基于小波消噪的混沌径向基函数径流.doc

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1、精品论文基于小波消噪的混沌径向基函数径流预测方法及应用1刘力，周建中，李英海，张勇传 华中科技大学水电与数字化工程学院，武汉 (430074) E-mail: 摘要：径流过程是多因素耦合作用的结果，具有高复杂性和强非线性的特征。鉴于混沌理论和径向基函数网络强大的数据挖掘能力和非线性处理能力，本文以相空间重构理论为基 础，探讨了混沌径向基函数网络预测方法的建模思路、特点及关键参数的选取。以宜昌水文站月径流为例，本文首先利用自相关函数法和饱和关联维数法选取了相空间重构所需的延迟 时间和嵌入维数，并对宜昌站月径流进行了相空间重构，深入地挖掘了月径流序列中的信息，然后通过改进的小数据量法计算了最大 L

2、yapunov 指数，对宜昌站月径流进行了混沌特性识 别，最后建立了混沌径向基函数径流预测方法。考虑到噪声对径流分析的影响以及传统消噪技术在径流消噪过程中存在的不足，在运用混沌径向基函数预测方法对月径流进行预测前， 本文引入小波理论对径流进行了消噪处理，较好地剔除噪声并保留了有效信息。实例表明，该方法能较好地处理复杂的径流序列，具有较高的泛化能力和很好的预测精度。 关键词：月径流预测；相空间重构；径向基函数网络；小波消噪中图分类号：P333文献标识码：A0. 引言径流的变化涉及气象、水文、力学等复杂过程，同时还受地形、地貌、流域下垫面和 人类活动等众多因素的影响，是一个高度非线性的不确定性动力

3、演化系统。传统的预测模型 对解决像径流时间序列预测这样的复杂问题存在着一定的困难，而混沌理论的出现为研究这 种高度复杂的系统提供了新的思路。混沌是一种由确定性系统形成，对初始条件依赖性敏感 的非周期过程。利用混沌理论的相空间重构技术，将时间序列嵌入重构的相空间中，再借助 分形原理和符号动力学，可以揭示系统的复杂特性和内在规律，进而做出预测。由于径流过 程对初始条件的敏感性以及内在的随机性，已经证明具有产生混沌的基本条件，因此近年来 国内外众多水文学者相继将混沌理论的研究成果引入水文学中，试图对水文时间序列进行混 沌识别和预测研究。李红霞等1利用关联维数法和最大 Lyapunov 指数法对江桥站

4、和丰满水 库实际月径流时间序列进行了混沌特性识别，并通过 Volterra 自适应滤波法对径流时间序列 进行了预测；王文均等2对长江径流时间序列混沌特性进行了定量分析，得出长江径流时间 序列具有混沌特性；丁晶等3,4认为水文过程存在低维混沌特性，其中多年月径流序列的低 维混沌特性较为明显。目前的研究表明，径流时间序列具有一定的混沌特征，利用混沌预测 方法可以对径流序列进行预测。目前常用的混沌预测方法都是基于 Takens5提出的嵌入定理和相空间重构理论构建而 成的，其核心思想是利用吸引子局部范围内近邻相点的相似性，提取预测中心相点与预测点 之间的映射关系，进而得到预测数据。径向基函数(Radi

5、al Basis Function，RBF)网络作为前 向神经网络的一种主要形式，具有结构简单，学习快速的特点，能以任意精度逼近任何单值 连续函数，具有很强的非线性映射能力。因此，在重构的相空间中，通过 RBF 网络可以较 好地模拟现在状态和未来状态之间的映射关系，从而实现混沌时间序列的预测。1本课题得到国家重点基础研究计划(973)课题(2007CB714107); 水利部公益性行业科研专项经费项目(200701008); 国家自然科学基金重点项目(50539140)的资助。- 10 -在进行混沌时间预测之前，有必要考虑径流序列中噪声的存在给混沌识别和预测带来的影响。有研究表明，虽然噪声的存

