2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.3空间图形的基本关系与公理课件理北师大版.ppt

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1、8.3 空间图形的基本关系与公理,第八章 立体几何与空间向量,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,知识梳理,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,(2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). 范围： .,2.直线与直线

2、的位置关系 (1)位置关系的分类,平行,相交,任何,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况. 5.等角定理 空间中如果两个角的 ，那么这两个角相等或互补.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与,平面平行,平行,相交,两边分别对应平行,1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异

3、面直线.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.( ) (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.( ) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) (6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线.( ),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二 教材改编 2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中

4、点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为 A.30 B.45 C.60 D.90,1,2,4,5,6,解析,3,答案,解析 连接B1D1，D1C，则B1D1EF， 故D1B1C即为所求的角.又B1D1B1CD1C， B1D1C为等边三角形，D1B1C60.,3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱 AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形.,1,2,4,5,6,答案,3,ACBD,解析,解析 四边形EFGH为菱形， EFEH，故ACBD.,解析 四边形EFGH为正方形，EFEH且

5、EFEH，,ACBD且ACBD,题组三 易错自纠 4.(2017湖南省湘中名校联考)已知l，m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是 A.若m，n，则mn B.若m，n，则mn C.若l，m，m，则ml D.若m，n，lm，ln，则l,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析 A中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故A错误； B中，m与n也有可能平行，B错误； C中，根据线面平行的性质可知C正确； D中，若mn，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.,5.(2017湖北七市联考)设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是 A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B.

6、过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直,1,2,4,5,6,答案,3,解析,解析 对于A，在平面内有且只有一条直线与直线m垂直，过交点与直线m垂直的直线只有一条，在平面内与此直线平行的直线都与m垂直，不正确； 对于B，过直线m有且只有一个平面与平面垂直，在直线m上取一点作平面的垂线，两条直线确定一个平面与平面垂直，正确； 对于C，与直线m垂直的直线不可能与平面平行，不正确； 对于D，与直线m平行的平面不可能与平面垂直，不正确.,1,2,4,5,6,3,解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位 置的变化， 则AB，CD，

7、EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.,6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,3,题型分类 深度剖析,典例 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；,题型一 平面基本性质的应用,师生共研,证明,证明 如图，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1. 又A1BD1C

8、，EFCD1， E，C，D1，F四点共面.,(2)CE，D1F，DA三线共点.,证明,证明 EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条

9、直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,跟踪训练 (2018沈阳质检)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H四点共面；,证明,证明 E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.,GHBD，EFGH. E，F，G，H四点共面.,(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.,证明,证明 EGFHP，PEG，EG平面ABC， P平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面AB

10、C平面ADCAC， PAC，P，A，C三点共线.,典例 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交,解析,题型二 判断空间两直线的位置关系,师生共研,答案,解析 方法一 由于l与直线l1，l2分别共面， 故直线l与l1，l2要么都不相交， 要么至少与l1，l2中的一条相交. 若ll1，ll2， 则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾. 故l至少与l1，l2中的一条相交. 方法二 如图1，l1与l2是异面直线，

11、l1与l平行，l2与l相交， 故A，B不正确； 如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.,(2)(2017唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_.(填上所有正确答案的序号),解析,答案,解析 在图中，直线GHMN； 在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH， 因此直线GH与MN异面； 在图中，连接GM，GMHN，因此GH与MN共面； 在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN， 因此GH与MN异面. 所以在图中GH与MN异面.,空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.

