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1、二元一次不等式组与简单线性规划问题的注意点shuxuedashifie薯蠢穗零等畿组黪简攀线性瓣瓣赫黪秘童意煮江苏省赣榆高级中学朱广阳二元一次不等式组是解决实际问题的重要数学模型,也是刻画区域解决简单的线性规划问题的工具;线性规划是数学应用的一个最重要的内容之一,其问题本身以及解决问题的方法促进了许多数学分支的发展,其蕴涵的优化思想方法是数学中的基本思想方法.本节的学习要注意以下几点:1.利用线性规划解决相关问题的关键是如何根据条件正确画出可行域.教材上总结了关于Y>kx+bY<kx+b所的表示的平面区域,学生在记忆与操作起来很不方便,我们在解决问题时可采用直线定界,特殊点定域的方
2、法,即先画出相应的直线,注意是虚线与实线的区别,然后选特殊点定区域,常选用坐标原点(0,0)或点(1,O)把坐标代人不等式验证,若适合,该点所在的区域即为不等式所表示的区域,否则直线的另一侧区域即为所求.例1:不等式x+4y一9/>0表示直线x+4y一9=0().(A)上方的平面区域(B)下方平面区域(C)上方的平面区域(包括直线)(D)下方平面区域(包括直线)解析:注意到坐标原点(0,0)不在直线上,把其坐标代入不等式得一90不成立,因此原点所在区域的另一侧为所求区域,如图所示.故本题选(C).2.利用线性规划求解目标函数的最值时,一定要明确目标函数的几何意义,否则就有可能求解错误.4
3、x+Y10例2:在线性约束条件4x+3y20下如何探求目标函数p=2x+v的最大值.lxo,Y0解析:首先作出可行域,再考虑目标函数p=2x+y的几何意义.将目标函数p=2x+y变形为y=一2x+p,它表示斜率为2,在y轴上的截距为p的一条直线,故要求p的最大值,只需平移直线经过可行域,求直线y一2x+p的截距的最大值即可.可知,当直线过A(1.25,5)时,P有最大值7.5.,一2+p5.,12+一23x一:2=0A,/1?+4=0o(例2图)(例3图)I2+Y一20例3:已知一2+40,求z=x+y的最值,并求出z取得最I3v一30大值时X,Y值.解析:z=x2+y不是线性目标函数,求它的
4、最值可利用其几何意义求解:x+v表示区域上的点到原点的距离的平方,显然它的最值应在区域的边界上取得.作出满足以上不等式组的可行域(如图),易知在这个区域中,点c(2,3)到原点0的距离最远.即z的最大值是22+3:13,这时x=2,y=3.又过O作直线AB:=_【的垂线,垂足D(;,;),在点D处z有最小值loD:.3.在利用线性规划的图解法解决生产规划问题即如何合理地利用有限的资源(如资金,劳力,材料,时间等),以使消耗最小,利润最大时,首先要整理相关数据,抓住问题的主要因素设未知数,将实际问题数学化.运用图表可将复杂数据表达清晰,然后根据条件列出线性约束条件.不要忽略变量的实际意义,漏掉相
5、关约束条件,如时间,人力等变量非负.例4:制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能m现的亏损,某投资人打算投甲,乙两个项目.根据预测甲,乙项目可能的最大盈利率分别是100%和50%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲,乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解:设投资人用X万元投资甲项目,用v万元投资乙项目,由题意知:+Y1O0.3x+O.1y1.80,Y0目标函数z-x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域.如图阴影部分(含边界)即可行域.作直线lo:x+O.5y=0,并作平行=F直线l.的一组直线z=x+0.5y,zR.与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M(4,6),且与直线lo:x+0.5y=0的距离最大.这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.f-)c+1,=10解方程组.3+0.1:1.8可得x=4,y=6,此时z=4+0.5x6=7(万元).所以,投资人用4万元投资甲项目,用6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能盈利最大.3x+v=18,0|2010/12数嗨夫世界|