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1、南京邮电大学硕士研究生学位论文摘要 I 摘要摘要 空间谱估计算法是用来估计空间信号到达接收阵列来波方向(DOA)的方法，波达方向估 计也是阵列信号处理领域的一个极其重要的应用。在雷达、声纳、无线通信等信号处理的过 程中都需要对信号的波达方向进行估计。 文章在均匀圆阵（UCA)的信号接收模型的基础上，结合均匀圆阵旋转不变子空间 （UCA-ESPRIT)算法和均匀圆阵求根多重信号分类(UCA-ROOT-MUSIC)算法，就均匀圆阵使 用单次快拍实现对相干信源波达方向估计的算法进行了探索性的研究。 首先，运用相位模式激励法把阵元空间中的均匀圆阵（UCA）转换为模式空间中的均匀 直线阵，即虚拟均匀线性
2、阵（VULA)。 其次，对虚拟线性阵（VULA）得到的数据矢量进行 Hermitian Toeplitz 矩阵的重构，重 构后的矩阵用以恢复信号空间和噪声空间的维度，去除了信源的相关性。 最后， 再运用TLS-ESPRIT算法或者ROOT-MUSIC算法对信号空间和噪声空间进行分离， 进而正确估计出信号的波达方向。 文章提出的算法不需要对阵元进行子阵划分，也不需要对子阵的协方差矩阵进行前/后向 的空间平滑，因此减少了计算的复杂程度。仿真的结果证明文章所提的算法和使用 100 次快 拍的传统空间平滑类算法有相近的性能，但是文章所提算法仅使用一次快拍且算法计算量非 常小。 关键词：均匀圆阵，均匀圆
3、阵旋转不变子空间算法，均匀圆阵求根多重信号分类算法，相干 信源，单次快拍 南京邮电大学硕士研究生学位论文 Abstract II Abstract Direction of arrival (DOA) estimation algorithms is the method used to estimate the direction of arrival angle of several signals impinging on a sensor array, which plays an important role in array signal processing. The requi
4、rement for DOA estimation arises in different areas of signal processing applications including radar, sonar, and wireless communications. The uniform circular array estimation of signal parameters via rotational invariance techniques (UCA-ESPRIT) and the root multiple signal classification for unif
5、orm circular array (UCA-ROOT-MUSIC)algorithms were proposed to estimate the DOA of coherent signals using one single snapshot. First, the mode excitation method was used to transform the uniform circular array (UCA)in element space into a virtual uniform linear array (VULA) in mode space as explaine
6、d in many papers. Then, the Hermitian Toeplitz matrix was reconstructed from the observed data vector as a decorrelated algorithm in order to rearrange the data and to extend the dimensionality of the noise space. Consequently, signal and noise spaces could be estimated more accurately. The proposed
