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1、精品论文大集合一种有限变形情况下高聚物本构模型叶飞，沈丽君 宁波大学工学院，浙江宁波（315211） E-mail: 摘要：根据一维弹簧和粘壶的组合,我们模拟了高聚物率相关性、应力松弛和徐变。以此为出发点,我们建立了三维有限变形下高聚物的本构模型。模型中，采用了粘弹性和弹塑性 并联组合，在粘弹性中，本文客观应力率采用了对数共旋应力率，弹塑性分析中本文采用了 有限变形的弹塑性变形分解,这种分析不同于变形率的弹塑性和式分解,也不同于 Lee 的变形 梯度弹塑性乘积分解,本构关系客观性要求体现在率型本构方程得积分之中。最后,在不同在 加载条件下进行了简单剪切变形计算。 关键词：高聚物材料，有限变形，
2、简单剪切变形，本构模型，粘弹塑性中图分类号：O41引言高聚物是一类有长链分子键组成的材料，包括塑料和橡胶等。高分子聚合物材料是 20 世纪才发展起来一大类新材料。由于自然条件的限制和环境保护的需要，木材的使用将越来 越少；水泥、陶瓷有良好的用途，但使用有局限性；世界钢铁的产量近十几年来几乎处于停 滞状态；高分子聚合物及其复合材料品种多、密度小、制造和成型容易、性能适应性广，在 国防工业和国民经济各部门得到了越来越广泛的应用。粘弹性变形是指高聚物在外力作用下的既不符合虎克定律，又不符合牛顿定律，而是介 于弹性和粘性之间，应力同时依赖于应变和应变率的一种变形。许多研究者就提出过不同的 模型，如一根
3、弹簧和一个粘壶的并联模型（kelvin-Voigt 模型）、串联模型（Maxwell 模型）、 标准固体模型以及四元件模型等等。本文对经典的粘弹性模型进行了修改。弹塑性变形采用率无关本构关系，关于有限弹塑性变形的唯象理论，Nemant-Nasser 和 Nagbdi 做过全面的讨论。在经典的率无关弹塑性理论中，有限变形通常分解成塑性变形和 弹性变形两个部分，这两个部分分别通过各自的控制方程来描述。但同时也存在着两个问题，（1）有限变形中变形率分解成弹性、塑性两部分之和来理解，（2）率（微分）型本构方程 中张量客观率（导数）的选择。近几十年的研究分析都没有一个公认的理论（Nagbdi,1990）
4、. 关于变形的弹塑性分解存在的许多争论（Nagbdi,1990），至今还没有一个完整的澄清。客 观张量率的选择被认为是有限变形率型本构方程中的关键问题（ Bruhns et al,1999;Metzger;Dubey,1987）。许多研究者提出了多种客观率，其中经典的客观率有物质共 旋率、相对共旋率（Dienes,1979）、欧拉标架共旋率（Sowerby,1984）。但是至今不能证明 任何一种客观应力率对于弹塑性本构关系是正确的。采用上面的几种常见客观应力率本构关 系退化到弹性时，即次弹性模型，与一般的弹性理论不一致。2 一维粘弹塑性本构模型一维粘弹性本构模型是在标准线性固体的改进(S.G.
5、 Bardenhagen,1997)，由 Maxwell 模 s = E s s- 12 -型和一个线性弹簧并联组成(见图 1).线弹性弹簧应力应变关系可以写成 d = d &d&，这里E s 、 s 分别是应力和应变。线性粘壶的变形关系是 d，这里 d ， d 分别指的应力和应变率，指的是粘度。我们这里把粘度看成一个关于应变率的函数，这里我们按照非牛顿体表示为（Bird et al,1997）。 = +(0 )&(1 + ( )2 )(1 n)/ 2(2.1)图 1（a）标准固体模型，由一个 Maxwell 模型和一个线性弹簧并联（b） 在恒定应变率下标准固体模型的拉伸应力应变曲线控制方程我
6、们可以表示成 = V + E标准固体模型的应力可以写成 Maxwell 模型的应力 V模型和线性弹簧的控制方程我们可以分别表示成和弹簧部分的应力 E(2.2)。Maxwell V + & V= & E = E(2.3)这里 = / E 。根据( 2.2 )、( 2.3 )，控制方程可以写成 + & = E + ( E + E )&(2.4)从图 1（b）中我们可以看见在不同应变率下的应力应变曲线，&2 &1 0 ，在大应变下， 曲线按指数规律的向渐近线 (& ) & + E 靠近，卸载路径是非线性的，不会沿着加载曲线。一维粘塑性本构关系模型的思想就是在一维粘弹性模型的基础上加上一个弹塑性弹簧（
7、见图 2）。弹塑性弹簧是一个滑动单元，弹性模量为 E，当单元应力大于滑动应力 Y 时，Eg& ( P ) / E + g ( P )g P模量为 g ( p ) = dg / d p ，这 里() 是 非 线 性 弹簧的 应 力应变 关系 ，弹塑性弹簧的本构关系根据塑性流动率我们可以写成& P = E (& & P )& P = & Pf ( P , P )= ( P g( P )22 Y 0& =0; & P ( P )P ) / g （2.5）图 2（a）一维弹塑性弹簧，由非线性弹簧并联一个滑动单元再串联一个线性弹簧组成。（b）弹塑性弹簧的应力应变曲线()f p , p这里是屈服面，一维模
