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1、1,4.5 N为复合数的FFT算法,2,4.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法,FFT算法用于计算有限长序列的z变换X(z)在z平面单位圆上N个等间隔抽样点zk上的采样值 实际应用中在很多情况下并不一定需要计算全部频谱值,而仅需对某一频带内的信号频谱作较密集的分析 另外，采样也不一定局限于单位圆上，而需要计算出某一螺旋线上的等角度间隔的采样值 例如语音信号分析时，往往在靠近语音信号序列z变换的极点的螺旋线上进行采样，可以使语音信号的共振峰变得更尖锐，便于精确确定共振峰频率,3,4.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法,线性调频z变换就是利用FFT快速计算螺旋线采样的算法,4,
2、4.6.1 算法基本原理,为适应z可以沿Z平面更一般的路径取值，沿Z平面上的一段螺线作等分角的采样，采样点zk为,设有限长序列x(n)的Z变换为,式中: A和W都是任意复数, 设,综合上式得到,5,zk参数的物理意义,螺线采样,A0: 起始采样点z0的矢量半径 0: 起始采样点z0的相角 0: 两相邻采样点之间的角度差 W0: 表示螺线的伸展率,序列的DFT是Chirp-Z变换的特例,6,0kM-1,将zk=AW-k代入x(n)的Z变换变换表达式中,得到,Chirp-Z变换公式,Chirp-Z变换的FFT 算法,直接计算Chirp-Z变换公式的计算量很大, 但可以将其转换为卷积形式, 从而利用
3、FFT算法, 提高运算速度,7,将公式中的nk做一变换,Chirp-Z变换公式的卷积形式,0kM-1,代入公式, 整理后得到,(卷积形式 ),与卷积公式比较,8,k=0, 1, , M-1,卷积形式的Chirp-Z公式可采用FFT算法，从而提高运算速度,Chirp-Z变换的计算框图如下,9,4.6.2 Chirp-Z变换的特点,输入序列和输出序列长度不需要相等, 且二者均可为素数 分析频率点zk的起始点z0及相邻两点的夹角0是任意的(即频率分辨率是任意的)， 因此可从任意频率上开始， 对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析 谱分析路径可以是螺旋形的 Chirp-Z变换在一定条件下就是序列的DFT,
4、与标准DFT(FFT)算法相比较， Chirp-Z变换有以下特点:,10,4.7 利用FFT分析时域连续信号频谱,4.7.1 基本步骤,时域连续信号离散傅里叶分析的处理步骤如下图示,频谱分析是指计算信号各个频率的幅值, 相位和功率,处理过程分析,11,LPF : 避免在模拟信号转换成序列时, 可能出现的频谱混叠现象,A/D: 时域离散化,得到采样序列x(n)，其频谱用X(ej)表示,12,w(n): 窗函数.为进行FFT，须对x(n)加窗处理，即v(n)=x(n)w(n),13,对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题：即谱分析范围与频率分辨率,谱分析范围与频率分辨率,谱分析范围(所能分析的最
5、高频率)受采样频率的限制 频率分辨率用频率采样间隔F描述，表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量最小间隔。F较小时，称频率分辨率较高,14,有限长序列v(n)=x(n)w(n)的DFT相当于v(n)FT的等间隔采样,V(k)是sc(t)的离散频率函数， V(k)的第k点对应的模拟频率为:,谱分析范围与频率分辨率,显然，数字域频率间隔=2/N 对应的模拟域谱线间距应为,( fs 为采样频率),谱线间距: 即频谱分辨率，指可分辨两频率的最小间距,15,( fs 为采样频率),T为采样时间间隔(s) fs为采样频率(Hz) F为谱线间距,频谱分辨率(Hz) tp为截取连续时间信号的样本长度, 又称记录长
6、度(s),DFT对连续信号谱分析时，参数间的关系及选择原则,例 时间序列v(n)=(1.1)nR16(n)与16点的DFT 的如下图所示,16,参数间的关系,参数的选择(T、tp和N),实际应用中, 根据信号最高频率fh和频谱分辨率F的要求来确定三个参数,DFT对连续信号谱分析时，参数间的关系及选择原则,17,采样周期T的选择：,为保证采样信号不失真应满足，fs2fh，即周期T,说明：信号的谱分析范围 fh与频率分辨率F存在矛盾关系,解释：如果保持采样点数N不变，而提高谱的分辨率(F减小)， 必须降低采样速率fs ，从而引起谱分析范围 fh 减少 解决方法：如维持fs不变, 为提高分辨率，可以