7、 method did not need forward/backward spatial smoothing of the covariance matrix, resulting in reduced computational complexity. Simulation results verify that the proposed algorithm with one snapshot has a close performance to the conventional mode of spatial smoothing with 100 snapshots. Keyword:
8、UCA, UCA-ESPRIT, UCA-ROOT-MUSIC, coherent signals, one snapshot 南京邮电大学硕士研究生学位论文目录 III 目目 录录 摘要.I Abstract.II 第一章 绪论1 1.1 空间谱估计的研究历史与现状.1 1.2 UCA测向算法研究历史与现状.2 1.3 论文的主要工作.4 第二章 空间谱估计基础及DOA估计方法.6 2.1 空间谱估计基础.6 2.1.1 窄带信号6 2.1.2 噪声模型6 2.1.3 估计精度7 2.1.4 空间谱估计的基本原理7 2.2 均匀线阵的信号模型.8 2.3 空间谱估计经典算法.9 2.3.1
9、MUSIC算法9 2.3.2 求根MUSIC算法.10 2.3.3 ESPRIT算法.11 2.4 均匀线阵对窄带信号的DOA仿真和结果分析14 2.5 本章小结.23 第三章 空间平滑算法的研究24 3.1 均匀圆阵的信号模型.24 3.2 相干信源.26 3.2.1 相干信源产生的原因27 3.2.2 相干信源的数学模型27 3.3 均匀线阵的空间平滑算法.28 3.3.1 前向空间平滑算法30 3.3.2 后向空间平滑算法31 3.3.3 前后向空间平滑算法32 3.3.4 仿真32 南京邮电大学硕士研究生学位论文 目录 IV 3.4 均匀圆阵的空间平滑算法.35 3.4.1 UCA-E
10、SPRIT空间平滑算法 .36 3.4.2 实验仿真38 3.5 本章小结.40 第四章 基于UCA单次快拍数据实现相干信源DOA估计.41 4.1 引言.41 4.2 单次快拍的UCA-ESPRIT算法 .41 4.3 单次快拍的UCA-ROOT-MUSIC算法 44 4.4 仿真.46 4.5 本章小结.50 第五章 工作总结与展望51 5.1 全文总结.51 5.2 工作展望.51 致谢52 参考文献53 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章 绪论 1 第一章第一章 绪论绪论 1.1 空间谱估计的研究历史与现状空间谱估计的研究历史与现状 阵列信号处理是信号处理领域的一个重要的分支，在通信
11、、雷达、射电天文以及地震勘 测等领域具有广泛的应用并在这些领域获得飞速发展。阵列信号处理是用一组传感器按照一 定的方式布置在空间不同的位置形成传感器接收阵列，通过传感器接收空间信号，这相当于 对空间中的信号进行的采样，进而得到空间中信号的离散数据进行观测。阵列信号处理的目 的是为了对空间采样信号中的有用信号进行加强或者恢复，对空间采样中的无用信号进行抑 制、屏蔽，进而获得有用信号的特征或者提取出有用信号信息。和传统单个传感器相比，传 感器阵列具有很强的抗干扰能力，灵活的波束形成，高的方向性增益以及对信号较高的分辨 力1-5。由于阵列信号实际应用中有以上的优点，所以阵列信号处理技术在近几十年得到
12、了飞 速的发展。 阵列信号处理最主要的一个研究方向是空间谱估计，空间谱估计是利用接收阵列对空间 信号的波达方向进行超分辨率的估计。利用阵列天线对信源进行DOA估计的方法包括ARMA 谱分析、熵谱分析、最大似然法和特征分解子空间算法等多种。 1979年，Schmidt R O等人提出了多重分类信号（MUSIC）算法6，开创了空间谱估计特 征结构类算法的新时代。MUSIC算法的核心原理是：对阵列输出数据协方差矩阵进行特征分 解，得到与信号分量对应的信号子空间，以及与噪声分量对应的噪声子空间，利用信号子空 间 与 噪 声 子 空 间 的 正 交 性 ， 对 信 号 参 数 进 行 估 计 。 其 后
