2016高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法课件 理 苏教版.ppt

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1、数学 苏 （理）,13.3 数学归纳法,第十三章 推理与证明、算法、复数,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取 (n0N*)时结论成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时结论成立，证明当 时结论也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,第一个值n0,nk1,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归

2、纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.( ),(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.( ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.( ),1aa2,解析,例1 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,n从k变到k1，左边增乘了2(2k1).,例1 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳

3、法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,证明 当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；,假设当nk时等式成立，,即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，,例1 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,那么当nk1时，,思维点拨,解析,思维升华,左边(k11)(k12)(k1k1) (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) 2k135(2k1)(2k1)2 2k1135(2k1)(2k1)，,例1 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,这就是说当nk

4、1时等式也成立.,由可知，对所有nN*等式成立.,例1 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立. (2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.,例1 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).,题型一 用数学归纳法证明等式,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练1,左边右边，等式成立.,假设nk时，等式成立.,左边右边，等式成立.,即对所有nN*，

5、原式都成立.,题型二 用数学归纳法证明不等式,解析,思维点拨,利用题中条件分别确定a的范围进而求a；,题型二 用数学归纳法证明不等式,解析,思维点拨,所以a21.,题型二 用数学归纳法证明不等式,解析,思维点拨,题型二 用数学归纳法证明不等式,解得a1.,又因为a21，所以a1.,解析,思维点拨,思维点拨,解析,思维升华,利用数学归纳法证明.,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,故n2时，原不等式也成立.,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,所以当nk1时，原不等式也成立.,思维点拨,解析,思维升华,(1)当遇到与正整数n有关的不等式证

6、明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.,思维点拨,解析,思维升华,(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练2 (2014陕西)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式；,解 由题设得，g(x) (x0).,下面用数学归纳法证明.,当n1时，g1(x) ，结论成立.,假设nk时结论成立，,由可知，结论对nN*成立.,(2

7、)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；,解 已知f(x)ag(x)恒成立，,当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，,(x)在0，)上单调递增.,又(0)0， (x)0在0，)上恒成立，,a1时，ln(1x) 恒成立(仅当x0时等号成立).,当a1时，对x(0，a1有(x)0，,(x)在(0，a1上单调递减，,(a1)(0)0.,即a1时，存在x0，使(x)0，,(3)设nN*，比较g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小，并加以证明.,在(2)中取a1，可得ln(1x) ，x0.,下面用数学归纳法证明.,当n1时， ln 2，结论成立.,假设当nk时结论成立，,由可知，

8、结论对nN*成立.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；,题型三 归纳猜想证明,思维点拨,解析,思维升华,通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项公式，然后用数学归纳法证明.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；,题型三 归纳猜想证明,思维点拨,解析,思维升华,解 当n1时，,a1 1(a10).,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；,题型三 归纳猜想

9、证明,思维点拨,解析,思维升华,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；,题型三 归纳猜想证明,思维点拨,解析,思维升华,利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；,题型三 归纳猜想证明,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且a

10、n0，nN*. (2)证明通项公式的正确性.,通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项公式，然后用数学归纳法证明.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思维点拨,解析,思维升华,证明 由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立.,假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思维点拨,解析,思维升华,即当nk1时，通项公式也成立.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思

11、维点拨,解析,思维升华,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思维点拨,解析,思维升华,“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,例3 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn 1，且an0，nN*. (2)证明通项公式的正确性.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*，0). (1)求a2，a3，a4；,解 a2222(2)222， a3(222)3(2)222323， a4(2323)4(2)233424.,(2)猜想an 的通项公

12、式，并加以证明.,解 由(1)可猜想数列通项公式为 an(n1)n2n.,下面用数学归纳法证明： 当n1,2,3,4时，等式显然成立，,假设当nk(k4，kN*)时等式成立， 即ak(k1)k2k，,那么当nk1时，,ak1akk1(2)2k (k1)k2kk12k12k (k1)k1k12k1 (k1)1k12k1，,所以当nk1时，an(n1)n2n，猜想成立，,由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nN*，0).,典例：(14分)数列an满足Sn2nan(nN*). (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；,答题模板系列9 归纳猜想证明问题,规 范 解 答,思 维 点

13、 拨,温 馨 提 醒,由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4观察所得数值的特征猜出通项公式.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,解 当n1时，a1S12a1，a11.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难. (2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法. (3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推

14、证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,用数学归纳法证明.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,证明 当n1时，a11，结论成立.,那么nk1时， ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak 2akak1， 2ak12ak.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,这表明nk1时，结论成立.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,归纳猜想证明问题的一般步骤： 第一步

15、：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的 通项或一般结论. 第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N*)成立. 第三步：假设nk(kn0)时结论成立，证明当nk1时结论 也成立. 第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难. (2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法. (3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析

16、法、综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.,规 范 解 答,思 维 点 拨,答 题 模 板,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.,2.归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.,方 法 与 技 巧,3.利用归纳假设的技巧 在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的

17、关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.,失 误 与 防 范,1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；,2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.,1.用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是_.,解析 n1时，212,2113,2n2n1不成立；,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,n2时，224,2215,2n2n1不成立；,3,n3时，238,2317,2n2n1成立.,n的第一个取值应是3.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2.如果命题p(n)对nk(kN*)成立，则它对nk2也成立.若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是_

18、. p(n)对所有正整数n都成立； p(n)对所有正偶数n都成立； p(n)对所有正奇数n都成立； p(n)对所有自然数n都成立.,解析 n2时，nk，nk2成立， n为2,4,6，所有正偶数.,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,解析 在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.,当nk1时，不等式成立，则上述证法_. 过程全部正确； n1验得不正确； 归纳假设不正确； 从nk到nk1的推理不正确.,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,1aa2,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,解析 从n到n2共有n2n1个数，,所以f(n

19、)中共有n2n1项.,n2n1,6.设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn 1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,8.设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数， 则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示).,解析 f(3)2，f(4)f(3)3235，,f(n)f(3)34(n1) 234(n1) (n1)(n2).,5,2,3,4,5,6,7,8,10

20、,1,9,证明 (1)当n1时，左边121，,右边(1)0 1，原等式成立.,(2)假设nk时，等式成立，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,那么，当nk1时，则有,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,nk1时，等式也成立，,10.已知数列an，an0，a10，a an11a . 求证：当nN*时，anan1.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,证明 (1)当n1时，因为a2是方程a a210的正根，所以a1a2.,(2)假设当nk时，0akak1，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,即当nk1时，anan1也成立，,根据(1)和(2)，可知anan1对任何nN*

21、都成立.,2,3,4,5,1,1.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是_. 若f(1)1成立，则f(10)100成立； 若f(2)4成立，则f(1)1成立； 若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立； 若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立.,答案 ,解析 f(k)k2成立时，f(k1)(k1)2成立，,f(4)16时，有f(5)52，f(6)62，f(k)k2成立.,2,3,4,5,1,3,4,5,1,2,8,2,4,5,1,3,解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和

22、，直到n2.,故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.,(k21)(k22)(k23),(k1)2,2,3,5,1,4,解 当n1时，f(1)1，g(1)1， 所以f(1)g(1)；,(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.,解 由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明.,当n1,2,3时，不等式显然成立，,假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即,2,3,5,1,4,由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立.,2,3,5,1,4,2,3,4,1,5,而a是正整数，所以取a25，下面用数学归纳法证明,(1)当n1时，已证得不等式成立.,(2)假设当nk时，不等式成立，,则当nk1时，,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,所以当nk1时不等式也成立.,所以a的最大值等于25.,2,3,4,1,5,