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1、精品论文推荐卡尔曼滤波算法在定位跟踪中的仿真田安红，付承彪 重庆邮电大学通信与信息系统专业，重庆 (40065) E-mail: tian_jing_摘要：Kalman 滤波用在导航、雷达等领域对目标进行定位跟踪。本文研究了用 Kalman滤波方法对单个目标航迹进行预测，即搜索到目标并记录目标的位置数据，对测量到的目标 位置数据进行处理，自动形成航迹，并对目标在下一时刻的位置进行预测。并借助于 Matlab仿真工具，对实验的效果进行评估。仿真结果表明 Kalman 滤波对目标定位跟踪精度达到最优。 关键词：卡尔曼滤波；运动模型；定位跟踪中图分类号：P228文献标识码：A1. 引言在雷达、导航等
2、领域对目标进行定位跟踪主要利用 Kalman 滤波，它是由 Kalman 等人在 上世纪 60 年代提出的一种递推滤波算法1，通过建立系统方程和量测方程来描述系统的动 态变化过程，依据滤波增益矩阵的变化，从测量数据中提取有用信息，修正滤波增益矩阵的 变化，从量测数据中提取有用信息，修正状态参量，无需存储不同时刻的观测数据，便于实 时数据处理。目标跟踪问题的应用背景是雷达数据处理，即雷达在搜索到目标并记录目标的位置数据， 对测量到的目标位置数据（称为点迹）进行处理，自动形成航迹，并对目标在下一时刻的位 置进行预测。本文研究了用 Kalman 滤波方法对单个目标航迹进行预测，并借助于 Matlab
3、 仿真工具， 对实验的效果进行评估。仿真结果表明 Kalman 滤波对目标定位跟踪精度达到最优。2. Kalman 滤波基本原理- 5 -假设系统的状态空间方程可写为：X (k ) = AX (k 1) + W (k 1)Y (k ) = CX (k ) + V (k )其中，W (k ) 和V (k ) 是互不相关的白噪声序列，协方差分别为 Q(k ) 和 R(k ) 。(1.1) (1.2)设在时刻 j 得到的测量值为Y (1),Y (2),.,Y ( j) ,Kalman 滤波就是要通过这些测量值求得状态 X (n) 的最佳线性估计 X (n | j) 。根据 n 和 j 之间的关系，可
4、分为三种情况：n j时，称为预测问题； n =j 时，称为滤波问题； n j 时，称为平滑问题。在不引起混淆的情况下，总称为滤波问题。令估计误差为： X% (n | j) = X (n) X (n | j) 和状态误差协方差 矩阵为： P(n | j) = E X% (n | j) X% T (n | j)Kalman 滤波是最小均方误差准则下构建的，即 P(n | j) 最小时得到最优估计2-4。当n = j ，即滤波问题，用 X (n) ，X% (n) ，P(n) 分别对应相应的 X (n | j) ，X% (n | j) ，P(n | j) 。此时可以得到状态估计的递推公式：X (k )
5、 = AX (k 1) + K (k )Y (k ) CAX (k 1)K (k ) = P(k | k 1)CT CP(k | k 1)CT + R(k )1P(k | k 1) = AP(k 1) AT + Q(k 1)P(k ) = P(k | k 1) K (k )CP(k | k 1)（1.3）实际中只要设定状态向量和估计误差矩阵的初始值 X (0) 、 P(0) 就可以利用递推公式 进行状态估计。3. 运动模型本文中假定的单个目标航迹如下所示：有一个二维坐标雷达对一平面上运动的目标进行观测，目标在 t = 0 400 秒沿 y 轴作恒速直线运动，运动速度为-15 米/秒，目标的起始
6、点 为(2000 米,10000 米)，在 t = 400 600 秒向 x 轴方向做 900 的慢转弯，加速度均为 0.075 米/秒 2，完成慢转弯后加速度将降为零，从 t = 610 秒开始做 900 的快转弯，加速度为 0.3 米/秒 2，在 660 秒结束转弯，加速度降至零。雷达扫描周期T = 2 秒，x 和 y 独立地进行观测，观测噪声的标准差均为 100 米。4. 卡尔曼算法的实现本文中仅对 x 轴方向进行考虑。目标运动沿 x 轴方向的运动可以用下面的状态方程描述：用矩阵的形式表述为：xx(k + 1) = x(k ) + Tx&(k ) + (T 2 / 2)u x&(k +
7、1) = x&(k ) + Tux (k )X (k + 1) = X (k ) + W (k )(k )（1.4）(1.5) x(k )1 T 12 = 2 T X (k ) = = 式中， x&(k ) ，0 1 ， T ，W (k ) = ux 。考虑雷达的观测，得出观测方程为：Z (k ) = C (k ) X (k ) + V (k )式中， C(k ) = 1 0 ，V (k ) 为零均值的噪声序列，方差已知。对目标进行预测，由相关理论可得迭代式：(1.6) X ( k k 1) = X ( k 1 k 1)(1.7)式中，X ( k k 1) = EX (k ) | Z k 1，
8、反映了由前k 1各观测值对目前状态的估计。预测的误差协方差为：P(k / k 1) = P(k 1/ k 1)T + Q(k 1)TX%对于最佳滤波，迭代表达式为：X%(1.8)X (k / k ) = X (k / k 1) + K (k )Z (k ) C (k ) X (k / k 1)式中，K (k ) 为 Kalman 增益。滤波误差的协方差为：PX% (k / k ) = I K (k )C (k )PX% (k / k 1)(1.9)在应用上面的公式进行 Kalman 滤波时，需要指定初值。由于实际中通常无法得到目标 的初始状态，我们可以利用前几个观测值建立状态的初始估计，比如采