13、 ， Barabella 提 出 了 求 根 MUSIC(ROOT-MUSIC)算法7，通过构造多项式求根的方法代替MUSIC算法中的谱峰搜索， 从而减小了MUSIC算法的计算量。针对MUSIC算法的不足，在存在相干信源的条件下提出了 一些去相关的空间平滑技术MUSIC算法等。 1986年，Roy等人提出了旋转不变子空间(ESPRIT)算法8，其核心原理是：要求阵列结构 存在不变性，通过阵列本身或者某些变换获得两个或者两个以上的子阵，再利用子空间旋转 不变来估计信号参数。ESPRIT算法不需要进行谱峰搜索，减小了计算量。为了实现对二维波 达方向的估计，Mathews C P等人又提出了二维ES
14、PRIT算法，把一维空间波达方向估计拓展 到了二维空间。 80年代后期开始，Viberg和Ottersten提出了加权子空间拟合（WSF）算法9，将各种不同 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章 绪论 的方位估计方法用统一的算法结构联系起来，使其协方差矩阵的估计误差达到最小。这种算 法能去除信源相干性，估计精度高，分辨力信号能力强，因此引起了人们的普遍关注。但是 WSF算法需要进行空间多维搜索运算量很大，尤其是WSF算法对所设参数的要求较高，即便 少量误差也可能导致算法的失效。 自上世纪90年代以来，空间谱估计的研究朝着探索更加稳健的算法和低误差估计的方向 在发展。而利用接收信号的时域信息来提
15、高阵列的处理性能成为空间谱估计研究的热点。其 主要包括以下的几个方面：利用高阶统计量进行空间谱估计，在阵列信号处理领域中主要是 利用四阶累积量进行估计计算的10,11；利用循环平稳统计特性进行空间谱估计；利用多普勒 信息来提高阵列处理算法的稳健性等。 大量学者经过几十年的研究，空间谱估计算法的理论已经比较成熟，现在的研究工作重 心主要在算法的实际应用以及解决特殊问题方面。比如对信号处理的实时性，算法在实际环 境中的稳健性，特殊条件下对信号波达方向估计的准确性等。 1.2 UCA测向算法研究历史与现状测向算法研究历史与现状 随着通信技术的飞速发展，阵列信号处理伴随智能天线组合技术在通信系统中得到
16、广泛 应用， 通信系统对于信号处理的能力大大加强。 均匀圆阵 （UCA)是一种特殊的平面阵列模型， 因此它比均匀直线阵有着更加良好的性能和更广泛的应用。在移动通信的基站天线中，均匀 圆阵模式的天线阵列被广泛的应用。均匀圆阵可以全方位，无模糊，高分辨的对信号波 达方向进行估计。均匀圆阵阵列模型的特殊性及其在实践生活中的广泛应用，引起大量科研 人员的兴趣并对它进行深入的研究。 360 均匀直线阵（ULA）的阵列模型具备范德蒙德（Vandermonde）矩阵的结构，MUSIC和 ESPRIT等空间谱估计的经典算法可以直接运用到ULA进行空间信号的波达方向估计。 而均匀 圆阵的阵列流型比较复杂， 且不
17、具备Vandermonde结构。 为了使基于ULA的成熟算法可以直接 运用于UCA，研究人员在UCA阵列的变换简化方面做了大量研究，提出了很多基于UCA的经 典算法。UCA测向技术大致经历了以下几个阶段的发展： 1.上世纪60年代初，研究人员提出了模式激励技术12,13。Davies把模式激励技术应用到 UCA，提出了利用相位模式激励法合成UCA的方向图。并在此基础上形成了基于均匀圆阵的 模式空间变化法，这是专门针对均匀圆阵进行变换的有效方法14,15。 2上世纪90年代初，Friedlander在研究空间平滑问题时，提出了利用插值矩阵将非均匀 线阵变换为虚拟线阵。此后他对UCA进行研究，针对
