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1、豆丁网精品论文浅析对称边界在数值计算中的应用许彬 1，John C. Chai2，陈少松 1，张敏 1，王学德 11 南京理工大学动力工程学院，南京 (210094)2 南洋理工大学机械与航天学院，新加坡 (639798)E-mail：摘要：在结构化网格中，从一维拓展到三维，采用基元中心有限容积法和全隐时间格式求 解非稳态热传导问题，并将数值解同带有误差函数的精确解进行比较，得到令人满意的一致结果，这充分显示了对称边界在数值计算中的重要作用。关键词：对称边界，有限容积法，误差函数对称边界的选取在数值计算中有着十分重要的意义。首先，选取适当的对称边界可以减 少计算区域的网格数目和求解中的计算量；
2、其次，可以使求解的问题简洁明了；最后，对称 边界的选取可以使通过计算得到的图形更加直观生动，对问题有更深刻的认识1-4。本文在给出对称边界的基本概念和关系式的前提下，通过一个经典的非稳态热传导算 例，从一维拓展到三维，全面展示对称边界在数值计算中的精彩之处，以此为读者在数值计 算中提供有益的参考。1 基本概念和关系式对称边界的选取必须满足一个条件，就是该边界上的通量必须为零，也就是说某标量在 该边界上为第二类边界条件，其法向变化率为零，数学表达式为， = 0n(1)上式中 为任意标量。对于热传导方程有，T对于 N-S 方程有，qn = k n = 0(2)u = v = w = 0(3)x y
3、 z下面我们给出一个热传导问题作为参考算例，同时将数值计算的结果同数学分析后的 精确解进行比较，以此验证数值计算中对称边界选取的重要性。2 算例分析2.1一维热传导算例一个半无限大物体（ 0 x 0 时，在 x = 0 的边界处 的温度始终为零度。该问题的数学描述为1，2T ( x, t)1 T ( x, t )=x2 t0 x 0(4)T ( x, t) = 0x = 0, t 0(5)T ( x, t) = T0通过数学分析，可得该问题的精确解为，T ( x, t) = T0 erf (x 0, t = 0x)(6)(7)4t在对半无限大空间内的非稳态热传导问题进行数值模拟时，初始温度取常
4、数T0 =20，其他参数都取 1，单位为国际单位。为了模拟这个问题，将上下两个边界设为对称边界，左 边界给定温度 0，右边界为绝热边界。计算时采用的尺寸为 11，网格数为 1010，时间 步长取 0.01s。图 1 为 t=0.03s 时方形区域内温度分布情况，同时给出了数值解和精确解，虚线为精确 解，背景云图为数值解。图 2 为三个不同位置温度随时间变化的曲线。从两图中可以看出数 值解和精确解吻合的比较好。精确解略低于数值解，这是由于在模拟一维半无限大热传导问 题时，一方面用矩形区域近似代替半无限大区域，另一方面精确解中带有误差函数，在进行 数值计算（双精度的计算）时，会存在舍入误差。18.
5、817.516.315.013.812.511.310.08.87.56.35.03.82.51.3图 1 t=0.03s（数值解/精确解）温度场分布图 2 不同位置温度随时间变化图2.2二维热传导算例将上述一维热传导算例推广到二维空间，即为二维热传导问题。问题描述如下，一个半 无限大的角域， 0 x ,0 y 0 时，在 x = 0 与 y = 0 的边界处温度始终为零度。由数学分离变量法推导可得，这个问题的解可以表示为如下两个一维问题解的乘积：（1）T1 ( x, t ) 为半无限大区域（ 0 x 0 时，x = 0 处的边界温度始终为零度；（2）T2 ( y, t) 为半无限大区域（ 0
6、 y 0 时，y = 0 处的边界温度始终为零度。 显然，这个二维问题的初始条件可表示为乘积的形式T0 = T0 1 ，每一个一维问题的解在前面问题中已经讨论过，可以得到分别得到，T1 ( x, t ) = T0 erf (因此，上述二维问题的解为，x4t)，T2 ( x, t ) = 1 erf (xy)4ty(8)T ( x, y, t) = T1 ( x, t) T2 ( y, t) = T0 erf (4t) * erf ()4t(9)在对该问题进行数值模拟时，为了体现对称边界在数值计算中的重要性，我们用一个三 维立方体来模拟该二维问题，将立方体相对的两个面设为对称面，其他四个面设为边
7、界条件， 这样可以用三维模型来模拟二维问题。初始温度取常数T0 =20，其他参数都取 1，单位为 国际单位。计算时采用的尺寸为 111，网格数为 101010，时间步长取 0.01s。图 3 为网格划分示意图，图 4 为 t=0.07s 时，立方体区域内 I，J，K 三个剖面温度分布图，图 5-图 8 分别为四个不同时刻立方体区域内温度分布情况，同时给出了与精确解的比较， 虚线为精确解，背景云图为数值解。ZXY10.8Z0.60.40.200 00.20.20.40.40.60.60.80.8Z1 1Z图 3 网格划分示意图图 4 t=0.07s I,J,K 三个剖面温度分布图ZZ18.817
8、.516.315.013.812.511.310.08.87.56.35.03.82.51.3XY10.80.60.40.218.817.516.315.013.812.511.310.08.87.56.35.03.82.51.3XY10.80.60.40.20000.20.20.40.40.60.60.80.81 10000.20.20.40.40.60.60.80.81 1图 5 t=0.01s（数值解/精确解）温度场分布图 6 t=0.05s（数值解/精确解）温度场分布ZZ18.817.516.315.013.812.511.310.08.87.56.35.03.82.51.3XY10.
