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1、第15课时 等腰三角形,考点梳理,自主测试,考点一 等腰三角形 1.等腰三角形的有关概念及分类 有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形. 2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴. 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”).,考点梳理,自主测试,考点二 等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角相等,
2、且都等于60;(2)等边三角形的三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 2.等边三角形的判定 (1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形. 考点三 线段的垂直平分线 1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫做中垂线. 2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.,考点梳理,自主测试,考点四 角平分线的性质及判定 1.性质:
3、角平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合. 3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等.,考点梳理,自主测试,1.已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和8,则这个等腰三角形的周长为( ) A.11 B.14 C.19 D.14或19 答案:C 2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,A=20.线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则CBE等于( ) A.80 B.70 C.60 D.50 答案:C,考点梳理,自主测试,3.如图,
4、在ABC中,C=90,AD平分CAB,AD=5,AC=4,则点D到AB的距离是 . 答案:3,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1 等腰三角形的性质与判定 【例1】 如图,在ABC中,AB=BC,BEAC于点E,ADBC于点D,BAD=45,AD与BE交于点F,连接CF. (1)求证:BF=2AE; (2)若 ,求AD的长. (1)证明:ADBC,BAD=45, ABD=BAD=45.AD=BD. ADBC,BEAC, CAD+ACD=90,CBE+ACD=90. CAD=CBE. 又CDA=BDF=90,ADCBDF, AC=BF.AB=BC,BEAC, AE=EC,即AC=2A
5、E,BF=2AE.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点2 等边三角形的性质与判定 【例2】 已知ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F. (1)求证:ABECAD; (2)求BFD的度数. 分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60的性质.全等是解决这类问题最常见的方法. (1)证明:ABC为等边三角形, BAC=C=60,AB=CA. 在ABE和CAD中,AB=CA,BAE=C,AE=CD,ABECAD. (2)解:ABEC
6、AD,ABE=CAD. BFD=ABE+BAD, BFD=CAD+BAD=BAC=60.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,变式训练 如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE. 证明:ABC是等边三角形, ABC=ACB=60. 点D是AC边上的中点, ABD=CBD=30. CE=CD,CDE=CED. 又ACB=CDE+CED=60,CED=30. CBD=CED=30.BD=DE.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点3 线段的垂直平分线 【例3】 一张矩形纸片OABC
7、平放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)如图,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐标; (2)若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处(如图),l与BF的交点为Q,若点Q的坐标是(3,2),求l的解析式.若点Q的坐标是(4,2),你能确定l的解析式吗?若能,求出其解析式;若不能,请说明理由.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,分析:(1)由对称性知道,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求得点D的坐标;(2)由垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由中位线知识和点Q的坐标,可确定l上的另一点A.,命题
8、点1,命题点2,命题点3,命题点4,解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5. COD=90,点D的坐标为(3,0). (2)过点Q作QMx轴于点M. 当点Q的坐标为(3,2)时, 如题图,OM=3,MA=2,QM为FAB的中位线,FM=2,即FA=4. 而AB=4,FA=AB,而l为BF的中垂线, 点A在l上.l的解析式为y=-x+5. 当Q点坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5, 而CB=5,CF=CB. l为BF的中垂线,点C在l上. l的解析式为y=- x+4.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点4 角平分线的性质和判定 【例4】 如图,BEAC于点E,CFAB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD, 求证:(1)DF=DE; (2)AD平分BAC. 分析:由BEAC于点E,CFAB于点F,易得BFD=CED,先证BDF与CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定条件“HL”,证明RtADF与RtADE全等,便可得证AD平分BAC.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,证明:(1)CFAB于点F,BEAC于点E, BFD=CED=90. 又BDF=CDE,BD=CD, BDFCDE(AAS),DF=DE.,RtADFRtADE(HL), FAD=EAD,即AD平分BAC.,