18、UCA提出了三种虚拟变换方法：圆阵变 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章 绪论 3 换为虚拟圆阵，圆阵变换为多个虚拟线阵和圆阵变换为单个虚拟线阵。并证明了把圆阵变换 为单个虚拟线阵时所得到的波达方向估计精度最高，性能最好16。 3.1994年，Mathew等人把相位模式激励法和空间谱估计的高分辨算法相结合，提出了基 于均匀圆阵的高分辨率算法UCA-RB-MUSIC和UCA-ESPRIT算法17。这两种算法的基本原理 是：利用相位模式激励法对UCA进行变换，把阵元空间的UCA换成模式空间中的虚拟线性阵 （VULA） 。通过对变换形成的虚拟线性阵采样数据的相关矩阵进行实值特征分解来进行信号
19、空间和噪声空间的估计，此方法代替了对阵元域相关矩阵的复特征值分解。 4.在相位模式激励法的基础上，黄浩学等18,19人提出了利用波达方向矩阵法来实现对信 源的方位角，俯仰角以及多谱勒频率同时估计的算法。此算法避免了波达方向估计中分维处 理的配对问题，且不需要对谱峰进行搜索，因此运算量小，有着较高的分辨率。 在信号实际传输过程中，由于多径传播以及信源之间同频干扰等因素的存在，会产生大 量的相干信源。此外对信号序列采样的长度有限以及快拍次数有限时，信号和噪声没有足够 的时间解相关，也会造成信源相关性增强。因此对相干信源的波达方向估计也是UCA测向要 解决的一个重要问题，现有的去相关算法主要有以下几
20、类： 1.空间平滑类算法20。将UCA进行模式空间变化，把阵元空间的UCA变换成模式空间中 的VULA，变换后的模式空间VULA具有Vandermonde结构，从而可以把ULA的空间平滑算法 应用到UCA。空间平滑类算法会导致阵列有效孔径变小，此外子空间平滑过程需要大量的快 拍次数。 2.加权子空间拟合类算法。加权子空间拟合是对接收信号的子空间进行拟合，即接收信 号的子空间和实际信号导向矢量组成的子空间进行拟合。对信号在波束域内进行加权子空间 拟合能够有效的对相干信源进行DOA。子空间拟合类算法有着优良的性能，但拟合过程需要 多维非线性搜索，计算量很大。 3.约束MUSIC类算法21。约束MU
21、SIC算法本身可以克服信源的相关性，且不依赖于阵列 模型结构， 这是约束MUSIC算法和其他高分辨算法相比特有的性质。 所以， 可以将约束MUSIC 算法用于UCA中对相干信源进行二维DOA估计，能够有效的分辨出相干信源。 4.基于高阶统计量的空间算法。UCA在进行模式变换时，空间白噪声可能会发生改变。 基于四阶累积量的算法可以抑制高斯色噪声以及加性高斯白噪声，提高对相干信号的分辨精 度22,23。 由于UCA阵列模型具着良好的特性以及广泛的应用性，大量学者对UCA进行深入研究。 在形成基础理论的基础上，我们应朝着在实践环境和特殊条件下的UCA算法进行设计和优化 南京邮电大学硕士研究生学位论文
22、第一章 绪论 4 的方向研究。 1.3 论文的主要工作论文的主要工作 文章从空间谱估计的一般数学模型出发，详细介绍了空间谱估计基本原理等理论，并在 此基础上介绍了MUSIC算法，ROOT-MUSIC，TLS-ESPRIT算法等，重点研究了基于均匀直 线阵进行解相干的空间平滑算法，然后通过均匀圆阵的模式激励算法把均匀圆阵变换成虚拟 线性阵，利用空间平滑UCA-ESPRIT算法对均匀圆阵阵列模型的相干信源进行估计。最后提 出了一种单次快拍下基于圆阵变换数据矢量的Hermitian Toeplitz重构，再结合ESPRIT算法和 ROOT-MUSIC算法提出了单次快拍的UCA-ESPRIT和单次快拍
23、的UCA-ROOT-MUSIC算法。 分 别分析了两种算法的计算过程和性能，并对算法性能进行了仿真和对比。 文章总共分为五章，各章的主要内容如下： 第一章为绪论部分，主要介绍了空间谱估计的研究历史和现状，重点介绍了均匀圆阵的 研究情况，并就文章的研究背景和内容做了简要阐述。 第二章介绍了首先介绍了空间谱测向的基础，包括空间谱估计的一般信号模型以及空间 谱估计的基本原理等，然后对线性阵列的三种经典算法MUSIC算法，ROOT-MUSIC算法和 TLS-ESPRIT算法分别做了仿真实验，经过仿真对比我们看到三种算法中MUSIC算法性能最 好，但是MUSIC算法需要谱峰搜索，耗时比较长。 第三章介绍