12、对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.,解析 若直线a和直线b相交，则平面和平面相交； 若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交， 故选A.,跟踪训练 (1)(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,答案,解析,(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论： 若ab，ac，则bc；若ab，ac，

13、则bc；若ab，bc，则ac. 其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析 在空间中，若ab，ac， 则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面， 所以错，显然成立.,解析,题型三 求两条异面直线所成的角,师生共研,典例 (2018南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为,解析,答案,解析 连接BC1，易证BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1， 由AB1，AA12，,AB1，AA1t.,解答,用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：

14、根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.,跟踪训练 (2017佛山模拟)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB 1，则异面直线AB1与BD所成的角为_.,答案,解析,60,解析 取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE， 在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.,故AB1E60.,典例 已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若m，n，mn，则； 若m

15、，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，则mn. 其中所有正确的命题是_.(填序号),构造模型判断空间线面位置关系,思想方法,答案,思想方法指导,解析,思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.,解析 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确； 对于，平面，可能垂直，如图(2)所示，故不正确； 对于，平面，可能垂直，如图(3)所示，故不

16、正确； 对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确.,课时作业,1.在下列命题中，不是公理的是 A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.,解析,答案,2.(2018佛山模拟)在三棱柱A

17、BCA1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线 A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，,当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N， 如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,

18、3.(2017济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是 A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C.若ab，则a，b与c所成的角相等 D.若ab，bc，则ac,答案,解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.,解析,4.(2017福州质检)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于 A.30 B.45 C.6

19、0 D.90,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，延长CA到点D，使得ADAC， 连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形， 所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角. 又A1DA1BDB，所以A1DB为等边三角形， 所以DA1B60. 故选C.,5.下列命题中，正确的是 A.若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线 B.若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面 C.若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 D.若直线a平面，点P，则平面内经过点P且与直线

20、a平行的直线有且 只有一条,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 对于A，当，a，b分别为第三个平面与，的交线时，由面面平行的性质可知ab，故A错误. 对于B，设a，b确定的平面为，显然a，故B错误. 对于C，当a时，直线a与平面内的无数条直线都平行，故C错误.易知D正确.故选D.,6.以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是 A.0 B.1 C

21、.2 D.3,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 显然是正确的； 中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面； 中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确； 中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.给出下列命题，其中正确的命题为_.(填序号) 如果线段AB在平面内，那么直线AB在平面内； 两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B

22、，C； 若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面； 若三条直线两两相交，则这三条直线共面； 两组对边相等的四边形是平行四边形.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018广州质检)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中： GH与EF平行；BD与MN为异面直线； GH与MN成60角；DE与MN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是_.,解析,解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示， GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线

23、， GH与MN成60角，DEMN.,答案,9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,4,解析,解析 EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个.,10.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7

24、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以ADBC， 所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角， 因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面， 所以C1DAD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，,11.(2018石家庄调研)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明,1,2,3

25、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 如图，连接BD，B1D1， 则BDACO，,四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D， B1D平面BB1D1D， 则H平面BB1D1D， 平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1. 即D1，H，O三点共线.,12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，A90，BC ，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图

26、所示，取AC的中点F，连接EF，BF， 在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD. BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.,13.(2018长春质检)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是 A.l1l4 B.l1l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l

27、1DD1，l2DC，l3DA. 若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4， 此时l1l4，可以排除选项A和C. 若取C1D为l4，则l1与l4相交； 若取BA为l4，则l1与l4异面；若取C1D1为l4， 则l1与l4相交且垂直. 因此l1与l4的位置关系不能确定.,14.(2017郑州质检)如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是_.(填序号) BM是定值； 点M在某个球面上运动； 存在某个位置，使DEA1C； 存在某个位置，使MB平面A1DE.,解析,1,2,3,4,

28、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 取DC的中点F，连接MF，BF，,所以MFBA1DE. 由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值， 所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得正确； 由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE，可得正确； 若存在某个位置，使DEA1C，则因为DE2CE2CD2， 即CEDE，因为A1CCEC，则DE平面A1CE， 所以DEA1E，与DA1A1E矛盾，故不正确.,15.(2017山西四校联考)如图，已知正方体ABCDA

29、1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是 A.4 B. C.2 D.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 连接DN，则MDN为直角三角形， 在RtMDN中，MN2，P为MN的中点，连接DP，则DP1， 所以点P在以D为球心，半径R1的球面上， 又因为点P只能落在正方体上或其内部，,16.如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD ，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,以点O为坐标原点，以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,作DHAC于点H，翻折过程中，DH始终与AC垂直，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,本课结束,