6、在并不影响径流时间序列的混沌特性识别6，但是对径 流序列进行消噪处理可以提高数据的可靠性和数据分析成果的精度7。然而，常用的消噪方 法，如维纳滤波、卡尔曼滤波等只能适用于线性系统，且严格依赖于状态空间函数的建立， 而 Fourier 分析法虽然无须对系统建模，但它也仅适合于平稳时间序列的消噪。事实上，径 流时间序列常表现为非平稳随机过程，具有明显的非线性且难于建立合适的状态空间模型， 因此这些消噪方法在径流时间序列消噪处理上的应用受到极大的限制，消噪范围十分有限。 小波变换是基于 Fourier 变换而发展起来的一种全新的时频分析方法，在时域和频域同时具 有良好的分辨性，可以在不同的尺度下观测

7、信号不同精度的局部特征8。由于信号和噪声经 过小波变换后的统计特性不同，从而在多尺度分析中呈现出不同的传播行为，因此，小波变 换在径流序列降噪中的应用具有广阔的前景。基于此，本文提出了基于小波消噪的混沌径向基函数径流预测方法。首先对径流时间序 列进行小波消噪，并重构其相空间，以此作为 RBF 网络预测方法的输入，最后以长江宜昌 水文站为例，对其月径流时间序列进行了混沌识别和预测。1. 径流序列小波消噪1.1 小波变换定义 1 设 L2 ( R ) 为 R 上平方可积函数构成的函数空间，即：f (t ) L2 ( R ) Rf (t ) 2 dt +(1)则称函数空间 L2 ( R ) 为平方可

8、积空间。定义 2 设任意函数 (t ) L2 ( R ) 满足：(1) (t ) dt ；(2)+ ( ) = (t ) ejt dt ，且 (0) = 0 ；(3)+C = ( ) 2d (2)则称 (t ) 为一个母小波，式(2)为允许条件。令 a 为伸缩因子，b 为平移因子，对母小波 (t ) 进行伸缩和平移，可以构造小波基函数 a ,b (t ) =1 t b ( a, b R; a 0)(3)a a 由此，对于任意函数 f (t ) L2 ( R ) 的连续小波变换可以定义为1+ t b 2W f ( a, b ) =f , a ,b =f (t ) dt ， f (t ) L (

9、R )(4)式中， (t ) 表示 (t ) 的复共轭。a a 而通过连续小波变换也可以反演原函数 f (t ) ，其重构公式为1 12 f a ,bf (t ) = W ( a, b )(t )dadb(5)C a对径流时间序列进行消噪处理时，连续小波必须加以离散化。需要强调指出的是，这一离散化过程只针对连续的参数因子 a 和 b ，而不针对时间变量 t 。通过对 a ， b 两个连续变量施加不同的离散化条件，可以得到相应的小波和小波变换。本文采用离散二进小波变换， 通过令参数 a = 2 p ， b = q2 p ( p, q Z )使得连续小波变换二进制离散化。1.2 消噪原理在实测得到

10、的径流时间序列中，有用信息通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信 号，而噪声则通常表现为高频特征。小波变换通过对径流时间序列进行多层小波分析，识别 出其中包含的噪声(高频分量)，然后对每层高频分解系数进行阈值处理后再进行小波重构。 当越来越多的高频信息从信号中滤去，即所含的噪声越来越小，就能有效地达到滤除噪声的 目的。运用小波变换实现径流时间序列消噪的步骤如下：(1) 径流时间序列的小波分解。选择合适的小波函数和小波分解的层次 N ，然后计算原始径流时间序列 X 从 1 到 N 层的分解，即对径流序列进行多分辨率的分解。分解后得到 低频系数序列 Ai (i = 1, 2,L, N ) 和 N

11、高频系数序列 Di (i = 1, 2,L, N ) ；(2) 小波分解高频系数的阈值量化。阈值量化可以避免有用的高频信息被当作噪声消除 掉，1 到 N 层每一层选择一个阈值进行量化处理，从而得到这一层去噪后的高频系数Di (i = 1, 2,L, N ) ；(3) 径流时间序列的小波重构。根据小波分解得到的第 N 层低频系数 AN 和经过量化处理得到的所有高频系数 Di (i = 1, 2,L, N ) 进行径流时间序列的小波重构，多尺度重构的结果即为消噪后的径流序列 X 。2. 径流过程相空间重构相空间重构方法源于混沌动力学，是混沌时间序列处理的基础。径流过程是一个高度复 杂的非线性动力系

