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1、8.5 垂直关系,第八章 立体几何与空间向量,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线与平面垂直,知识梳理,任意,mnO,a,b,2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.,ab,直二面角,(2)判定定理与性质定理,垂线,交线,l,重要结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面
2、中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)直线a,b,则ab.( ) (4)若,a,则a.( ) (5)若直线a平面,直线b,则直线a与b垂直.( ) (6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.( ),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二 教材改编 2.下列命题中错误的是 A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C.如果
3、平面平面,平面平面,l,那么l平面 D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面,1,2,4,5,6,解析,3,答案,解析 对于D,若平面平面,则平面内的直线可能不垂直于平面,即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内,其他选项均是正确的.,1,2,4,5,6,答案,3.在三棱锥PABC中,点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PAPBPC,则点O是ABC的_心;,3,外,解析,解析 如图1,连接OA,OB,OC,OP, 在RtPOA,RtPOB和RtPOC中,PAPCPB, 所以OAOBOC,即O为ABC的外心.,1,2,4,5,6,答案,(2)若PAPB,PBPC,PCPA,则点O
4、是ABC的_心.,3,垂,解析,解析 如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于H,D,G. PCPA,PBPC,PAPBP,PC平面PAB, 又AB平面PAB,PCAB, ABPO,POPCP, AB平面PGC,又CG平面PGC, ABCG,即CG为ABC边AB上的高. 同理可证BD,AH分别为ABC边AC,BC上的高, 即O为ABC的垂心.,题组三 易错自纠 4.(2017湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下列给出的条件中一定能推出m的是 A.且m B.且m C.mn且n D.mn且,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析 由线面垂直的判定定理,可
5、知C正确.,5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点O,M,N分别是线段BD,DD1,D1C1的中点,则直线OM与AC,MN的位置关系是 A.与AC,MN均垂直 B.与AC垂直,与MN不垂直 C.与AC不垂直,与MN垂直 D.与AC,MN均不垂直,1,2,4,5,6,答案,3,解析,解析 因为DD1平面ABCD,所以ACDD1, 又因为ACBD,DD1BDD, 所以AC平面BDD1B1, 因为OM平面BDD1B1,所以OMAC. 设正方体的棱长为2,,1,2,4,5,6,3,所以OM2MN2ON2,所以OMMN.故选A.,6.如图所示,AB是半圆O的直径,VA垂直于半圆O所在的平面
6、,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为 VA,VC的中点,则下列结论正确的是 A.MNAB B.平面VAC平面VBC C.MN与BC所成的角为45 D.OC平面VAC,解析,1,2,4,5,6,3,解析 由题意得BCAC, 因为VA平面ABC,BC平面ABC, 所以VABC.因为ACVAA,所以BC平面VAC. 因为BC平面VBC,所以平面VAC平面VBC.故选B.,答案,题型分类 深度剖析,典例 如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点. 证明:(1)CDAE;,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,师生共研,证
7、明,证明 在四棱锥PABCD中, PA底面ABCD,CD平面ABCD, PACD. 又ACCD,PAACA,PA,AC平面PAC, CD平面PAC. 而AE平面PAC,CDAE.,(2)PD平面ABE.,证明 由PAABBC,ABC60,可得ACPA. E是PC的中点,AEPC. 由(1)知AECD,且PCCDC,PC,CD平面PCD, AE平面PCD,而PD平面PCD,AEPD. PA底面ABCD,AB平面ABCD,PAAB. 又ABAD,且PAADA, AB平面PAD,而PD平面PAD, ABPD.又ABAEA,AB,AE平面ABE, PD平面ABE.,证明,证明线面垂直的常用方法及关键
8、(1)证明直线和平面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的传递性(ab,ab);面面平行的性质(a,a);面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,跟踪训练 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BCCC1.设AB1的中点为D,B1CBC1E. 求证:(1)DE平面AA1C1C;,证明 由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点, 因此DEAC. 又因为DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C, 所以DE平面AA1C1C.,证明,证明 因为棱柱ABC-A1B1
9、C1是直三棱柱, 所以CC1平面ABC. 因为AC平面ABC,所以ACCC1. 又因为ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1, BCCC1C,所以AC平面BCC1B1. 又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1AC. 因为BCCC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C. 因为AC,B1C平面B1AC,ACB1CC,所以BC1平面B1AC. 又因为AB1平面B1AC,所以BC1AB1.,(2)BC1AB1.,证明,典例 (2018开封模拟)如图,在四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
10、 (1)求证:CE平面PAD;,证明,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,师生共研,证明 方法一 取PA的中点H,连接EH,DH. 因为E为PB的中点,,所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形,所以CEDH. 又DH平面PAD,CE平面PAD, 所以CE平面PAD.,方法二 连接CF.因为F为AB的中点,,所以AFCD. 又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形. 因此CFAD,又CF平面PAD,AD平面PAD, 所以CF平面PAD. 因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA. 又EF平面PAD,PA平面PAD,所以EF平面PAD. 因为CFEFF,故平面CEF平面PAD.