8、型的控制方程为（ = V + P ） + & = P + ( E& + E (& & P )（2.6）图 3 一维粘塑性模型的数值模拟。（a）应力松弛数值模拟曲线（b）卸载数值模拟曲线图 3（a）在 t t1 加载过程中，在弹塑性变形中，证明了有明显的屈服点，当 t t1 时，总应 力 （ = V + P ）以指数形式向 P 靠近，3 三维粘弹塑性本构模型取 Lagrange 坐标系X A 与 Euler 坐标系 xi 重合的直角坐标系，速度 vi = xi / t ，变形梯度Fij ，速度梯度 Lij 和变形率张量 Dij :Fij =xiLij= viD = 1 ( L + L )X ix
9、iij2ijji（2.7）对于各向同性材料，我们分别通过体积部分和偏量部分两部分考虑= p kk3&v= Dkk3sij = ij + ij pDij = Dij ij&v（2.8）p 是静水压力， sij 是 Cauchy 应力张量偏量部分，&v 是应变率球量部分， Dij 是变形率张量偏量。通过上面一维模型，三维有限变形下的控制方程可以写成（ ij = Bardenhagen,1997)VP+ ijij ）(S.G. vv ij + Tijkl kl = Nijkl Dkl（2.9）2这里的 指的是客观应力率，四阶张量Tijkl 、 Nijkl 是材料系数，对于各向同性材料有：T= 1 (
10、 ) + 1 ( + )ijkl3vdij kl2 dik jlil jkN= 1 ( ) + 1 ( + )ijkl3vdij klV2 dik jlil jk（2.10）我们把ij 分成球形部分和偏量部分计算; vVVVp + v p&= v&vsij + d sij = d Dij（2.11）这里v 、d 是变形率的函数，分别指球形部分和体积部分，等效应变率偏量为 &d&d =2Dij Dij / 3通过式（2.1）我们可以得到三维情况下a (&a ) 的关系为 (&) = +(a 0 a )a &aaaa(1 +( )2 )(1 na )/ 2a = v, d（2.12）根据一维情况下
11、（2.5）式和塑性流动率，我们可以得到 P ij = L( D D P )ijklklkl fijpD P = ij2f ( J， p ) = 3J g ( p )2 Y 2ee0; f 0 = p p3G skl Dklpp; f = 0+ （2.13）2 J 2 Y (3Gg (e )P PPP,这里 J 2 是弹塑性应力的第二不变量 J 2 = sij sij/2 Dij 是塑性变形率， Dkk = 0 （塑性变形&2 P =是不可压缩的）， eD D / 3PPijij是等效塑性应变率。亚弹性刚度张量 LijklP2P 2 P 1 ()Lijkl = K 3 G ij kl + Gik
12、 jl + il jk2（2.14）我们把弹塑性应力也分成球量部分和偏量部分计算 Pp&= K &vs = 2G( Dij Dij )（2.15）p3PijPP跟一维本构模型一样，总应力 ij 分成两部分VP ij = ij+ ij（2.16）VP ij 、 ij 已经由式（2.11）和式（2.15）给出。分成球量部分和偏量部分可以写成p + p& = p p 3K&vvvs + sij = s P + 2(GD G P D P )ijdijdijij（2.17）这里 p = pV + p ps = s + sVPVPVP， ijijij , G = G + G 和 K = K + K4 一种
13、新的有限弹塑性变形的本构关系为了避免假设中间构形，本文将引入了一种新的途径21来建立本构关系。 首先分析各向同性材料弹性变形时候的一个特征，考虑变形过程：I F1 F2 F3 ,这里的下标 1，2，3 分别表示 t1 , t2 , t3 时刻。 将左伸长张量和变形梯度分解成以下形式TV = RE V RE(2-51)= (i = 1, 2, 3)FiREiViRLi（2-52）式中V 是左伸长张量的特征值组成的对角矩阵， RE 和 RL 是正交张量矩阵。两唯时在笛卡 尔直角坐标下的分量表示为a(i) 0 Vi = 0b(i) cos (i) sin (i) REi = sin (i)cos (
14、i) (2-53)cos (i) sin (i) RLi = sin (i)cos (i) 式中自变量 i 是时间，由于各向同性可令 (1) = 0 ，又不妨令 (1) = 0 ，因为如果它不为零，可在 Cauchy 应力叠加转动量 RE1 即可。 这里变形率分解成D = 1 (L + LT ) = 1 (F& F 1 + F F& 1 )22= R V&V 1 R T + 1 R(V 1 R T R&V + V R& T RV 1 ) R TE E2 ELL LL E= Da + DbV& V 11 T &+ & T 1(2-54)显然 是对角阵，VRLRL V V RLRL V是对角元都为