12、统，根据相空间重构的基本思想，径流过程任意一个分量的演化都是由与 之相互作用着的其它分量所决定，这些相关分量的信息就隐含在该分量的发展过程中9，即 可以认为系统状态的全部动力学信息都包含于径流时间序列之中，而把径流时间序列嵌入到 一个新的坐标系中所得到的状态轨迹不会丢失原相空间状态轨迹的最主要特征。本文采用延 时嵌入法10对径流时间序列进行相空间重构，通过引入延迟时间和嵌入维数，将一维时间 序列映射到多维相空间，以重建原动力系统，具体方法为：令 m 为嵌入维数， 为延迟时间，将径流时间序列 X = ( x1 , x2 ,L, xn ) 延拓成 n ( m 1) 个m 维相空间上的矢量 X i

13、= ( xi , xi ,L, xi ( m 1) ) ，其中 i = 1 + ( m 1) ,2 + ( m 1) , L, n 。这样每一个 X i 就构成了 m 维相空间的一个相点，上述 n ( m 1) 个 m 维相空间就构成一个相型，而相点间的连线描述了系统在相空间中的演化轨迹。Takens 定理证明，嵌入维数只要满足 m 2d + 1 ( d 为吸引子维数)，则原动力系统的吸引子就可以在 m 维重构的相空间中完全展开，也就是说此时重构的相空间和原系统的相空间微分同胚，即拓扑等价，它们的动力学特性在定性意义上完全相同，因此可以通过重构径 流过程的相空间来重现该系统的运动轨迹。3. 混

14、沌 RBF 径流预测方法RBF网络由输入层、隐含层和输出层构成，输入层负责传递输入信号到隐含层，再由隐含层采用径向基函数作为网络的激励函数对输入信号进行变换，实现输入信号向高维特征空u间的映射，使得低维线性不可分问题在高维空间内成为线性可分，最后通过输出层以线性函 数的形式输出结果。混沌RBF径流预测为多输入单输出形式，令 k 为隐含层节点数，以嵌入维数 m 为输入层节点数，高维相空间矢量 X i = ( xi , xi ,L, xi ( m 1) ) 为输入信号，构建网络拓扑结构如图1所示。u1xiw1xi 2w2 YiMMxi ( m 1) wkuk图1 径向基网络拓扑结构图图中，Yi 为

15、预测输出值，U = (u1 , u2 ,L, uk ) 为隐含层节点的输出，W = ( w1 , w2 ,L, wk ) 为隐含层节点与输出节点之间的连接权值。由于输入层节点只是将输入信号传递到隐含层，故取输入层节点与隐含层节点间的连接 权值均为 1，由此可得隐含层节点 j 的输出为：u j = R X i C j ， j = 1 , 2 , L, k(6)j 式中， C 为第 j 个神经元的径向基函数中心， 第 j 个神经元的径向基函数的宽度参j j数， X i C j为输入向量 X i 与 C j 间的欧氏距离； R ( ) 为激励函数，即径向基函数。本文选取高斯核函数作为径向基函数，具体

16、形式如下：2R ( x ) = exp x (7)2 2输入向量 X i 通过式(6)完成非线性转换后，再将其乘上相应的连结权值W ，利用线性组合方式即可得到输出层的预测输出值如下：kkX CY =w u =w exp = i j(8)i j j j2 4. 实例研究j =1j =12 j 宜昌水文站位于长江干流中上游交汇处，控制流域面积达 100 万 km2，占全流域面积的55%，多年平均水量 4315 亿 m3，约占长江入海水量的 50%，是控制长江上游来水的总控制 站，准确预报该站的来水过程，对长江中下游的防洪工作具有重要意义。本文搜集研究了宜昌站 19371991 年共 55 年的实测

17、月径流数据，组成月径流时间序列 X = ( x1 , x2 ,L, xn ) ，n = 660 ，以前 50 年的数据为训练样本对后 5 年月径流过程进行预测检验。4.1 小波消噪母小波的正确选择是小波应用成功的关键。由于 Daubechies 小波对不规则信号较为灵 敏，而其中的 Db4 小波相比其他 Db 小波具有最短的时窗以及更好的时间分辨率11。因此， 本文采用 Db4 小波对宜昌水文站 19371986 年的月径流时间序列进行 3 层小波分解，通过 最优预测变量阈值选择规则确定阈值，然后实行软阈值处理，最后通过小波重构得到消噪后 的月径流时间序列，如图 2 所示。从图中可以看出径流序

