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1、1.4 生活中的优化问题举例,1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决某些实际问题的方法,能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 2.利用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值. 3.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用可导函数求最值的方法求最值.,其方法如下: (1)审题:阅读并理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建
2、立相应的数学模型;,(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)对结果进行验证评估,定性定量分析,做出正确的判断,确定其答案.,2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:,名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系中自
3、变量的定义区间.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,在定义域(0,1.6)内,只有x=1使y=0,且x=1是函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点,也就是最大值点. 因此,当x=1时,y取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为3.2-21=1.2(m). 故高为1.2 m时,容器的容积最大,最大容积为1.8 m3.,反思解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型
4、一,题型二,题型三,题型四,所以函数在(140,+)内单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当x=140时,S取得最小值. 当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思选取合适的量为自变量,并确定其取值范围.正确列出函数关系式,然后利用导数求最值,其中正确列出函数关系式是解题的关键.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,当x(0,80)时,h(x)
5、0,h(x)是增函数, 所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25 L.,题型一,题型二,题型三,题型四,利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a(3a5)元的管理费,预计当每件产品的售价为x(9x11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出
6、L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函数关系式的导函数,再利用导数求最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系为p=24 200- x2,且生产x吨该产品的成本为(50 000+200x)元.则每月生产 吨产品才能使利润达到最大,最大利润是 元.(利润=收入-成本) 答案200 315万,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:忽略实际问题中的定义域而致错 【例4】 甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元. (1)把全程运输成本y表示为速度v的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,