11、又CE平面CEF,所以CE平面PAD.,证明 因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA. 又因为ABPA, 所以EFAB,同理可证ABFG. 又因为EFFGF,EF,FG平面EFG, 所以AB平面EFG. 又因为M,N分别为PD,PC的中点, 所以MNCD,又ABCD,所以MNAB, 所以MN平面EFG. 又因为MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.,(2)求证:平面EFG平面EMN.,证明,1.在本例条件下,证明:平面EMN平面PAC.,证明 因为ABPA,ABAC, 且PAACA,PA,AC平面PAC, 所以AB平面PAC. 又MNCD,CDAB,所以MNAB, 所以MN平面PA
12、C. 又MN平面EMN, 所以平面EMN平面PAC.,证明,2.在本例条件下,证明:平面EFG平面PAC.,证明 因为E,F,G分别为PB,AB,BC的中点, 所以EFPA,FGAC, 又EF平面PAC,PA平面PAC, 所以EF平面PAC. 同理FG平面PAC. 又EFFGF, 所以平面EFG平面PAC.,证明,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义; 面面垂直的判定定理(a,a). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练 (2017南昌模拟)如图,已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为4的正
13、方形,PAD是正三角形,平面PAD平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点. (1)求证:平面EFG平面PAD;,证明 因为平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD,CD平面ABCD, 且CDAD,所以CD平面PAD. 又因为在PCD中,E,F分别是PD,PC的中点, 所以EFCD,所以EF平面PAD. 因为EF平面EFG,所以平面EFG平面PAD.,证明,(2)若M是线段CD上一点,求三棱锥MEFG的体积.,解答,解 因为EFCD,EF平面EFG,CD平面EFG, 所以CD平面EFG, 因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离, 所以V三棱锥MEF
14、GV三棱锥DEFG, 取AD的中点H,连接GH,EH,FH,则EFGH, 因为EF平面PAD,EH平面PAD, 所以EFEH.,因为平面EFG平面PAD,平面EFG平面PADEH,EHD是正三角形,,所以三棱锥MEFG的体积,题型三 垂直关系中的探索性问题,师生共研,典例 如图所示,平面ABCD平面BCE,四边形ABCD为矩形,BCCE,点F为CE的中点. (1)证明:AE平面BDF;,证明 连接AC交BD于点O,连接OF. 四边形ABCD是矩形,O为AC的中点. 又F为EC的中点,OFAE. 又OF平面BDF, AE平面BDF, AE平面BDF.,证明,解答,(2)点M为CD上任意一点,在线
15、段AE上是否存在点P,使得PMBE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.,解 当点P为AE的中点时,有PMBE,证明如下: 取BE的中点H,连接DP,PH,CH. P为AE的中点,H为BE的中点,PHAB. 又ABCD,PHCD,P,H,C,D四点共面. 平面ABCD平面BCE, 且平面ABCD平面BCEBC,CDBC, CD平面ABCD,CD平面BCE. 又BE平面BCE,CDBE, BCCE,且H为BE的中点,CHBE. 又CHCDC,且CH,CD平面DPHC,BE平面DPHC. 又PM平面DPHC,PMBE.,(1)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该
16、假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设. (2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在.,跟踪训练 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,M为棱AC的中点.ABBC,AC2,AA1 . (1)求证:B1C平面A1BM;,证明 连接AB1与A1B,两线交于点O,连接OM. 在B1AC中,M,O分别为AC,AB1的中点, OMB1C, 又OM平面A1BM,B1C平面A1BM, B1C
17、平面A1BM.,证明,(2)求证:AC1平面A1BM;,证明,证明 侧棱AA1底面ABC,BM平面ABC, AA1BM, 又M为棱AC的中点,ABBC,BMAC. AA1ACA,AA1,AC平面ACC1A1, BM平面ACC1A1,BMAC1. AC2,AM1.,AC1CA1MA,即AC1CC1ACA1MAC1AC90, A1MAC1. BMA1MM,BM,A1M平面A1BM, AC1平面A1BM.,(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N平面AA1C1C?如果存在,求此时 的值;如果不存在,请说明理由.,解答,平面AC1N平面AA1C1C. 证明如下: 设AC1的中点为D,连接DM,
18、DN. D,M分别为AC1,AC的中点,,又N为BB1的中点,DMBN,且DMBN, 四边形BNDM为平行四边形,BMDN, BM平面ACC1A1,DN平面AA1C1C. 又DN平面AC1N,平面AC1N平面AA1C1C.,典例 (12分)如图所示,M,N,K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点. 求证:(1)AN平面A1MK; (2)平面A1B1C平面A1MK.,立体几何证明问题中的转化思想,思想方法,思想方法指导,规范解答,思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理. (2
19、)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等. (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件,步骤书写要规范.,规范解答,证明 (1)如图所示,连接NK. 在正方体ABCDA1B1C1D1中, 四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形, AA1DD1,AA1DD1, C1D1CD,C1D1CD. 2分,N,K分别为CD,C1D1的中点, DND1K,DND1K, 四边形DD1KN为平行四边形, 3分 KNDD1,KNDD1,AA1KN,AA1KN, 四边形AA1KN为平行四边形,