18、列的噪声过程基本上是随机的，用 小波变换进行消噪可以很好的保留有用信号中的尖峰和突变部分。4径流量/(m3/s)5 x 1000 100 200 300 400 500 600(a) 原始月径流序列 时间/月径流量/(m3/s)50000-50000 100 200 300 400 500 600(b) 噪声序列 时间/月4径流量/(m3/s)5 x 1000 100 200 300 400 500 600(c) 消噪后月径流序列 时间/月图 2 宜昌站 19371986 年月径流序列小波消噪4.2 确定延迟时间和嵌入维数延迟时间 和嵌入维数 m 的合理选择对相空间重构十分重要，恰当的延迟时间

19、可以有效降低重构所需的嵌入维数，从而使问题相对简化，而合适的嵌入维数可以确保重构空间与原始状态空间具有相同的行为，因此两者的精度直接关系到相空间重构后描述奇异吸引子特征 的不变量的准确度。求解延迟时间和嵌入维数的方法有很多，其中，自相关函数法和饱和关 联维数法在水文时间序列的混沌分析中应用得比较广泛，方法相对成熟，因此，本文分别采 用自相关函数法和饱和关联维数法来计算宜昌站月径流时间序列的延迟时间和嵌入维数。自相关函数法是基于两个变量的线性依赖性构造出的算法，本文选取月径流时间序列自 相关函数首次通过零点时所对应的时间为重构相空间的最佳延迟时间，此时是使径流序列X 与线性无关的最小值12。由图

20、 3 可以看出，自相关函数第一次过零时所对应的时间为 3，因此可以选择宜昌站月径流序列的最佳延迟时间 =3。11.41.21y(i)0.8自相关系数00.60.40.2-10123456时间/月图 3 月径流序列自相关函数00 50 100 150 200i图 4 月径流序列最大 Lyapunov 指数应用饱和关联维数方法计算嵌入维数 m = 2, 3,L 时相应的 ln r 与 ln C (r ) 值，并做出ln C (r ) ln r 的关系图，图中各曲线无标度区的斜率即为嵌入维数 m 相应的关联维数 D(m) ，由此得出 D(m) m 关系图，从图中曲线可以看出，随着嵌入维数 m 的增加

21、，关联维数 D(m)也会随之变化，当 m = 12 时，关联维数 D(m) = 4.09 达到饱和，选择此时对应的嵌入维数m = 12 即为宜昌站月径流序列的最佳嵌入维数。0 4.5-1 4-2 3.5关联维数D(m)-3 3ln C(r)-4 2.5-5 2-6 1.5-7 1-8 0.5-9-2 -1.5 -1 -0.5 0ln r00 5 10 15 20嵌入维数m4.3 混沌特征识别图 5 月径流序列 ln C (r ) ln r 和 D(m) m 关系图饱和关联维数的存在说明系统存在奇异吸引子，即宜昌站月径流具有混沌特性。为了进 一步证明，本文采用最大 Lyapunov 指数法对宜昌

22、站月径流进行混沌特征识别。Lyapunov 指 数描述的是相空间中轨道收敛或发散的速度，反映了混沌动力系统对初始条件的敏感依赖 性，是识别混沌存在及其程度的一个重要指标。由于受月径流样本长度和噪声的影响，准确 计算 Lyapunov 指数完整谱非常困难，因此通常只需考虑最大 Lyapunov 指数 K 。 K 能定量地表征相空间两相邻轨道的发散问题，对一维系统而言，当 K 0 时，系统出现混沌性质。本文采用改进的小数据量法13计算宜昌站月径流序列的最大 Lyapunov 指数，结果见图 4。图中 i 为离散时间演化步长， y(i) 为所有邻点对 i 步演化后的距离对数平均值。由最小二乘法作回归