24、了均匀线阵阵列模型对相干信源进行估计时常用的空间平滑算法，并对几种 空间平滑算法做了仿真对比，空间平滑类算法可以比较准确的估计出相干信源。随后把空间 平滑类算法从均匀线阵通过模式激励法应用到了均匀圆阵，并对空间平滑UCA-ESPRIT算法 做了仿真，可以看出空间平滑UCA-ESPRT算法可以估计出均匀圆阵阵列流型下的相干信源。 第四章是文章的重点，在通信系统中许多信号转瞬即逝，不可能对接收信号进行大次数 快拍获得大量数据对信号波达方向进行估计。基于均匀圆阵利用一次快拍的数据对相干信源 进行估计，我们提出了单次快拍下的UCA-ESPRIT算法和单次快拍下的UCA-ROOT-MUSIC算 法，通过
25、对圆阵进行模式变换，虚拟线阵的数据矢量进行Hermitian Toeplitz矩阵重构，结合 TLS-ESPRIT算法和ROOT-MUSIC算法得到得新算法可以很好的估计出圆阵接收模型下的相 干信号的波达方向。对算法进行了仿真和对比，可以看出我们提出的单次快拍算法对相干信 源的估计性能接近100次快拍的空间平滑UCA-ESPRIT算法的性能。 第五章是对文章研究工作的总结以及对工作中存在不足的思考，并提出了本课题下一步 有待解决的问题。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 5 1.4 本章小结本章小结 本章首先介绍了阵列信号处理的研究背景和应用范围，并介绍了阵列信号处理的国内外 发展
26、历史和研究现状，重点对均匀圆阵的研究情况作了介绍。并对文章的内容和研究工作进 行简单阐述，通过本章内容的阅读可以对文章研究背景和研究内容有初步的了解。 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA 第二章第二章 空间谱估计基础及空间谱估计基础及DOA估计方法估计方法 空间谱估计技术在许多传感阵列领域有着重要的应用，例如在声纳、雷达、智能天线等 信号接收处理的过程中。因为空间谱估计技术应用广泛，所以吸引着大量的学者对此进行研 究。空间谱估计技术已经经历了几十年的发展，研究人员提出了许多不同的有效的谱估计算 法。大多数的空间谱估计算法都是基于交错谱矩阵的特征值分解（EVD
27、）或者接收信号矩阵 的奇异值分解 （SVD)， 从而对空间信号进行精确估计的。 这些算法都是先对信源进行一维 （1-D) 的谱估计，随后进行扩展对信号进行二维（2-D）DOA 估计，即对信源的方位角和俯仰角同 时进行估计。 2.1 空间谱估计基础空间谱估计基础 2.1.1 窄带信号 如果信号的带宽远小于其中心频率，则称这样的信号为窄带信号，即 0 110 B Wf (2-1) 式中：为信号带宽； B W 0 f为中心频率。通常将正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，正弦信 号是典型的窄带信号。 0 ( ) ( )( ) jtt s ta t e (2-2) 式中：为慢变幅度调制函数（或称实包络）
28、； ( )a t( ) t 为慢变相位调制函数； 00 2f 为载 频。一般情况下，和 ( )a t( ) t 包含了全部的有用信息。 2.1.2 噪声模型噪声模型 假设阵元接收的噪声为平稳高斯白噪声，则噪声均值为，方差为0 2 。各阵元接收信号 的噪声相互独立，且噪声与信源之间也相互独立。噪声向量的二阶矩为 12 2 12 ( )( ) H t t E n t ntI , (2-3) 12 ( )( )0 T E n t nt (2-4) 6 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA 2.1.3 估计精度 估计精度通常是用估计的标准差来衡量的，假设蒙特卡洛(Mo
29、nte-Carlo)实验次数为， 信源个数为，第次实验中第个信号源估计结果为 N pnp p ，其真实值为 p ，那么第个信号 源方位估计标准定义为 p 2 1 1 ()() N pp n RMSE N p (2-5) p个信号源估计的标准差定义为其算数平均值： 1 1 ( )() p p p RMSERMSE p (2-6) 2.1.4 空间谱估计的基本原理 DOA 估计的基本原理就是：对于一个远场信号，信号到达不同阵元会有一个波程差，这 个波程差会使得各接收阵元的接收信号之间存在一个相位差，而利用这个相位差就可以求出 信号的方位。如图 2-1 所示， d 入射信号 图 2-1 DOA 估计