9、80.60.40.218.817.516.315.013.812.511.310.08.87.56.35.03.82.51.3XY10.80.60.40.20000.20.20.40.40.60.60.80.81 10000.20.20.40.40.60.60.80.81 1Z图 7 t=0.07s（数值解/精确解）温度场分布图 8 t=0.1s（数值解/精确解）温度场分布Z2.3三维热传导算例将上述二维热传导算例推广到三维空间，即为三维热传导问题。问题描述如下，一个半 无限大的角域，0 x ,0 y ,0 z 0 时，在 x = 0 、 y = 0 与 z = 0 的边界处温度始终为零度。同
10、理，这个问题的解可以表示为如下三个一维问题解的乘积：（1）T1 ( x, t ) ，半无限大区域（ 0 x 0 时，x = 0 处的边界温度始终为零度；（2）T2 ( y, t) ，半无限大区域（ 0 y 0 时，y = 0 处的边界温度始终为零度；（3）T3 ( z, t ) ，半无限大区域（ 0 z 0 时， z = 0 处的边界温度始终为零度。 显然，这个三维问题的初始条件可表示为乘积的形式T0 = T0 11 ，每一个一维问题的解在前面已经讨论过，可以分别得到它们的解为，T1 ( x, t ) = T0 erf (x4t)，T2 ( x, t ) = 1 erf (y4t),T3 (
11、z, t) = 1 erf (z)4t（10）因此，三维问题的解为，T ( x, y, z, t ) = T1 ( x, t ) T2 ( y, t ) T3 ( z, t)= T0 erf (x4t) * erf (y4t) * erf (z)4t(11)在对该问题进行数值模拟时，将立方体中相邻的三个面设为恒壁温 0，其他三个面设 为绝热面。所有其他条件和物性参数同上个算例。图 9-图 10 为两个不同时刻立方体区域内 I,J,K 三个剖面温度分布图，图 11-图 12 分别为四个不同时刻立方体区域内温度分布情况。图 9 t=0.01s I,J,K 三个剖面温度分布图图 10 t=0.05s
12、 I,J,K 三个剖面温度分布图Z Z18.817.516.315.013.812.511.310.08.87.56.35.03.82.51.3X Y X YZ1 10.80.8Z0.60.60.40.40.20.20 00 0 0 00.20.20.20.20.40.40.40.40.60.60.60.60.80.80.80.81 1 1 1图 11 t=0.07s（数值解/精确解）温度场分布图 12 t=0.1s（数值解/精确解）温度场分布18.817.516.315.013.812.511.310.08.87.56.35.03.82.51.33 结果及讨论对称边界在数值计算中是一个十分重
13、要的工具。一般情况下，遇到所求问题的求解区域 具有几何对称性时，我们如果能够恰当地选取对称边界，将会使需要生成的网格数目和计算 量大大地减少，同时计算后所得到的图形能够更加清晰地反映问题的本质，便于我们进行分 析。本文通过数学分析和数值计算两种不同的途径，从一维拓展到三维，研究半无限大空间 非稳态热传导问题，并将所得精确解和数值解进行比较，充分展示了对称边界在数值计算中 的精彩之处和重要作用。参考文献1MN奥齐西克 著，俞昌铭 译热传导M北京：高等教育出版社，1984.2Patankar，SV Numerical Heat Transfer and Fluid FlowNew York，Hem
14、isphere Publishing，1981. 3陶文铨.数值传热学. 西安: 西安交通大学出版社,1988.4Zhang M Modeling of Radiative Heat Transfer and Diffusion Processes Using UnstructuredGridPhDDissertation，2000，Tennessee Technological University，USA.Analysis of Application about Symmetry BoundaryCondition in Numerical ComputationXu Bin 1，Joh
15、n C. Chai2，Chen Shaosong 1，Zhang Min 1，Wang Xuede 11School of Power Engineering，Nanjing University of Science & Technology，Nanjing(210094)2School of Mechanical and Aero spacing Engineering，Nanyang Technological University，Singapore(639798)AbstractUnsteady state heat conduction problems were solved u
16、sing a cell-based finite volume method（FVM）instructured grid from one dimension to three dimensions. The implicit time scheme was adopted. The results are agreement when the numerical solution compared with the exact solution which including error function. All above demonstrate the significance of application about Symmetry Boundary Condition in numerical computation.Keywords：Symmetry boundary condition，FVM，error function