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1、二倍角三角形的性质及应用角形的陛质及应用有一个内角等于另一个内角的二倍的三角形,我们不妨把它称为二倍角三角形.二倍角三角形有一条优美的性质,本文先给出这条性质,再举例说明它的具体应用.一,性质在二倍角三角形中,二倍角与一倍角所对边的平方差等于一倍角所对边与第三边之积.具体地说:在AABC中,若LBAC=2/ABC,则一AC2=AC.AB.分析1要证BC2一AC2=AC?AB,即证C2=AC(AC+AB).至此可尝试去作一条线段等于AC+AB.证法I如图l,延长至点D,使AD=AB,连接1BD,则LD=LABD=zBAC.叉因/_ABC=BAC,所以LD=LABC.故BCADCB.因此BC=,1
2、1BC.=AC?CD.由点的作法可知:CD=AC+AB,所以BC=AC(AC+A曰),即BC2一Ac2:AC.AB.AC分析2由已知LBAC=2/ABC,联想到作BAC的平分线AD.证法2如图2,作LBAC的平分线AD,交边日c于点D,又因LBAC=2LABC,所以CAD=/DAB=/_B.由CAD=曰,知CAD-ACBA,因此=AD=AC根据等陛质得=丽AC.又由B=LB,知AD=BD.所以:丽AC,JBC2一AC2=ACm.查点璺瘩_市.筢三土垄_中兰薹璺华C图2二,应用1.直接利用已知的二倍角三角形例1在AABC中,最大角A是最小角C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=().A.7B.
3、10.sD.7解由A=2C,利用二倍角三角形的性质得BC2一AB=AB?AC.即c27=78,解得Bc=1Ci(BC=一_舍去).选C.例2如图3,在AABC中,AD上BC于D,=2C求证:AB+BD=De证明由曰=2C,利用二倍角三角形性质得AC2一AB=AB?BC.由AD_LBC,利用勾股定理易得AC2一AB=CD一BD=(CD+BD)(CDBD).A图3D所以AB?BC=(CD+BD)(CDBD)=BC(CDBD).化简,变形得AB+BD=DC.说明本例常见的证法需要作辅助线证全等.例3已知AABC中,LA:LB:C=4:2:1,记BC=a,AC=b.AB=C.一一;.+.+.+.+.+
4、.+.+.+.+.+.+.+.+.+.m鼓掌大世界.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+./l/,/图/,D求证:+I_1=1.nDC证明如图4,分别由/A=2/B,LB=2/C,利用二倍角三角形性质得丑ACa一b=bc,图4b一c=ca.+得a.=bc+c+c=C(a+b+c).所以:+.Caaa.由知a=b+6c.所以11b+c】1了2.挖掘隐藏的二倍角三角形例4如图5,在RtAABC中,LACB=90.,点D在边cA上,使得CD=1,DA:3,且LBDC=3LBAC.求BC的长.丑CDA-图5分析由/BDC=3LBAC.LBDC=ADBA+LBAC,可得/DBA=2
5、LBAC,AABD是一个二倍角三角形,运用性质知DA一BD:BD?AB,该式中的DA=3,BD和AB的长均能根据勾股定理用未知的BC表示出来,因此可列出关于BC的长的方程,解出BC的长.解由上面的分析知DA一BD=BD?AB,其中DA=3,BD:Bc+1,AB=曰c+4.所以9一(BC2+1)=/c2+1?而解得BC=4Tf.3.构造二倍角三角形例5如图6,在AABC中,/ACB=3A,a=27,C:48,求b.解析在AABC中,LACB=3A,为构造二倍角三角形,可作LACD=2A,交边AB于点D(如图6),则有LBCD=/A,AD一CD=CD?AC.LBCD=LA,知BcD鲋c,因此BC=
6、:.-.-._-?-.ACCD日27BDCDAC4827一b1)2BD=,CD=b.AD=ABBD=,CD=代入得()一()=.6解得6=35.例6求sinl8.的值(不查表,不借助计算器).解析构造一个等腰AABC,AB=AC=1.LBAC:36f加图7,.刚/B:/C:72由LB=2/_BAC,知AABC就是一个二倍角三角形,有AC2一BC=BC?A,即1一曰c2=曰c,解得Bc=歪.再作AD上BC于D,则CAD=啪.BD图7C在RtAADC,sin/_CAD=sinl8.:掣./4最后提供两道赛题,供同学们练习.1.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的AABC?证明你的结论提示:不妨设A=2/_B,则BC2一AC=AC?AB.又易知BC>AC,因此只需分三种情形进行探究:当AB>BC>AC时;当BC>AB>AC时;当BC>AC>AB时.2.在AABC中,AB=AC,BC上的高AD=5,M为AD上一点,MD:1,且LBMC=3LBAC.试求AABC的周长.提示:注意挖掘图中含有的二倍角三角形.答案:AABCJ+2To.+.+.m致掌大世界.p.1.n.+.+.+.+.+.+.+.