30、原理图 考虑两个阵元，为阵元间的间距，c为光速，为远场信号的入射角度，d为阵元间的相位 延迟。则天线所接收信号由于波程差： sind c (2-7) 从而可得到两阵元间的相位差为： 0 sin sin 2 d d jf j fj c eee (2-8) 7 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA 其中， 0 f指中心频率。对于窄带信号，相位差 sin 2 d j e (2-9) 其中，为信号波长。因此，只要知道信号的相位延迟，就可根据式(2-7)求出信号的来向， 这就是空间谱估计技术的基本原理。 更一般的情况下，对于空间任意两个阵元而言，两阵元接收的波程差应为下
31、式，即 1 coscossincossinxyz c (2-10) 从上式可以看出，只要知道空间阵元间的相位差，就可以估计入射信号的方位角、俯仰角等 信号参数。 2.2 均匀线阵的信号模型均匀线阵的信号模型 空间谱估计是阵列信号的一个主要研究方向，而分辨出信号的波达方向则是空间谱估计 的最主要任务。首先我们要了解信号接收的最基础阵列模型，其次我们还要熟悉空间谱估计 常用的 MUSIC 算法和 ESPRIT 算法。 一个均匀直线阵由M个阵元组成， 假设个远场窄带信号从不同的方位角 p 1p ， 射向接 收阵列，如图 2-1。假设阵列快拍次数为q次，阵元空间在次快拍下得到的信号定义为 q 1 (
32、), ( ) q x tx t 。则1M维信号信号矢量为 1 1 ( )()( )( ), p kkq k x tas tn ttt t （2-11) 1( ) X t 2( ) Xt( ) M Xt 图 2-2 均匀线阵阵列模型 等式（2-7）写成矩阵表达式为 XA SN (2-12) 8 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA 式中阵元快拍接收信号矩阵X的维度为M q ， 1 ( ),() p Aaa 是均匀线阵的MP 维导向矢量 (2) cos(2) (1)cos ( )1, T jdjd M aee （2-13） S为空间信号的维矢量，N为阵列的 pq
33、Mq 维噪声矢量，是信号的波长，d为阵元之间 的距离。 阵列的协方差矩阵R被表示为 HH Sn RE X XAR AW （2-14） 式中 H S RE S S 是信号空间的协方差矩阵，信号协方差矩阵的维度为 。是噪声空 间的协方差矩阵，噪声协方差矩阵维度为 pp n W MM。 快拍数据矢量的协方差矩阵通常用算术平均表示为 1 1 ( )( ) q H i i i Rx t xt q （2-15） 式中为阵列的快拍次数。 q 2.3 空间谱估计经典算法空间谱估计经典算法 2.3.1 MUSIC算法 多重信号分类（MUSIC）算法在特定条件下具有很高的分辨力，估计精度高以及计算复 杂度较低。因
34、此，本算法是子空间类算法的最重要算法且吸引着大量学者对此算法进行研究。 信号模型的矩阵表达形式如式（2-7） ，假设噪声空间的协方差矩阵为平均噪声功率的对 角阵 2 n WI，式中I为单位矩阵，则等式（2-10）可写为 2HH S RE X XAR AI （2-16） 假设信源数目已知为M个并且信源之间相互独立， 矩阵 S R为非奇异矩阵， 则 H S AR A矩阵 的秩为M。这意味着估计信源的协方差矩阵R的秩也为M。 使用特征值分解计算矩阵R的特征值和特征向量，则R的特征值表示为 12 , M （2-17） 9 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA 10 R
