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1、挖掘高考试题，增效高三教学-基于2018年高考理数18题的立体几何复习 【摘要】立体几何是高中数学的重点内容，也是高考考查的重难点。本文以2018年高考数学全国卷理科试卷的立体几何题目为例题，基于普通高中数学课程标准，在核心素养的大背景下，探讨解法，整合概念，变式探究，反思改进教学方法和教学策略，以求提高学生的学习能力并渗透数学素养。【关键词】立体几何；高考题目；一题多解；变式教学普通高中数学课程标准指出学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。作为高中数学重点教学模块的立体几何可以重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养。立体
2、几何中的翻折问题由于要发掘图形翻折前后的差异与联系，寻找定型定量，题型新颖，解法丰富，一直是立体几何教学和考查的热点。在2018年高考数学全国卷理科试卷中，立体几何的解答题就是以翻折问题的形式展现。一、一题多解固基础，多法比较建联系例（2018年高考理科数学全国一卷18题）图1如图1，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.第1问证明（略）；第2问解答： 解法1： 如图2，在平面内，过点作于点，连接，由（1）可得，平面 ，所以，为在内的射影，为与平面所成角.设正方形的边长为，则 因为所以，在图2即，与平面所成角的正
3、弦值为解法2：如图2，解法3：如图2， 图3解法4：如图3，解法5：如图3，图4解法6：如图4， 知识之间是有联系的。通过一题多解，不但可以建立解法之间的联系，优化方法，洞察问题的深层结构，而且多种解法的呈现也可以满足不同学生对同一问题的不同认知。解法1、2、3 是综合法，解法4、5、6是向量法。在此题的解答中，综合法的关键是利用定义找到所求线面角，向量法的关键在于恰当建立坐标系，但是两种方法的难点都在于与点相关的长度或者坐标的确定。解法1是由因导果的综合法的完整体现，需要比较强的数据分析能力以确定是直角三角形，从而突破长度的求解障碍；解法2利用方程求解的长度；解法3利用等体积法求解。解法1、
4、2都是将立体几何问题降维后在三角形中解决的，解法3利用了等体积法，突出了避作而求的推理方式。解法4是解法1的向量法体现；解法5、6是解法2的向量法体现，不同之处在于建系的方式不同。通过以上方法的比较不难发现，综合法需要添加辅助线才能把相关几何元素联系起来，而这常常成为制约学生分析问题的障碍。向量法已经利用直线的方向向量和平面的法向量将线面角的关系模型化，将线面角的求解方法公式化，避免了寻找线面角这个难点。这体现出向量法在立体几何问题中定量分析的优势，也可以说，向量法是立体几何中定量分析的更加优化的方法。所以，对于几何中严密的论证和计算，一方面我们要提高学生利用综合法解决问题的能力，进一步发展和
5、完善学生的推理能力；另一方面要强化向量法，利用坐标中向量之间的性质解决问题。二、收集错误显问题，反思教法促教学对于第2问的解答，学生多采用向量法，而在平常的教学过程中，对于角度、距离类定量分析的问题，学生也偏好向量法，这与立体几何改革的基本方向一致。当然，不论是综合法还是向量法，能够准确运用并解决问题就是好方法，然而，对于这道看似并不困难的问题，答卷情况却不容乐观，出现比较多的知识方法错误有以下三点：(1)综合法中找不到线面角；(2)建系正确，但点的坐标错误；(3)错误(1)的根源主要在于定义的理解不透彻，想象及推理能力欠缺，导致在具体的图形中，不能熟练洞察线面关系以确定线面角；错误(2)的原
6、因在于对于题目中与点相关的数量关系，不能准确的挖掘翻译并建立与问题的联系；错误(3)的源由在于学生平常的学习只是机械式的记忆公式，没有建立图形与数量、公式的联系，更没有真正理解线面角与向量角的区别和联系。针对以上3个常见错误，在立体几何的教学中，应当注重以下策略和方法上的调整：1.理清基本线索 从数学的内在逻辑上看，立体几何的基本线索是从定性到定量从综合法到向量法，教材中立体几何的内容安排设置也是以此为据的。那么，在立体几何的教学，特别是高三复习中，也应当遵从这条线索，让学生对立体几何认知符合规律；在每个立体几何问题的分析过程中，也应当先理清点线面关系，再建立数量或向量关系，让学生对每个问题的
7、理解循序渐进。2.强调基本图形亦如平面几何中强调三角形，立体几何中也有基本图形，例如长方形，四面体，这些基本图形随手可得，结构简单，但是却蕴含了所有的点、线、面关系。在立体几何的教学中，都应当强调在基本图形中理解基本几何元素关系，理解基本定理，理解基本公式方法，那么在复杂的图形中，学生才可以举一反三，触类旁通。3.归纳基本图例学生之所以在题海中低效徘徊，很重要的原因在于缺乏反思和归纳总结。其实，立体几何中的点、线、面关系就那几类，角度及距离问题就那几个，选取恰当的图例概括归纳，既有助于点、线、面关系的定性分析，更有助于公式理解及应用的定量分析。如图5，既包含了许多点、线、面关系，从中可以对线面