23、直线得宜昌 站月径流时间序列的最大 Lyapunov 指数约为 0.052，即 K 0 ，说明宜昌站月径流确实具有混沌性质，可以采用混沌预测方法对其时间序列进行预测。4.4 径流预测与结果分析判定宜昌站月径流具有混沌特性后，本文以延迟时间 = 3 和嵌入维数 m = 12 对宜昌站月径流时间序列进行相空间重构，由嵌入相点来构成 RBF 网络的输入样本集，然后利用宜昌站 19371986 年的月径流数据进行 RBF 网络学习，以预测 19871991 年的月径流过程。 本文将 RBF 网络的学习过程分为三个阶段：第一阶段，合理选取 RBF 网络隐含层节点数； 第二阶段，利用减聚类算法对输入数据进

24、行聚类分析，得到隐含层各节点高斯核函数的中心值 C 和宽度 ；第三阶段，在确定隐含层个数及参数后，采用最小二乘法求取隐含层与输j j出层之间的连结权值W ，并通过梯度下降法校正隐含层的参数，以进一步提高网络的非线 性映射精度。然而，隐含层节点数的确定一直以来都缺乏行之有效的方法，在理论上也无明确结论。一般来说，问题越复杂，需要的隐含层节点就越多，但是隐含层节点过多会导致输入与输出之间的数据映射生硬，网络无法从中充分学习样本特征和深刻挖掘其潜在规律，模型的泛化 能力将大打折扣。因此，文献14在对国内外前向三层神经网络应用实例进行归纳、分析的基础上，经过大量实验得出了初定隐含层节点上限的经验公式

25、k m (l + 3) + 1 ( l 为输出层节点数)。本文分别取 RBF 网络隐含层节点数 k = 4, 7,14 对样本进行检验，以比较各自的收敛速度和精度，结果见图 6。00训练误差训练误差10 10k=40训练误差10k=7k=1410-10 20 40 60 80 100迭代次数-110 0 2 4 6 810 12迭代次数-110 02468迭代次数图 6 k = 4, 7,14 时 RBF 网络收敛效果由此可见，随着隐含层节点的增加，网络收敛所需的迭代次数将不断减少，精度也能有 所提高，但是每次迭代所需的计算量和运算时间也会大大增加，而且，随着隐含层节点数的 进一步加大，由此带

26、来的优势将不再明显。兼顾网络的收敛速度和精度，本文采用文献14提出的经验公式，取 RBF 网络隐含层节点数 k = 7 。为增加可比性，本文还采用 BP 神经网络方法对相同数据进行了预测，结果见图 7 和表1。由图 7 可以看出，混沌 RBF 网络预测相比 BP 网络预测效果要好，预测结果更接近实测 值，而消噪前后的混沌 RBF 网络预测结果目测区别不大。表 1 也表明无论采用确定性系数 指标还是合格率指标，消噪前后的混沌 RBF 网络预测结果都能满足预测要求，但消噪后混 沌 RBF 网络的预测结果的平均相对误差比消噪前减小了 0.84%，平均绝对误差降低了46.66m3/s，均方误差减小了

27、73.99m3/s，而合格率增加了 3.34%，且确定性系数和相关系数 均有所提高，说明噪声的存在确实会影响到预测结果的精度，而消噪处理能在一定程度上提 高数据的可靠性和数据分析成果的精度。44 x 103.53径流量/(m3/s)2.521.510.5051015202530354045505560时间/月月径流实测值 消噪后RBF网络预测值 未消噪RBF网络预测值图 7 宜昌站 19871991 年月径流预测结果BP网络预测值表 1 月径流预测误差统计结果平均相对误差(%)平均绝对误差(m3/s)均方误差(m3/s)确定性系数合格率(%)相关系数消噪后 RBF 网络15.331860.02

28、2722.940.919681.670.9609消噪前 RBF 网络16.171906.682796.930.918778.330.9594BP 神经网络18.292209.252938.840.9033750.95565. 结语鉴于径流过程的高度复杂性和多因素耦合特征，本文提出了基于小波消噪的混沌径向基 函数径流预测方法，并采用宜昌水文站多年的月径流数据进行了检验，主要结论如下：(1) 鉴于噪声对径流分析的影响以及传统消噪技术在径流时间序列消噪过程中存在的 不足，本文引入小波理论，采用 Db4 小波对宜昌水文站的月径流时间序列进行了 3 层小波 分解，并将消噪前后的序列作为样本对未来数据进行

