.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别.( ) (2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系不能确定.( ) (3)若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北4

3、6.( ),(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为 ，设为坡角，那么cos .( ) (5)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算.( ),130,解析,在ABC中，AB40，AC20， BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC2 2ABACcos 1202 800，所以BC20 .,由正弦定理，得,由BAC120，知ACB为锐角，,解析,故cos cos(ACB30),题型一 测量距离、高度问题,例1 (1)(2014四川)如图，从气球A上测得 正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 67，30，此时气球的高是46 m，则 河流的宽度BC约等于_m.(用四舍五入法将结果精

4、确到个位.参考数据：sin 670.92，cos 670.39， sin 370.60，cos 370.80， 1.73),解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,利用正弦定理解ABC.,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,在ABC中，BCA30，BAC37，,答案 60,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,这类实际应用题，实质就是解三角形问题， 一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解 题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，注意综合应用方程、平面几何和立体几何等知识.,解 析,思 维 升 华,

5、思 维 点 拨,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,思维点拨,解析,思维升华,依题意画图， 某人在C处， AB为塔高， 他沿CD前进，CD40米，此时DBF45，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB ，,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,思维点拨,解析,思维升华,AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).,例1 (2)某人在塔

6、的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，,他沿CD前进，CD40，此时DBF45，,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,过点B作BECD于E，则AEB30， 在BCD中，CD40，BCD30， DBC135，由正弦定理，得,思维点拨,解析,思维升

7、华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,BDE1801353015. 在RtBED中，,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,BEDBsin 15,在RtABE中， AEB30，,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米

8、后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，注意综合应用方程、平面几何和立体几何等知识.,思维点拨,解析,思维升华,解析 在PAB中，PAB30， APB15，AB60， sin 15sin(4530)sin 45cos 3

9、0cos 45sin 30,跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点

10、分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,(2)(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的 景点A处下山至C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A ，cos C .,求索道AB的长；,从而sin Bsin(AC)sin(AC) sin Acos Cco

11、s Asin C,求索道AB的长；,所以索道AB的长为1 040 m.,问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？,所以由余弦定理得,200(37t270t50)，,问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？,为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？,乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.,为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？,例2 如图，在海岸A处发现北偏东45方向， 距A处( 1)海里的B处有一艘走私船.在A处 北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉 私船

12、奉命以10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.,题型二 测量角度问题,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时， 才能最快截获(在D点)走私船，,在ABC中，由余弦定理，有 BC2AB2AC22ABACcosBAC,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,ABC45，B点在C点的正东方向上， CBD90301

13、20，,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶. 又在BCD中，CBD120，BCD30，,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,测量角度问题的一般步骤 (1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形； (3)将解得的结果转化为实际问题的解.,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,跟踪训练2 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为

14、水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小.,又CD50(m)，所以在ACD中， 由余弦定理得cosCAD,跟踪训练2 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小.,跟踪训练2 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小.,又0CAD180， 所以CAD45，,跟踪训练2 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小.

15、,题型三 利用三角函数模型求最值 例3 如图，在直径 为1的圆O中，作一 关于圆心对称、邻 边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数；,思维点拨,解析,思维升华,题型三 利用三角函数模型求最值 例3 如图，在直径 为1的圆O中，作一 关于圆心对称、邻 边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数；,由题图可得：xcos ，ysin . 列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意的范围.,思维点拨,解析,思维升华,解 设S为十字形的面积，,题型三 利用三角函数模型求最值 例3 如图，在直径 为1的圆O中，作一 关于圆心对称、邻 边互相垂直的十字形，

16、其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数；,思维点拨,解析,思维升华,三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值.,题型三 利用三角函数模型求最值 例3 如图，在直径 为1的圆O中，作一 关于圆心对称、邻 边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数；,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？,思维点拨,解析,思维升华,由题图可得：xcos ，ysin . 列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意的范围.,例3 (2)满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？,思维点拨,解析,思维升华,例3

17、 (2)满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？,当sin(2)1，,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？,思维点拨,解析,思维升华,三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值.,例3 (2)满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 如图为一个缆车示意图， 该缆车半径为4.8米，圆上最低点与 地面距离为0.8米，且60秒转动一圈， 图中OA与地面垂直，以OA为始边， 逆时针转动角到OB，设B点与地面间的距离为h. (1)求h与间关系的函数解析式；,解 以圆心O为原点，

18、建立如图所示的平面直角坐标系，,(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？,到达最高点时，h10.4米.,(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？,缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒.,典例：(14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. (1

19、)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？,思想与方法系列6 函数思想在解三角形中的应用,规 范 解 答,温 馨 提 醒,解 设相遇时小艇的航行距离为S海里，,规 范 解 答,温 馨 提 醒,相遇小艇的航行距离最小.,规 范 解 答,温 馨 提 醒,在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段，就是通过引入变量，寻找已知与未知之间的等量关系，构造函数，然后借助函数的变化趋势来分析或预测未知量的变化情况，这就是函数思想. 在解三角形应用举例中，借助函数思想可以解决以下两类问题： (1)距离最短的追缉问题. (2)仰角(或视角)最大问题. 求解此类问题时可先借助三角形中的正