15、零的对称阵。假设变形梯度是对角矩阵的变形产生对角应力矩阵， t1 时刻的应力可以写作1 (1) t1 = 2 (1) 3 (1)(2-55)可以发现应力 t1 关于变形率 Db 的功率为零。我们假设部分变形率 Db 不影响从 t1 到 t2 时刻过程中的应力，那么 RL 的改变不会导致应力的改变，即 t2 时刻的应力与 RL 无关，根据本构关系的客观性原理， t2 时刻的应力可以写作 = R RTt 2E 2 2E 2(2-56)类似的，在过程 F2 F3 中，变形率也分解成两部分，即时的应力对一部分的变形率 Db 功率为零，所以， t3 时刻的应力可以写作 = R RTt 3E 3 3E 3
16、（2-57）从上面可以看出，应力与左伸长张量主向一致，这与本构关系的一般理论一致，因此，变形率分成两部分，使其变形功率为零的那部分不影响应力的假设正确。 推广到弹塑性情况考虑一个弹塑性变形过程 I V1 F2 F3 从 t0 时刻到 t1 时刻是弹性变形，此后是弹塑性变形，t1 时刻的应力是对角矩阵 1 ，这个限制不失分析的一 般性。在子过程V1 F2 = RE 2 V 2 RL 2 中，塑性变形应变率是对角矩阵。Db 与塑性变形无关。另外，如果这子过程是纯弹性，变形率的一部分 Db 不影响应力。因此，我们认为这个弹塑性过程中 Db 不影响应力。在V1 F2 中，应力变化是 1 到 RE 2
17、2 RE 2 ,应力主向完全相同于弹性情况。下面来分析 t2 时刻以后的应力计算。t2 时刻的变形梯度分解成下面形式的弹性和塑性部分= = F2RE 2V 2RL 2(RE 2V 2 e )(V 2 pRL 2 )(2-58)RVR RTV变形 E 2 2 e 相当于产生应力 E 2 2E 2 的弹性变形梯度，那么 2 p变形的度量。 t3 时刻的变形梯度可以分解成下面形式 RL 2 被看做永久= = T F3RE 3V 3RL3(RE 3V 3bR L3b ) (V 2 pRL 2 )（2-59）我们假设弹塑性变形体中途卸载再按原途径返回将具有与它一直加载一样的应力响应。弹性特性可以以初始构
18、型或中间无应力的构型来参考。这里我们取 t2 时刻的中间无应力构型 来作为参考分析紧接着的一个子过程。因此从 t2 到 t3 时刻这子过程的变形梯度变化可以表 RV RT示为从 RE 2V 2RL 2 到 E 3 3bL 3b ，和上一个子过程分析一样，这一子过程的应力从TRE 2 2 RE 2 到 RE 3b 3b RE 3b 。控制方程可以用（2-50）。类似的， t3 时刻的变形梯度分解成 = RE 3b V 3bRL3b(RE 3bV 3be )(V 3bpRL3b )(2-60)T式中，变形 RE 3b V 3be 是产生应力 RE 3b 3b RE 3b 的弹性变形梯度。上式代人（
19、2-59）得= = =F3RE 3V 3RL 3(RE 3bV 3be )(V 3bpRL3b ) (V 2 pRL 2 )Fe Fp（2-61） t这里 (V 3bpRL3b ) (V 2 pRL 2 ) 被看成 3 时刻的塑性变形度量。以后子过程也作上面类似处理，主应力的控制方程和应力的主向构成了完整的有限弹塑性变形的本构关系。5 简单剪切变形计算简单剪切变形往往作为各种理论比较的算例。它的运动方程为x1 = X1 + kX 2 ， x2 = X 2 ， x3 = X 3式中 xi 和 X i(i = 1, 2, 3) 分别是即时和初始构形的直笛尔坐标。我们可以求出变形梯度 F ,T变形率
20、 D ,物质旋率W ，相对旋率 R = R&R,以及对数旋率 log 。（Bruhns，1999）k& 4 = +k 01log + & 4 1 k1 + k 2 sh1 ( k / 2) 10我们分别采用本文给出的本构模型和旋率分别取作物质旋率、对数旋率，分别计算粘弹塑性材料简单剪切变形时的应力响应。图 47 为粘弹性部分，图 89 为弹塑性部分。图 4 物质应力率时yy 与 k 在不同应变率下的变形关系（粘弹性部分）图 5 物质应力率时 yz 与 k 在不同应变率下的变形关系（粘弹性部分）图 6 对数应力率时yy 与 k 在不同应变率下的变形关系（粘弹性部分）图 7 对数应力率时 yz 与
21、 k 在不同应变率下的变形关系（粘弹性部分）图 8 yz 与 k 在不同应变率下的变形关系（弹塑性部分）图 96 小结与展望 yy 与 k 在不同应变率下的变形关系（弹塑性部分）本文以粘壶和线性弹簧为出发点，提出了三维有限变形下粘弹塑性本构模型，结和塑性 应变流理论，提出了各向同性材料的本构关系。近几十年来，科学家们进行了积极的探索， 对高分子材料非线性粘弹性本构关系进行了较为细致的研究。高分子材料的本构关系通常 采用两种理论来描述，一种是连续介质力学理论，另一种是分子网络理论。无论哪一种理 论都是为了能尽可能完善的对高聚物的本构进行研究。目前已经有许多不同的高聚物本构 模型，但是没有一种本构
22、模型可以说是完美无缺的，因为在高聚物本构研究领域还有许多 未能解决的问题。参考文献1 Bruhns,O.,Xiao,H.and Meyers,A.,Self-consistent Elerian rate type elastoplasticity models based upon the logarithmic stress rate ,1999 479-5202 Bardenhagen, S. G.,Stout, M. G.,Gray ,G. T.: Three-dimensional,finite deformation, viscoplastic constitutive model