29、了预测分析。结果表明，径流中噪声的 存在会使水文系统变得更加复杂，从而影响到预测模型的参数选定和预测精度，而小波变换 以其独特的时频多分辨功能，可以较好地消除径流时间序列中的噪声。另外，小波母函数的 选择是小波应用的关键，也是小波应用中需进一步研究的工作。(2) 考虑到径流的样本有限性和非线性特征，本文采用基于相空间重构技术的 RBF 网络 建立了径流时间序列的预测方法，通过相空间重构深刻挖掘径流时间序列中的信息，并利用 RBF 网络强大的非线性映射能力来模拟系统当前状态和未来状态之间的关系，以实现径流 时间序列的预测。本文应用该方法对宜昌水文站 19871991 的月径流进行了预测，并采用

30、BP 神经网络对相同数据进行了预测和对比分析。结果表明，混沌 RBF 径流预测方法的预测 效果总体上优于 BP 网络预测模型。参考文献1李红霞，许士国，范垂仁. 月径流序列的混沌特征识别及 Volterra 自适应预测法的应用J. 水利学报,2007, 38(6): 760-7662王文均，叶敏，陈显维. 长江径流时间序列混沌特性的定量分析J水科学进展, 1994, 5(2)：87-933丁晶，王文圣，赵永龙. 长江日流量混沌变化特性研究相空间嵌入维数的确定J. 水科学进展,2003, 14(4): 407-4114丁晶，王文圣，赵永龙. 长江日流量混沌变化特性研究相空间嵌入维数的确定J. 水

31、科学进展,2003, 14(4): 412-4165Taken S FDetecting strange attractors in turbulenceJLecture Notes in Mathematics, 1981, 898：366-3816Sivakumar BChaos theory in hydrology:important issues and interpretationsJ. Journal of Hydrology,2000, 227(4): 1-207王文圣，丁晶，李跃清. 水文小波分析M. 北京: 化学工业出版社, 20058杨福生. 小波变换的工程分析与应用M.

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33、quality of electrical powerA. TheInternational Conference on Harmonics and Quality of PowerC, Athens(Greece): 1998, 511-51512李荣峰，沈冰，张金凯基于相空间重构的水文自记忆预测模型J. 水利学报, 2006, 37(5)：583-587 13卢宇，陈宇红，贺国光应用改进型小数据量法计算交通流量的最大 Lyapunov 指数J. 系统工程理 论与实践, 2007(1)：85-9014Gao D QThe optimal number of hide nodes in mul

34、tilayed feedfoward neural networksD. IEEE, SMCCESA, Lille, France, July, 1996Chaotic Radial Basis Function Network Model of RunoffPrediction Based on Wavelet De-noisingLiu Li, Zhou Jianzhong, Li Yinghai, Zhang YongchuanCollege of Hydroelectric and Digitalization Engineering, Huazhong University of S

35、cience andTechnology, Wuhan (430074)AbstractPredicting runoff is very important for guiding the management of water resources. Runoff is a result caused by many factors, and the relations of runoff and those factors are complex and nonlinear. In view of the strong data mining ability of chaos theory

36、 and the great nonlinear treatment capability of radial basis function network, the prediction model of chaos time series which is based on the phase-space reconstitution theory is built by using the radial basis function network in this paper, and the method, the characteristic, the selecting of th

37、e key parameters in the modeling is discussed. Takingthe example of month runoff at Yichang, firstly, the embedding dimension is calculated by the G-Palgorithm and the delay time is got by the autocorrelation function method, and the phase-space reconstitution is made, so that information of monthly

38、 runoff series is profoundly investigated. At the same time, the maximum Lyapunov exponent is computed by using the improved smal1-data method, which is used to recognize the chaotic feature of the monthly runoff. Finally, the runoff forecast model of radial basis function network which is based on

39、the chaos theory is built. However, considering the influence of noise and the disadvantages of traditional noise eliminating technologies erenow, the wavelet theory is applied, which not only de-noises well, but also retains the effective composition in the original signal. It is shown by the study

40、 case that the model proposed in the paper can process acomplex hydrological data series better，and has better generalization and prediction accuracy.Keywords: monthly runoff prediction; phase-space reconstitution; radial basis function network;wavelet theory作者简介：刘力(1983-)，男，湖南桃江人，博士研究生；主要从事水文水资源研究。