8、垂直，平面的斜线，线面角等有更好的理解，也包含了点面距离，线面角关系及向量关系，从该图中，可以建立图形和公式的联系，分析得到线面角或者，所以，；又如图6，可以结合图形辨析和理解二面角与法向量夹角的关系：或者，从而图5图6三一题多变提能力，渗透素养增效力数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，立体几何尤为如此。所以在立体几何的教学中，不论是定性分析还是定量分析，不管是综合法还是向量法，都要紧抓图形分析数据，而且可以发挥立体几何中数量与图形紧密联系的特点，设置连续而有逻辑关联的变式问题，并在这些问题的解决过程中，进一步强化训练推理论证的技能。例题变式1-4如图1，四边形为正方形，边长为，分别为的中
9、点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.变式1：图7思路分析：通过等体积法，也可以在图3的坐标系下求得平面利用空间向量点面公式得到变式2：思路分析：在图3中求得平面平面利用空间向量二面角余弦值的计算公式得到；也可以利用二面角定义，如图7，过点作的垂线，垂足为，可证那么即为二面角.在变式3：思路分析：由于与全等，并且有公共斜边，取中点，无论是否垂直，都有，即点为三棱锥的外接球的球心，所以；也可以在图3的坐标系下利用向量法，设点：解得.变式4：思路分析：由于可以利用等体积法，得到，解得.设计意图：例题变式1-4在高考原题的基础上展开，意在通过学生熟悉的题干和图形对距离、二面角、内切球和外接球等常
10、规概念、问题及涉及的方法进行复习巩固。数学核心素养要求学生能够在熟悉的情境中建立数量与图形的联系并进行抽象和表达论证。在平常的立体几何教学中，可以启发学生在同一个立体几何背景中寻找不同的点、线、面之间的关系并进行自主变式教学，多角度的理解图形并认知问题。例题变式5-10如图1，四边形为正方形，边长为，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置.变式5：图8思路分析：如图4所示，在平面中，过点作，连结，利用面面垂直的性质定理可以证明，那么为，可以分别在，求得,，那么，也可以在图4 所成的空间直角坐标系中求得点，取平面，设，利用向量法计算得.图9变式6： 思路分析：如图9，由于与全等，并且有公
11、共斜边，取中点，无论是否垂直，都有，即点为三棱锥的外接球的球心，并且为定值.设计意图：变式5、6将高考原题中的条件“”换为“”，变式5的问题和原题相同，变式6与变式4的问题类似但有所推广。两个问题意在通过与原问题关联或者相似的情景，帮助学生能够理解和建构相关数学知识之间的联系，从而进一步理解数学概念，辨析逻辑关系，提炼数学方法。变式7：思路分析：所以那么，当存在变式8：思路分析：所以那么，当变式9：思路分析：如图10，在矩形中，过点过点作如果那么，这与所以，图10设计意图：变式7-9删除了高考原题中的条件“”，那么图形就不是静态的图形，是在翻折变化的动态过程中设置问题，学生也只能在动态过程中思
12、考三组异面直线的位置关系。3个题目都以推理论证能力培养为目标，在思考解答的过程中考察培养了举正例，举反例，综合分析，反证分析等能力。3个问题意在通过综合化的一般情境，理解数学的抽象结构和结论的一般性，期望学生能够对较为复杂的数学问题探索论证途经并用数学语言合理准确的进行表达。变式10：；如果有，求出最大值；如果没有，说明理由. 设计意图：该问题依然在翻折过程中设置，属于开放探究性问题，变量的引入和问题的解决途经均具有偶然性和自主性，可以鼓励学生通过操作观察，形成猜想，证明结论。经历这样的探究过程，有利于培养学生发现问题，分类讨论，作图表达，推理论证的能力，在具体情境中提升直观想象、数学抽象、逻
13、辑推理等素养，积累探究活动经验。四结语由于高考题目不但依据课标，紧贴教材，有一般训练题目不可比拟的基础性、综合性、应用性和创新性；而且高考题目经过了全国学生的实践检验及老师的深入研讨，科学性强，解题思路明朗，解题书写规范，评分细则标准，所以高考真题既有利于全面覆盖，又有利于突出重点。在高三的教学中，教师如果能发挥高考真题的真优势，让真题的分析是真知灼见，让问题的诊断有真凭实据，让解法的优化能返璞归真，让教法的改善可去伪存真，那么，学生必定可以获取真才实学。【参考文献】1人民教育出版社.普通高中数学课程标准M（2017年版）.北京：人民教育出版社，20182章建跃.立体几何教学中的几个问题.中学数学月刊J,2015(10)；3周远方.返璞归真考推理，动态变化考探究.教学通讯J，2009(11).11