20、ANA1K. 4分 又A1K平面A1MK,AN平面A1MK, AN平面A1MK. 6分 (2)如图所示,连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,ABC1D1,ABC1D1. M,K分别为AB,C1D1的中点,,BMC1K,BMC1K, 四边形BC1KM为平行四边形,MKBC1. 8分 在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B1平面BB1C1C, BC1平面BB1C1C,A1B1BC1. MKBC1,A1B1MK. 四边形BB1C1C为正方形,BC1B1C, 10分 MKB1C. A1B1平面A1B1C,B1C平面A1B1C, A1B1B1CB1,MK平面A1B1C. 又MK平面A1M
21、K,平面A1B1C平面A1MK. 12分,课时作业,1.若平面平面,平面平面直线l,则 A.垂直于平面的平面一定平行于平面 B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面 C.垂直于平面的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 对于A,垂直于平面的平面与平面平行或相交,故A错误; 对于B,垂直于直线l的直线与平面垂直、斜交、平行或在平面内,故B错误; 对于C,垂直于平面的平面与直线l平行或相交,故C错误.D正确.,解析,答案,2.(2017深圳四校联考)若平面,满足,l,P,Pl,则下
22、列命题中是假命题的为 A.过点P垂直于平面的直线平行于平面 B.过点P垂直于直线l的直线在平面内 C.过点P垂直于平面的直线在平面内 D.过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由于过点P垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线,因此也平行于平面,因此A正确; 过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面,不一定在平面内,因此B不正确; 根据面面垂直的性质定理,知选项C,D正确.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.设,是两个不同的平面,l,m是两
23、条不同的直线,且l,m A.若l,则 B.若,则lm C.若l,则 D.若,则lm,答案,解析 选项A,l,l,A正确; 选项B,l,m,l与m的位置关系不确定; 选项C,l,l,或与相交; 选项D,l,m,此时,l与m的位置关系不确定.故选A.,解析,解析 对于选项A,由且m,可得m或m与相交或m,故A不成立; 对于选项B,由且m,可得m或m或m与相交,故B不成立; 对于选项C,由mn且n,可得m,故C正确; 对于选项D,由mn且n,可得m或m与相交或m,故D不成立.故选C.,4.(2017中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是
24、A.且m B.且m C.mn且n D.mn且n,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018衡水调研)如图,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是 A.BC平面PDF B.DF平面PAE C.平面PDF平面PAE D.平面PDE平面ABC,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为BCDF,DF平面PDF, BC平面PDF, 所以BC平面PDF,故选项A正
25、确; 在正四面体中,AEBC,PEBC,AEPEE, 且AE,PE平面PAE, 所以BC平面PAE, 因为DFBC,所以DF平面PAE, 又DF平面PDF, 从而平面PDF平面PAE. 因此选项B,C均正确.,6.如图所示,直线PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是 A. B. C. D.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 对于
26、,PA平面ABC,PABC, AB为O的直径,BCAC, ACPAA,BC平面PAC, 又PC平面PAC,BCPC; 对于,点M为线段PB的中点,OMPA, PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC; 对于,由知BC平面PAC,线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故都正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.如图,已知PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为_.,答案,4,解析 PA平面ABC,AB,AC,BC平面ABC, PAAB,PAAC,PABC, 则PAB,PAC为直角三角形. 由BCAC,且ACPAA, 得BC平面P
27、AC,从而BCPC, 因此ABC,PBC也是直角三角形.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018洛阳模拟)如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可),解析,解析 PA底面ABCD,BDPA, 连接AC,则BDAC,且PAACA, BD平面PAC,BDPC. 当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD, 而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.,答案,DMPC(或BMPC等),9.如图,BAC90,PC平面ABC,
28、则在ABC和PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有_;与AP垂直的直线有_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,AB,BC,AC,AB,解析,解析 PC平面ABC, PC垂直于直线AB,BC,AC; ABAC,ABPC,ACPCC, AB平面PAC,与AP垂直的直线是AB.,10.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,ACBC1,ACB90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答
