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1、第5讲 不等式的应用,1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.,1.如果a，bR，那么a2b2_(当且仅当ab时取,“”号).,取“”号).,2ab,以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作 H)，几何平 均数(记作 G)，算术平均数(记作 A)，平方平均数(记作 Q)，即 HGAQ，各不等式中等号成立的条件都是 ab.,4.常用不等式,则 z3x4y 的最小值为_.,解析：不等式组表示的可行域如图 D40 所示的阴影部分，,图 D40,数在点 A(1,1)处取得最小值 z3x4y1. 答案：1,候目标函数取得最小值，
2、数形结合可得目标函,则 zx2y 的最大值是(,),A.0,B.2,C.5,D.6,解析：画出可行域及直线 x2y0 如图 D41，平移 x2y 0 发现，当其经过直线 3xy50 与 x3 的交点 A 时， zx2y最大为zmax3245.,图 D41,答案：C,3.(2014 年福建)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖 长方体容器.已知该容器的底面造价是 20 元/m2，侧面造价是,10 元/m2，则该容器的最低总造价是(,),C,A.80 元,B.120 元,C.160 元,D.240 元,4.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市， 已知两地路
3、线长 400 千米，为了安全，两辆货车间距至少不得,(不计货车长度).,8,考点 1,实际生活中的基本不等式问题,例 1：桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式， 某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块 1800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的 泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周 围的基围宽均为 2 米，如图 6-5-1，设池塘所占 的总面积为 S 平方米. (1)试用 x 表示 S； (2)当 x 取何值时，才能使得 S 最大？并求,出 S 的最大值.,图 6-5-1,即当 x 为 45 米时，S 最大，且 S 的最大值为 13
4、52 平方米. 【规律方法】利用不等式解决实际问题时，首先要认真审 题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式 解题.注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最 大.,【互动探究】,D,1.某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.在 温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前,侧内墙保留 3 m 宽的空地，则最大的种植面积是(,),A.218 m2,B.388 m2,C.468 m2,D.648 m2,解析：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则 ab800.蔬菜的种植面积：S(a4)(b2)ab4b2a8 40 m，b2
5、0 m时，Smax648 m2.,2.一份印刷品，其排版面积为 432 cm2(矩形)，要求左、右 各留有 4 cm 的空白，上、下各留有 3 cm 的空白，则当排版的,长为_cm，宽为_cm 时，用纸最省.,24,18,考点 2,实际生活中的线性规划问题,例 2：某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m3，准备加工 成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m3，五 合板 2 m3，生产一个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m3，出 售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱
6、，那么可获利润多少？ (3)如何安排生产可使所得利润最大？,解：(1)设只生产书桌 x 张，可获利润 z 元，,当x300时，zmax8030024 000(元). 即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，可获利 润 24 000 元.,(2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元，,当y450时，zmax12045054 000(元). 即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，可获利 润 54 000 元.,(3)设生产书桌 x 张，生产书橱 y 个，可获总利润 z 元，,z80x120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如图 D42.,图
7、 D42 作直线 l：80x120y0，即直线 2x3y0. 把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上 的点 M，此时 z80x120y 取得最大值.,当 x100，y400 时，,zmax8010012040056 000(元).,因此安排生产 400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为,56 000 元.,【方法与技巧】根据已知条件写出不等式组是解题的第一,步；画出可行域是第二步；找出最优解是第三步.,【互动探究】,3.(2016 年新课标)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需 要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙 材料 1 kg，用
8、5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg， 乙材料 0.3 kg，用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元， 生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg，乙 材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产 品 B 的利润之和的最大值为_元.,解析：设生产产品 A、产品 B 分别为 x，y 件，利润之和为 z 元，那么,目标函数 z2100x900y. 二元一次不等式组等价于,作出二元一次不等式组表示的平面区域(如图 D43)，即可 行域. 图 D43,所以当x60，y100时，zmax210060900100 2
9、16 000(元). 故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216 000 元. 答案：216 000,4.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩(1 亩 666.7 平方米)，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭 菜的产量、成本和售价如下表： 为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成,本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(,),A.50,0,B.30,20,C.20,30,D.0,50,解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x， y 亩，种植总利润为 z 万元， 则目标函数 z(0.554x1.2x)(0.3 6y0.9y)x0.9y.,作出
10、约束条件如图 D44 所示的阴影部分.,图 D44,易求得点 A(0,50)，B(30,20)，C(45,0). 平移直线 x0.9y0，当直线 x0.9y0 经过点 B(30，20) 时，z 取得最大值为 48.故选 B. 答案：B,易错、易混、易漏,利用基本不等式时忽略了等号成立的条件,思路点拨：本题主要考查均值不等式的应用、分析问题及解决 问题的能力，本题的关键就是如何利用14 m 旧墙，有两种方案： 利用14 m 旧墙的一部分作为矩形厂房的一边，剩余的旧墙拆 去，用所得的材料建新墙；14 m 旧墙全部是矩形厂房的一边， 这时就不存在拆旧墙来建新墙的问题了.,综合(1)(2)两种方案，以第一种方案总费用最低，即以 12 m 旧墙改建，剩下 2 m 旧墙拆得的材料建新墙，其余的建新墙.,【规律总结】此题是生活实际中常碰到的问题，有实际意 义，综合分析能力很强，尤其x14，往往容易疏忽，不加以 考虑，仅以分析，利用部分旧墙，拆除部分旧墙，用拆得的 材料建新墙，其余的建新墙，虽然结果正确，但没有与作比 较，不能算是一种完整的解法.,