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1、,专题八 数学思想方法,第 2讲 数形结合思想,思 想 方 法 概 述,热 点 分 类 突 破,真 题 与 押 题,思想方法概述,1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.,2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会
2、出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.,(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.,3.数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方
3、程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.,(5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型，求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等.,4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域.,(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的
4、个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.,热点一 利用数形结合思想讨论方程的根,热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围,热点三 利用数形结合思想解最值问题,热点分类突破,热点一 利用数形结合思想讨论方程的根,解析 先作出函数f(x)|x2|1的图象， 如图所示， 当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，,当直线g(x)kx过A点时斜率为 ，,故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为( ，1).,答案 B,变式训练1,解析 由f(4)f(0)，f(2)2，,解得
5、b4，c2，f(x),作出函数yf(x)及yx的函数图象 如图所示，,由图可得交点有3个. 答案 C,例2 (1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是_.,热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围,由图可知xf(x)0的x的取值范围是 (1,0)(0,1).,解析 作出符合条件的一个函数图象 草图即可，,(1,0)(0,1),(2)若不等式|x2a| xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_.,解析 作出y|x2a|和y xa1的简图，,依题意知应有2a22a，故a .,变式训练2,(1)设A(x，y)|x2(y
6、1)21，B(x，y)|xym0，则使AB成立的实数m的取值范围是_.,解析 集合A是一个圆x2(y1)21上的点的集合， 集合B是一个不等式xym0表示的平面区域内的点的集合，,要使AB，则应使圆被平面区域所包含 (如图)，,即直线xym0应与圆相切或相离 (在圆的下方)，,例3 (1)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_.,热点三 利用数形结合思想解最值问题,解析 从运动的观点看问题，当动点P沿 直线3x4y80向左上方或右下方无穷 远处运动时，,当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，
7、S四边形PACB变小， 显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，,解析 画出可行域如图，所求的x2y2 6x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上 的点的距离的平方，,由图形知最小值为Q到射线xy10 (x0)的距离d的平方，最大值为|QA|216.,取值范围是2,16. 答案 B,变式训练3,(1)(2013重庆)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2,解析 由题意，知圆的圆心坐标为(3，1)，圆的半径长为2， |PQ|的最小值为圆心到直线x3的距离减去圆的半
8、径长， 所以|PQ|min3(3)24.故选B.,B,又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点 连线的斜率k.,解析 可行域如图所示.,由图知，过点A的直线OA的斜率最小.,答案 2,1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.,本讲规律总结,2.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的. 3.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.,4.数形结合思想常用模
9、型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.,真题感悟,押题精练,真题与押题,1,2,真题感悟,3,4,解析 设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，,1,2,真题感悟,3,4,答案 A,1,2,真题感悟,3,4,解析 AOB90，点O在圆C上. 设直线2xy40与圆C相切于点D， 则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离， 点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上， 当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.,1,2,真题感悟,3,4,1,2,真题感悟,3,4,答案 A,1,2,真题感悟
10、,3,4,解析 函数y|f(x)|的图象如图. 当a0时，|f(x)|ax显然成立. 当a0时，只需在x0时， ln(x1)ax成立. 比较对数函数与一次函数yax的增长速度. 显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立.,1,2,真题感悟,3,4,当a0时，只需在x0时，x22xax成立. 即ax2成立，所以a2. 综上所述：2a0.故选D. 答案 D,1,2,真题感悟,3,4,4.(2014天津)已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_.,1,2,真题感悟,3,4,解析 设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，,在同
11、一直角坐标系中作出y1|x23x|， y2a|x1|的图象如图所示.,由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点.当4个交点横坐标都小于1时，,1,2,真题感悟,3,4,消y得x2(3a)xa0，故a210a90， 且x1x2a32，x1x2a1，联立可得0a1.,当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，,1,2,真题感悟,3,4,消去y得x2(3a)xa0，故a210a90， 且x3x4a32，x3x4a1，联立可得a9， 综上知，09. 答案 (0,1)(9，),押题精练,1,2,3,1.方程|x22x|a21(a0)的解
12、的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,4,5,6,解析 (数形结合法) a0，a211.,y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点.,而y|x22x|的图象如图，,B,2.不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A.(，14，) B.(，25，) C.1,2 D.(，12，),押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,画出函数f(x)的图象，如图，,可以看出函数f(x)的最大值为4， 故只要a23a4即可， 解得a1或a4.正确选项为A.,答案 A,3.经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,
13、1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.,押题精练,1,2,3,4,5,6,解析 如图所示，结合图形：为使l与 线段AB总有公共点，,则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，,押题精练,1,2,3,4,5,6,故k0时，为锐角.,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,解析 由题意知原点O到直线xy20的距离为|OM|的最小值.,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,6.设函数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在x1处的切线互相平行. (1)
14、求b的值；,押题精练,1,2,3,4,5,6,解 函数g(x)bx2ln x的定义域为(0，)， f(x)3ax23af(1)0，,g(x)2bx g(1)2b1，,依题意得2b10，所以b .,押题精练,1,2,3,4,5,6,押题精练,1,2,3,4,5,6,即g(x)在(1，)上单调递增，,当a0时，方程F(x)a2不可能有四个解； 当a0，x(，1)时，f(x)0， 即f(x)在(，1)上单调递减，,x(1,0)时，f(x)0， 即f(x)在(1,0)上单调递增， 所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2a，,押题精练,1,2,3,4,5,6,又f(0)0，所以F(x)的图象如图(1)所示，,从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解. 当a0，x(，1)时，f(x)0， 即f(x)在(，1)上单调递增，,x(1,0)时，f(x)0， 即f(x)在(1,0)上单调递减， 所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a.,押题精练,1,2,3,4,5,6,又f(0)0，所以F(x)的图象如图(2)所示，,