23、 for polymeric materials.1997. Mech.Mater.25,235-2533 Callaghan,P.T.,Kilfoil,M.L.,Samulski,E.T., Chain deformation for a polymer melt underShear. 1998 Phys.Rev.Lett.81 4524-45274 Hasan,O.A., Boyce,M.C., A constitutive model for the nonlinear viscoelastic viscoplastic behavior of glassy polymers. 199
24、5 Ploym Eng.Sci.35 331-3445 Haupt,P.,Sedlan,K.:Viscoplasticity of elastomeric materials:experimental facts andConstitutive modeling.2001.Arch.Appl.Mech.71,89-1096 S.G. Bardenhagen: Three-dimensional, finite deformation, viscoplastic constitutive models for polymeric materials.1997.235-2537Sowerby,R.
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26、ty,Journal of Applied Mathematics and Physics ,1990,315-39310Nemat-Nasser,S.,Phenmenological theories of elastoplasticity and strain localization at hingh strain rates,Appl.Mech,Rev.1992,19-4511 黄克智、黄永刚，固体本构关系, 1999 北京 清华大学出版社12 黄克智、薛明德、陆明万，张量分析，1986 北京 清华大学出版社，13 李松年、黄执中，非线性连续统力学，1987. 北京 北京航空学院出版社
27、，finite deformation, viscoplastic constitutive models for polymeric materialsYe Fei, Shen LijunFaculty of Engineering, Ninbo University, Ningbo, Zhejiang (315211)AbstractThe development begins with the presentation of a one-dimensional spring and dashpotconstructionwhich exhibits behavior typical of
28、 polymeric materials, namely strain-rate dependence, stress relaxation, andcreep. The one-dimensional construction serves as a starting point for the development of a three-dimensional, finitedeformation, viscoplastic constitutive model which also exhibits typical polymeric behavior. Furthermore, th
29、e three-dimensionalconstitutive model may be easily generalized to incorporate an arbitrary number of inelastic processes, representing(inelastic) microstmctural deformation mechanisms operating on different time scales. Strain-rate dependence, stressrelaxation, and creep phenomena are discussed in detail for a simple version of the constitutive model.Keywords: polymeric, finite deformation, shear, constitutive models, viscoplastic作者简介：叶飞（1982），硕士研究生，主要研究方向是材料的动态响应。