35、的特征向量表示为 12 , M v vv （2-18） R的M p 个等于 2 的小特征值表示为 2 12ppM （2-19） 小特征值对应的特征向量垂直于信源的导向矢量矩阵A的列向量 11 ,( ), () pMp vvaa （2-20） 小特征值对应的特征向量张成的相应空间为噪声空间子空间，接收信号的特征向量张成的空 间为信号子空间，信号子空间和噪声子空间是相互正交的。p个信源张成的信号空间垂直于 噪声子空间。MUSIC 算法的 DOA 估计可以表示为 2 1 1 ( ) ( ) MUSICM H i ip P av （2-21） 如果是我们要估计的信源角度，我们得到 ( ) MUSIC
36、P将是一个大的正值。因为理想条件 下信号空间和噪声空间完全正交，。但实际条件下信号空间和噪声 空间不完全正交， ( )0, H i avM1,ip ( ) H i av为不等于零的极小值。 2.3.2 求根MUSIC算法 求根 MUSIC 算法是 MUSIC 算法的一种多项式求根形式，它是由 Barabell 提出的，其基 本思想是基于 Pisarenko 分解,利用求多项式根的方法来代替 MUSIC 算法中的谱峰搜索。 定义求根 MUSIC 算法的多项式为 ( )( ) H i f ze p z 1,ipM （2-22） 式中是矩阵 i e R的第i个特征矢量，并且 1 ( )1, T M
37、p zzz （2-23） 当时，求根MUSIC算法多项式的根正好位于单位圆上，而则是一个空 间频率为的导向矢量。由特征结构类算法可知， exp()zj w w m (exp()pjw (exp() n pjwp 就是信号的导向矢量，因 此它与噪声子空间是正交的。由上多项式可修改成如下形式： 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA ( )( )( ) HH NN f zpz U Up z （2-24） 为了从所有噪声特征矢量中提取信息，则要求上式的根。然而，上式中存在的幂次项，使 得求零点过程变得复杂。因为我们只对单位圆上的值感兴趣，所以可以用 * z z 1 (
38、) T pz代替 ( ) H pz ，这就给出了求根 MUSIC 多项式，即 11 ( )()( ) MTH NN f zzpzU Up z （2-25） 注意， ( )f z是 次多项式，它的根相对于单位圆为镜像对。 2(1)M 其中，具有最大幅值的个根的相位给出波达方向估计，即 p 12 , p z zz arcsin(arg)1, 2 ii zi d p w （2-26） 求根 MUSIC 算法只是 MUSIC 算法的另一种表达方式，即用式 1 ( )1, T M p zzz 代替导向矢量，其中 exp()zj 。因此与 MUSIC 算法相比，求根 方式只是同一形式的另一种表达方式。 2
39、.3.3 ESPRIT算法 旋转不变子空间（ESPRIT）算法基于信号子空间旋转不变性将阵元空间划分成两个包含 相同天线阵元数目的子阵，由于阵元结构和子阵阵元数目都相同，所以子阵之间只差一个相 位。ESPRIT 算法是子空间类算法，利用的是信号空间子阵旋转的不变性进行计算。 假设有M个接收天线阵元，则子阵的划分可分为两种。 第一种为不重叠子阵，子阵包含的阵元数为2M个，划分方式如图。 11 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA 123456 1子阵 2子阵 图 2-3 M=6，两个不重叠子阵阵元数（M/2=3） 第二种为重叠子阵，子阵包含的阵元数为1M 个，划
40、分方式如图。 123456 1子阵 2子阵 图 2-4 M=6，两个重叠子阵的阵元数（M-1=5) 假设有M个天线阵元划分为两个子阵，每个子阵包含1M 个阵元数目。每个子阵阵元 之间的的差别是一个相位，远场空间的 p个独立窄带信源，入射到M 个天线阵元上，信号 的噪声为零均值的高斯白噪声 2 ，接收信号的快拍数为q，则信号的快拍数据矩阵可以表示 为 111 ( )( )( )X tAS tW t （2-27） 222 ( )( )( )XtAS tW t （2-28） 表达式 1( ) X t和 2( ) X t是从子阵得到的(1)Mq 维快拍信号矩阵，和是空间阵列的 1 A 2 A (1)M