20、(余)弦定理建立等量关系，然后借助函数的知识(如二次函数最值的求法，导数等)探求最优解.,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,解 设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2400900t222030tcos(9030)，,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)假设小艇的最高航行速度

21、只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,0v30，,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,此时，在OAB中，有OAOBAB20.,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,故可设计航行方案如下：,航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小

22、时.,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段，就是通过引入变量，寻找已知与未知之间的等量关系，构造函数，然后借助函数的变化趋势来分析或预测未知量的变化情况，这就是函数思想.,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,在解三角形应用举例中，借助函数思想可以解决以下两类问题：

23、(1)距离最短的追缉问题. (2)仰角(或视角)最大问题.,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,求解此类问题时可先借助三角形中的正(余)弦定理建立等量关系，然后借助函数的知识(如二次函数最值的求法，导数等)探求最优解.,规 范 解 答,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.,2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值.,3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.,失 误

24、与 防 范,在解实际问题时，应正确理解如下角的含义. 1.方向角从指定方向线到目标方向线的水平角.,2.方位角从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.,3.坡度坡面与水平面所成的二面角的正切值.,4.仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为_.(可用正弦、余弦值表示),3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,AB1，ADC10， ABD160.,解析 如图，ABC20，,3,4,5

25、,6,7,8,9,1,10,2,答案 2cos 10,3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.,2,4,5,6,7,8,9,1,10,3,2,4,5,6,7,8,9,1,10,3,解析 设水柱高度是h m，水柱底端为C， 则在ABC中，A60，ACh，,即h250h5 0000， 即(h50)(h100)0，即h50， 故水柱的高度是50 m.,答案 50,4.如图所示，B，C，D三点在地面的同 一直线上，DCa，从

26、C，D两点测得A 点的仰角分别为和()，则A点距地 面的高AB为_.,2,3,5,6,7,8,9,1,10,4,4.如图所示，B，C，D三点在地面的同 一直线上，DCa，从C，D两点测得A 点的仰角分别为和()，则A点距地 面的高AB为_.,2,3,5,6,7,8,9,1,10,4,5.已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A、C两地的距离为_km.,2,3,4,6,7,8,9,1,10,5,解析 由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC10040021020( )700，,6.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A的同侧的河岸边

27、选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为_m.,2,3,4,5,7,8,9,1,10,6,解析 在ABC中，ACB45，CAB105， B1801054530，,2,3,4,5,7,8,9,1,10,6,7.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_方向.,2,3,4,5,6,8,9,1,10,7,解析 灯塔A、B的相对位置如图所示， 由已知得ACB80， CABCBA50， 则605010，即北偏西10.A,北偏西10,8.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是

28、30，60，如图所示，则塔高CB为_m.,2,3,4,5,6,7,9,1,10,8,解析 由已知：在RtOAC中，OA200，OAC30，,2,3,4,5,6,7,9,1,10,8,又DCOA200，,9.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以 选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C 与D，测得BCD15，BDC30， CD30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60，求塔高AB.,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,解 在BCD中，CBD1801530135，,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,10.如图所示，摩天轮的半径为40 m， 点O距地面的高度为50 m，摩天轮做 匀速转

29、动，每3 min转一圈，摩天轮上 点P的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度f(t)Asin(t)h，求2 013 min时点P距离地面的高度；,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,解 依题意，A40 m，h50 m，T3 min，,即2 013 min时点P距离地面的高度为10 m.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)求证：不论t为何值，f(t)f(t1)f(t2)是定值.,f(t)f(t1)f(t2),2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,1,1.如图为一半径是3 m的水轮，

30、水轮的圆心 O距离水面2 m.已知水轮每分钟旋转4圈， 水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s) 满足函数关系yAsin(x)2(0，A0)，则_，A_.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上的A， B探测点相距4米，探测线与地面的夹 角分别为30和75(如图所示)，则生命所在点C的深度为_米.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,3.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_.,解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB20tan 6020 (米)

31、，又CMDB20(米)，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,4.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10 n mile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.,2,3,4,5,1,解 如图所示，设所需时间为t小时，,在ABC中， 根据余弦定理，则有 AB2AC2BC22ACBCcos 120，,2,3,4,5,1,所以舰艇需1小时靠近渔船，,在ABC中，由正弦定理得：,2,3,4,5,1,所

32、以CAB30. 所以舰艇航行的方位角为75.,2,3,4,5,1,5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是 ABBDl，B 的固定装置，AB上可滑 动的点C使CD垂直于地面(C不与A，B重合)， 且CD可伸缩(当CD伸缩时，装置ABD随之绕 D在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D处沿DCA运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v.为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中DCB的大小.,2,3,4,5,1,(1)当变化时，试将货物运行的时间t表示成的函数(用含有v和l的式子表示)；,解 在BCD中，BCD，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,(2)当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,