7、考虑增加采样点数N与观察时间Tp,18,N的选择（由频谱分辨率F和T确定）,最小记录长度Tp的选择（由N, T确定）,19,例 一频谱分析器，其采样点数必须是2的整数幂，已知 频率分辨率10 Hz; 信号最高频率4kHz。试求 (1) 最小记录长度tp；(2) 最大采样间隔T（即最小采样频率)；(3) 在一个记录中的最少点数N,解题思路,已知 F=10 Hz, fh=4 kHz,(1),(2),20,由信号的时域波形图估计最高频率 最高频率1/(2*相邻峰谷间的最小距离),信号最高频率fh的估计,例：如下图示,21,4.7.2 利用FFT对连续信号进行傅里叶分析时可能造成的误差,1. 频谱混叠
8、失真,当时域采样频率不满足fs2fh 时，会产生频谱混叠失真,对于FFT，频率函数也要采样成离散序列，因此为兼顾fh与F，必要时需增加记录长度的点数N,一般取 fs=(2.53.0) fh,22,4.7.2 利用FFT对连续信号进行傅里叶分析时可能造成的误差,2. 栅栏效应,利用FFT计算频谱，只能得到有限点的频谱采样值，而采样点间的频谱函数是不知道的，这就像通过一个“栅栏”观看信号频谱,只能在离散点上看到信号频谱，称之为“栅栏效应”。由于栅栏效应，有可能漏掉(挡住)大的频谱分量,23,减小栅栏效应的方法： 增加频域采样点数N，通过在时域数据末端添加零点，使一个周期内的点数增加，但并不改变原有
9、的记录数据 说明：补零不能提高频率分辨率,2. 栅栏效应,24,cos(n/4) 频谱,3. 由截断效应引起的频谱泄漏与谱间干扰,实际中的序列x(n)有可能是无限长的，为进行DFT运算，x(n)需要进行加窗处理变成有限长序列，截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别, 主要表现为泄漏与谱间干扰,矩形窗函数的幅度谱,加矩形窗后的频谱,25,泄漏：截断后的序列不再是单一谱线，而是向附近展宽。泄漏使频谱变模糊，使谱分辨率降低 谱间干扰：主谱线两边形成很多旁瓣，将引起不同频率分量间的干扰。特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线,26,加矩形窗后的频谱,减小两种影响的措施：,cos(n/4) 频谱,增
10、加窗的时域宽度N 可使频域主瓣变窄 采用其它缓变的窗代替矩阵窗，可使旁瓣能量更小，从而减少谱间干扰,N一定时，旁瓣越小的窗函数，其主瓣就越宽。因此只能以降低谱分辨率为代价，换取谱间干扰的减小,27,4.7.3 频谱分析的应用,实信号x(n)的频谱是共轭偶对称的，故只要求出k在0, 1, N/2上的X(k)即可。 将X(k)写成极坐标形式,式中，|X(k)|称为幅频谱，argX(k)称为相频谱。,频谱图,一个长度为N的时域离散序列x(n)，其DFT可表示为,由上式绘成的图形称为频谱图。从图中可以知道信号存在哪些频率分量,28,例 用频谱分析下列时域信号的组成( fs=32 Hz ),对序列作32
11、点DFT，|X(k)|如右图示。频率分辨率 F=fs/N=1Hz,29,4.8 FFT的其它应用,4.8.1 线性卷积的FFT算法快速卷积,1. FFT的快速卷积法（利用循环卷积的FFT计算线性卷积）,FFT计算y(n)的步骤,求H(k)=DFTh(n) 求X(k)=DFTx(n) 计算Y(k)=X(k)H(k); 求y(n)=IDFTY(k),30,设h(n)的点数为M，长序列x(n)可被分成为若干长度为L点的段,输入序列表示,2. 重叠相加法,x(n)和h(n)的线性卷积等于,31,计算N点FFT， H(k)=DFTh(n) （ N=2mL+M-1 ） 计算N点FFT，Xi(k)=DFTxi(n) （ N=2mL+M-1 ） 相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k) 计算N点IFFT，yi(n)=IDFTYi(k),计算步骤,将各段yi(n)（包括重叠部分）相加,xi(n)与yi(n)序列长度不同, 导致相邻两段输出有若干点重叠，应该将重叠部分相加后再和不重叠的部分共同组成输出y(n),32,重叠相加法卷积图示,33,FFT消噪是对含噪信号的频谱进行处理，即将噪声所在频段的X(k)值全部置零。这种方法要求噪声与信号的频谱不在同一频段,4.8.2 信号消噪,例 语音消噪,信号淹没在啸叫噪声中,34,信号与噪声的功率谱,去噪后的功率谱,重构的原语音信号,35,THE END,