9、用前两个观测值，X (2 / 2) = z(2) z (2) z(1) / T T此时，估计误差为： xxx (2.0)TX% (2 / 2) = v (2)T u(1) + vx (1) vx (2) x2xT 而误差协方差矩阵为：(2.1) 2 2 / T P (2 / 2) = xxX%X% 2 / T2 2 / T5. 仿真分析 xx(2.2)为了真实地反映出 Kalman 滤波的效果，采用了 Monte-Carlo 方法，采用多次实验取均值的方法进行研究，可以计算出估计的误差均值和方差，其表达式为：而误差的标准差可以表示为：1ex (k ) =iixMMMi =1 xi (k ) x
10、i (k | k )(2.3) x =1 M i =1 x (k ) x (k | k )2 e 2 (k )(2.4)在(2.3)和(2.4)中，M 就是进行 Monte-Carlo 仿真的次数，而 k 为取样点数。当仿真的次 数越多时，实验的效果越接近于实际，但是计算的速度会明显变慢。在仿真时，需要根据实际适当选取 M = 50 。为了便于观测，将原始航迹、观测数据和经过滤波后的估计航迹反映在一张图上，如图1 所示。并且，画出了给定 Monte-Carlo 仿真的次数情况下，沿 x 轴方向和 y 轴方向估计误 差值的均值和标准差随着采样点数的增多而发生变化的情况，如图 2 所示。真实轨迹
11、观测数据 滤波估计100009000800070006000500040003000200050403020100-10-20-30-40X方向滤波误差均值100015002000250030003500400045005000图 1 原始航迹、观测数据和滤波后的估计航迹-500 50100 150 200 250 300 350400观测次数图 2 X 方向的误差均值Y方向滤波误差均值50150X方向滤波误差标准值403020 100100-10-20 50-30-40-500 50100 150 200 250 300 350400观测次数图 3 Y 方向的误差均值00 50 100 15
12、0 200 250 300 350400观测次数图 4 X 方向的误差标准值150Y方向滤波误差标准值1005000 50100 150 200 250 300 350400观测次数图 5 Y 方向的误差标准值从上面的仿真看出：加上随机噪声后的观测数据偏离真实的航迹，经过 Kalman 滤波后 的估计值接近真实航迹，对于动态目标的跟踪有着比较好的效果，而且可以较好地抑止环境 中的噪声影响，从而验证了 Kalman 滤波算法在目标定位跟踪中的优越性能。6. 结论本文从理论推导和仿真验证两个角度论述了用 Kalman 滤波方法对单个目标航迹进行预 测的应用，并借助于 Matlab 仿真工具，对实验
13、的效果进行评估。仿真结果表明 Kalman 滤波 对目标定位跟踪精度达到最优，验证了它的优越性。参考文献1 付梦印，邓志红，张继伟等. Kalman 滤波理论及其在导航系统中的应用M. 北京: 科学出版社, 20032 师延山，李道本. 无线定位扩展卡尔曼滤波算法的优化J. 北京航空航天大学学报, 2003年29卷4期：308-3113 陈礼斌，刘钊. 一种新的自适应扩展卡尔曼滤波算法J. 激光与红外2006年36卷3期: 210-2124 齐海涛，沈建国，朱联祥，罗国栋. 基于 A-GPS/TDOA 混合定位中的数据融合J. 重庆邮电大学学报(自 然科学版), 2007 年 6 月: 53-
14、55Kalman Filter Algorithm in the Location Tracking ofSimulationTian Anhong, Fu ChengbiaoChongqing University of Posts and Telecommunications, Communication and Information System, Chongqing (400065)AbstractKalman filter used in navigation, radar and other fields on the target track position. In this
15、 paper,Kalman filtering method forecast the track of a single goal . That is, to search and record of the location data , measure and process the target location data, form track ,and to predict the location of the target in the next moment. Assess the effect of the experiment at the help of Matlab simulation. The simulation results show that Kalman filter to track the target location accuracy is best.Keywords: Kalman Filter; Kinematic Model; Positioning and Tracking作者简介: 田安红，女，1984年生，贵州安顺人，重庆邮电大学在读硕士研究生，主要研究方向为移动 通信与无线定位； 付承彪，男，1982年生，云南宣威人，重庆邮电大学在读硕士研究生，主要研究方向通信网 测试技术。