29、案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设B1Fx, 因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.,11.如图1,四边形ABCD为等腰梯形,AB2,ADDCCB1,将ADC沿AC折起,使得平面ADC平面ABC,E为AB的中点,连接DE,DB(如图2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明,(1)求证:BCAD;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 作CHAB于点H,,ACBC,平面ADC平面ABC, 且平面ADC平面ABCAC,BC
30、平面ABC, BC平面ADC,又AD平面ADC, BCAD.,(2)求点E到平面BCD的距离.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 E为AB的中点, 点E到平面BCD的距离等于点A到平面BCD距离的一半. 而平面ADC平面BCD, 过A作AQCD于Q, 又平面ADC平面BCDCD,且AQ平面ADC, AQ平面BCD,AQ就是点A到平面BCD的距离.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
31、,11,12,13,14,15,16,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 由题意可知ABMDCP是底面为直角三角形的直棱柱, AD平面MAB,ADMA, 又MAAB,ADABA,AD,AB平面ABCD, MA平面ABCD,MABD. 又ABAD,四边形ABCD为正方形,BDAC, 又MAACA,MA,AC平面MAC, BD平面MAC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设刍童ABCDA1B1C1D1的高为h,,
32、13.(2018届南宁市联考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.下列说法错误的是_.(填序号) AGEFH所在平面; AHEFH所在平面; HFAEF所在平面; HGAEF所在平面.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 折之前AGEF,CGEF,折之后也垂直,所以EF平面AHG,折之前B,D,C均为直角,折之后三点重合
33、,所以折之后AH,EH,FH三条直线两两垂直,所以AHEFH所在平面,对; 同时可知AHHG,又HFAEH所在平面,过AE不可能做两个平面与直线HF垂直,错; 如果HGAEF所在平面,则有HGAG,与中AHHG矛盾,错; 若AGEFH所在平面,则有AGHG,与中AHHG矛盾,所以也错.,14.如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论: AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC. 其中正确结论的序号是_.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7
34、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知PA平面ABC,PABC. 又ACBC,且PAACA,PA,AC平面PAC, BC平面PAC,BCAF. AFPC,且BCPCC,BC,PC平面PBC, AF平面PBC, AFPB,又AEPB,AEAFA, AE,AF平面AEF, PB平面AEF,PBEF. 故正确.,15.(2017兰州模拟)如图,在直角梯形ABCD中, BCDC,AEDC,且E为CD的中点,M,N分 别是AD,BE的中点,将ADE沿AE折起,则下 列说法正确的是_.(写出所有正确说法的序号) 不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN平面DEC; 不论D
35、折至何位置(不在平面ABC内),都有MNAE; 不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MNAB; 在折起过程中,一定存在某个位置,使ECAD.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由已知,在未折叠的原梯形中, ABDE,BEAD, 所以四边形ABED为平行四边形, 所以BEAD,折叠后如图所示. 过点M作MPDE,交AE于点P,连接NP. 因为M,N分别是AD,BE的中点, 所以点P为AE的中点,故NPEC. 又MPNPP,DECEE, 所以
36、平面MNP平面DEC, 故MN平面DEC,正确;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由已知,AEED,AEEC,所以AEMP,AENP, 又MPNPP,所以AE平面MNP, 又MN平面MNP,所以MNAE,正确; 假设MNAB,则MN与AB确定平面MNBA, 从而BE平面MNBA,AD平面MNBA, 与BE和AD是异面直线矛盾,错误; 当ECED时,ECAD. 因为ECEA,ECED,EAEDE, 所以EC平面AED,AD平面AED,所以ECAD,正确.,16.(2018泉州模拟)点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命
37、题: 三棱锥AD1PC的体积不变; A1P平面ACD1; DPBC1; 平面PDB1平面ACD1. 其中正确的命题序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1, 则OO1BC1,所以BC1平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变, 所以三棱锥PAD1C的体积不变. 又因为 所以正确; 因为平面A1C1B平面AD1C,A1P平面A1C1B, 所以A1P平面ACD1,正确; 由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1,即DP不垂直BC1,故不正确; 由于DB1D1C,DB1AD1,D1CAD1D1,所以DB1平面AD1C. 又因为DB1平面PDB1,所以平面PDB1平面ACD1,正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,本课结束,