41、p 维阵列流型矩阵，是 ( )S t pq 维空间信号矩阵，和是( 1 1( ) W t 2( ) W t)Mq 维噪声 12 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA 矩阵，为包含信号谱估计信息的 pp 维的对角阵，表示为 1 (2)cos (2)cos , p jd jd diag ee （2-29） X 13 子阵 1( ) t 和 2( ) X t组成一个(2Mq2) 维矩阵X为 1 2 ( ) ( ) X t GSW Xt （2-30） X 式中 A G A （2-31） 且 1 2 ( ) ( ) W t W W t （2-32） 接收信号数据的协方差
42、矩阵为 2HH xxS RE XXGR GI （2-33） 式中 ( ) ( )H S RE S t S t 表示信号的协方差矩阵。接收信号的协方差矩阵R有个信号空间的 特征值为 p 1, , p ，有(2 2)Mp 个噪声空间特征值 122 , pMp 。 假设 1, , Sp Ev v 是 p个大特征值对应的特征向量， 张成的空间为信号子空间。 而是 S E 122 , M v np Ev (2M2)p 小特征值对相应向量组成的矩阵，张成的空间为 噪声子空间。 n E 是 S E(22)Mp 维矩阵，可以划分为两个矩阵和为 1S E 2S E 1 2 S S S E E E （2-34)
43、式中矩阵和矩阵有相同的维度 1S E 2S E(1)Mp 。 可以构造一个新矩阵为 Q 1 12 2 H S SS H S E QE E E （2-35） 矩阵进行特征值分解 Q 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA 1112 2122 HH HSSSS HH SSSS E EE E Q E EE E V V p （2-36） 矩阵中每个小矩阵为维矩阵，因此矩阵Q的维度为 Q pp 22p 。矩阵的特征向量组成的 维矩阵V表示为 Q 2p2p 1112 2122 vv V vv （2-37） 根据总体最小二乘法（TLS)得 1 1222 H PvvVV （2-
44、38） 最后，通过计算特征值，信号的波达方向 1p ， 能够被计算出来。 2.4 均匀线阵对窄带信号的均匀线阵对窄带信号的DOA仿真和结果分析仿真和结果分析 实验一：假设3个相互独立的窄带远场信号，信号方向分别为30，15和20。均匀线 阵阵元个数，阵元间距 8M 2d，信噪比0SNRdB。则图2-5至图2-8为不同快拍次数， MUSIC算法的DOA估计谱。 -100-80-60-40-20020406080100 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 入 入 入 /degree 空空空/dB MUSIC算 算 DOA估 估 (快 快 快 100) Music Spectrum
45、图2-5 MUSIC算法的估计谱(快拍数100) 14 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA -100-80-60-40-20020406080100 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 入 入 入 /degree 空空空/dB MUSIC算 算 DOA估 估 (快 快 快 200) Music Spectrum 图2-6 MUSIC算法的估计谱(快拍数200) -100-80-60-40-20020406080100 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 入 入 入 /degree 空空空/dB MUSIC算 算 DOA估 估 （ 快 快 快 500) Music Spectrum 图2-7 MUSIC算法的估计谱(快拍数500) 15 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章 空间谱估计基础及估计方法 DOA -100-80-60-40-20020406080100 -30 -20 -10 0