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1、第12课时 二次函数,考点梳理,自主测试,考点一 二次函数的概念 一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.任意一个二次函数都可化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的形式,因此y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数的一般形式. 注意:1.二次项系数a0;2.ax2+bx+c必须是整式;3.一次项系数可以为零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零;4.自变量x的取值范围是全体实数.,考点二 二次函数的图象及性质,考点梳理,自主测试,考点梳理,自主测试,考点三 二次函数图象的特征与a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系,考点梳
2、理,自主测试,考点四 二次函数图象的平移 抛物线y=ax2与y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,则图象的形状和大小都相同,只是位置的不同.它们之间的平移关系如下:,考点梳理,自主测试,考点五 二次函数关系式的确定 1.设一般式:y=ax2+bx+c(a0) 若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax2+bx+c(a0),将已知条件代入,求出a,b,c的值. 2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最
3、后将关系式化为一般式. 3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.,考点梳理,自主测试,考点梳理,自主测试,考点七 二次函数的应用 1.二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题. 2.建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键.,考点梳
4、理,自主测试,1.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 答案:A 2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是( ) A.x1 C.x-1 答案:A 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论正确的是( ) A.a0 B.c0 答案:D,考点梳理,自主测试,4.把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为( ) A.y=-(x-1)2-3 B.y=-(x+1)2-3 C.y=-(x-1)2+3 D.y=-(x+1)2
5、+3 答案:D 5.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图,则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2= . 答案:-1,考点梳理,自主测试,6.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x= ;当1-1时,y随x的增大而增大. 当1-1,y随x的增大而增大. 答案:-1 增大,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点1 二次函数的图象及性质 【例1】 (1)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是( ) A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4) (2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的
6、对称轴为直线x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1_y2.(填“”“”或“=”) 解析:(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.,所以二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(-1,8).故选A.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,(2)点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断y1,y2的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,再用二次函数的增减性即可. 设抛物线经过点(0,y3),因为抛物线对称轴为直线x=1, 所以点(0,y3)与点(2,y2)关于直线
7、x=1对称. 则y3=y2. 又a0,所以当xy3.故y1y2. 答案:(1)A (2),命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点2 利用二次函数图象判断a,b,c的符号 【例2】 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论: 4a+b=0;9a+c3b;8a+7b+2c0; 当x-1时,y的值随x值的增大而增大. 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析:因为对称轴为直线x=2,所以- =2,所以
8、4a+b=0,所以正确; 因为当x=-3时,9a-3b+c0,c0,又因为4a+b=0, 所以8a+7b+2c=-2b+7b+2c=5b+2c0,所以正确; 因为当x2时,y的值随x值的增大而减小,所以错误. 所以正确的有2个.故选B. 答案:B,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,变式训练已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,有下列结论: b2-4ac0;abc0; 8a+c0;9a+3b+c0,故正确;与y轴交于负半轴,则c0,对称轴x=- =1,b=-2a0,故正确;当x
9、=-2时,y0,此时y=4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c0,故正确;x=1是抛物线的对称轴,由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间,则当x=3时,y0,即y=9a+3b+c0,正确,即正确结论有4个. 答案:D,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点3 二次函数图象的平移 【例3】 将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为( ) A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6 解析:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,向
10、上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的解析式为y=(x-1-3)2+2+2,即y=(x-4)2+4.故选B. 答案:B,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点4 确定二次函数的解析式 【例4】 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8). (1)求该抛物线的表达式; (2)求该抛物线的顶点坐标.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点
11、1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点5 求二次函数的最大(小)值 【例5】 已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,当-5x0时,下列说法正确的是( ) A.有最小值-5,最大值0 B.有最小值-3,最大值6 C.有最小值0,最大值6 D.有最小值2,最大值6 解析:由二次函数的图象,得当x=-5时,y=-3; 当x=-2时,y=6;当x=0时,y=2. -5x0,-3y6.故选B. 答案:B,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点6 二次函
12、数与一元二次方程的关系 【例6】 若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1x2,有下列结论:x1=2,x2=3;m- ;二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:因式分解求方程的解,右边应化为0,而现在方程右边为m,所以错误;方程可化简为x2-5x+6-m=0,则=52-4(6-m)0,可解出m - ,所以正确;二次函数可化简为y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,由根与系数的关系,x1+x2=5,x1x2=6-m,y=x2-5x+6-m+m,即
13、y=x2-5x+6,则此二次函数与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0),所以正确.故选C. 答案:C,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,命题点7 二次函数的实际应用 【例7】 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)求ABD的面积; (3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说
14、明理由.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,解:(1)因为四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,所以点C的坐标(0,3),点E的坐标为(2,3). 把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c中,所以抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+2x+3. (2)因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以抛物线的顶点坐标为(1,4). 所以在ABD中AB边上的高为4, 令y=0,得-x2+2x+3=0,解之得,x1=-1,x2=3, 所以AB=3-(-1)=4. 于是ABD的面积为 . (3)AOC绕点C逆时针旋转90,CO落在CE所在的直线上,又由(2)可知,OA=1,所以点A的对应点G的坐标为(3,2). 当x=3时,y=-32+23+3=02,所以点G不在该抛物线上.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点7,