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1、第8讲 轨迹与方程,1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程. 2.了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程.,1.(2016 年广东珠海模拟)已知 B(2,0)，C(2,0)，A 为动点，,ABC 的周长为 10，则动点 A 满足的方程为(,),解析：|AB|AC|BC|10，B(2,0)，C(2，0)， |AB|AC|6|BC|.,点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆(除去与 B，C 共线,二顶点)，且 2a6，c2.,故选 B.,答案：B,示的曲线是(,),A,B,C,D,答案：D,D,考点 1,利用直接法求轨迹方程,例 1：如图 7-8-1，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点
2、C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程. 图 7-8-1,解：方法一(直接法)，设点 M 的坐标为(x0，y0)，则点 A 的 坐标为(2x0,0)，点 B 的坐标为(0,2y0)，,因为直线 CA 垂直于直线 CB，,化简，得x0y020. 所以点 M 的轨迹方程为 xy20.,方法二(参数法)，若 CAx 轴，则 CBy 轴，故 A 的坐标 为(2,0)，B 的坐标为(0,2)，所以 M 的坐标为(1,1). 若 CA 不垂直于 x 轴， 则设直线 CA 的方程为 y2k
3、(x2)，,两式相加，得x0y02，即x0y020(x01). 又点(1,1)在直线 x0y020 上， 所以点 M 的轨迹方程为 xy20.,M 到点 C，O 的距离相等，故点 M 在线段 OC 的垂直平分线上. 又线段 OC 的垂直平分线过 OC 中点(1,1)，斜率 k1， 即 y1(x1)，化简，得 xy20. 所以点 M 的轨迹方程为 xy20. 【规律方法】求轨迹的步骤是“建系、设点、列式、化简”， 建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题 一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点 的等量关系.,【互动探究】 1.如图7-8-2，F是抛物线C：y22p
4、x(p0)的焦点，直线l 过点 F 且与抛物线及其准线交于 A，B，C 三点，若|BC|3|BF|，,),|AB|9，则抛物线 C 的标准方程是( 图 7-8-2,A.y22x B.y24x C.y28x D.y216x,答案：C,考点 2,利用定义法求轨迹方程,例 2：(1)已知圆 C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y2 9，,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_； 若动圆M同时与圆C1及圆C2相内切，则动圆圆心M的轨迹方程为_； 若动圆M与圆C1外切及圆C2相内切，则动圆圆心M的轨迹方程为_； 若动圆M与圆C1内切及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.
5、,解析：如图 D59，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|. 因为|MA|MB|，,所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312.,图 D59,这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2.,A.,B.,C.,D.,解析：对于，如图 D60，|ME|MF|ML|LE|MF| |MN|AE|MF|AE|NF|AE|AF|2a，故点 M 恒在 以 E，F 为焦点，AB 为长轴的椭圆上，正确；,图 D60,图 D61,答案：A,考点 3,利用相关点法求轨迹方程,【规律方法】动点P
6、(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线方程得出要求的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做相关点法(也叫做转移法).,【互动探究】,答案：A,思想与方法,轨迹方程中的分类讨论,例题：(由人教版选修 1-1P35-例3改编)已知动点P(x，y)与两 个定点 M(1,0)，N(1,0)的连线的斜率之积等于常数(0).,(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；,(2)试根据的取值情况讨论轨迹 C 的形状.,解：(1)由题设知，PM，PN 的斜率存在且不为 0，,(2)讨论如下： 当0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲 线(除去顶点)； 当10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的 椭圆(除去长轴上的两个端点)； 当1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除 去点(1,0)，(1,0)； 当1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭 圆(除去短轴上的两个端点).,【互动探究】,3.设点A，B的坐标分别为(5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是1，求点M的轨迹方程.,