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1、第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动教案课题：椭圆及其标准方程教材：人教版（必修）数学第二册(上)第八章第一节授课教师： 一、教学目标：1知识与技能目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.2过程与方法目标： （1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合
2、作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.二、教学重点、难点：1重点：椭圆定义及其标准方程2难点：椭圆标准方程的推导三、教学过程（一）认识椭圆，探求规律:1对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.2通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.点是线段AC上一动点，分别以为圆心，与为半径做圆，观察两圆交点的轨迹.请同学们思考：（1） 在运动中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？（2） 能不能把不变的量用数学表达式表达出来？（3） 点（椭圆上的点）是以怎样的规律进行运动的？（4） 用这
3、个规律能不能画出一个椭圆？（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上台画在黑板上.在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备.（三）归纳定义，完善定义 我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义（学生分组讨论）.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于=2c）的点的轨迹叫做椭圆在归纳椭圆定义的过程中，
4、教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“和”，“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.如：总结动画演示中两圆半径之和（常数）得到椭圆上点到两定点距离之和为常数.通过课件分别演示当两定点间距离等于线段长度时的轨迹（为一条线段）和当两定点距离大于线段长度时的轨迹（不存在），由学生完善椭圆定义中常数的范围. 教师指出：两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.（四）合理建系，推导方程由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标
5、准方程.已知椭圆的焦距，椭圆上的动点到两定点,的距离之和为，求椭圆的方程.（1）以两个定点,所在直线为轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系设，点为椭圆上任意一点，则 （称此式为几何条件），所以得 （实现集合条件代数化），化简，得 注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果.（2）以线段中点为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，所得椭圆方程为：相比之下，其它的建系方式不够简洁.同学们观察右图，当运
6、动到线段AC中点时，两圆半径相等，即，因，则，不妨令，那么（1）（2）所得的椭圆方程可化为：， （1）， （2）（在这里教师指出：我们刚才只是从“曲线的方程”的角度推导出了符合定义的点的坐标满足的方程，我们还需要从“方程的曲线”的角度来说明以方程(1)(2)的解为坐标的点都在曲线（椭圆）上，这个问题留给学生课后完成.）我们称（1）（2）为椭圆的标准方程.对标准方程的理解：1.所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；2在与这两个标准方程中，都有的要求，也就是说，焦点在哪个轴上，哪个对应的分式的分母就较大.（五）应用举例，小结升华.例1.用定义判断下列动点的轨迹是否为
7、椭圆.(1)平面内，到的距离之和为6的点的轨迹.（是）(2)平面内，到的距离之和为4的点的轨迹.（不是）(3)平面内，到的距离之和为3的点的轨迹.（不是）例2.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为：例3.已知椭圆方程为，则两焦点坐标为：小结： 由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法.1知识总结：椭圆的定义，标准方程 2思想方法总结： 教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。（六）、板书设计（略）教案的设计说明：数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键.数学教学中的探究式对培养和提高学生的
8、自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义.本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新.学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发，设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究.在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的
9、比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.在对教材中“令”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换.课题：5.4平面向量的坐标运算（第一课时）教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（下）授课教师： 单位： 教材分析与教法设计教学目标知识目标1、理解平面向量的坐标概念（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.2、掌握平面向量的坐标运算（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；（2）能熟练进行向量的坐
10、标运算；（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.能力要求1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； 3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感态度设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.重点平面向量的坐标运算.难点理解向量坐标的意义.方法引导发现、合作探究.教具多媒体课件、实物投影仪、三角尺.教学过程环节具体内容及形式双边活动设计意图复习回顾判
11、断题1、单位向量都相等； （ 假 ） 2、坐标平面上的x轴和y轴都是向量. （ 假 ）通过提问的方式让学生对命题作出判断；教师从学生活动出发，进行评价、拓展，为新课的讲解作铺垫.oxijy复习回顾: 复习向量定义，引出x 轴y轴正方向上的单位向量i和j.3、如果e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a = x e1 + y e2 . （ 真 ）通过第3小题复习平面向量基本定理, 为下一步将基底特殊化引出新课做准备.创设问题情境通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并且建立数学与其它学科的联系.学生体会数学与现实生活的联
12、系，并通过教师引导，体会特殊化的思想.激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的.师生共同探究及应用平面向量的坐标表示问题一：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向量基本定理构造平行四边形，如图：oxyija 结论：若a = xi+ yj，则a =(x,y)叫做向量的坐标表示. 经历前两个环节的铺垫后，教师引导学生恰当的选取基底，完成基底特殊化的过程.教师通过多媒体课件演示，使学生直观理解平面向量的坐标概念,明确求向量坐标的思路.设置探究式教学，让学生经历知识的形成、发展
13、、应用的过程，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用，充分体会数学探索的乐趣.以向量b为例讲解本题，可以让学生体会向量的坐标与点的坐标一样，有正负之分.在学生掌握课本例题的基础上进行挖掘、引申，探究新知，使得前后知识衔接自然.在教学中渗透类比和特殊化的数学思想，形成新的知识结构体系，为下一步突破教学难点做准备.应用一、初步运用定义求特殊向量的坐标.i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)应用二： (课本P111例1).例1、 用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标.123401234xyOabcd变式探究：将例1中向量d的方向取反向得到向量e，分析b、e两向量的关系后进行探究
14、.探究一：相等向量的坐标有关系吗？结论：相等向量的坐标也相等，体现向量与其坐标的对应关系.探究二：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后有何结论呢？结论：此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了. 学生独立完成，进一步体会特殊化思想.师生共同探究，教师板书过程.教师重点以向量b为例讲解本题，引导学生利用平面向量的坐标表示求出向量b的坐标，并提醒学生注意坐标符号.学生观察出向量b、e两向量大小相等，方向相同，应该是相等向量.教师提问：向量在坐标平面内任意平移而坐标不变，那么将其起点放在什么位置更有利于研究呢？教师利用多媒体课件进行动画演示，学生直接参与探究的过程，从亲身体验中获得深刻的
15、认识.师生共同探究及应用平面向量的坐标运算问题二：若已知a =（1,3）,b =(5,1)，如何求a b 、a b的坐标呢？（由特殊到一般，探究向量加减的坐标运算法则）法则：若a =（x1 ,y1）,b =(x2 ,y2),则：a b = (x1x2 ,y1y2 ),a b = (x1x2 ,y1y2 )应用三：课本P112例2 及P114练习1.探究三：例一中向量a的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系？bcOxyaAB（从具体例子寻找规律） 由图可知，a = c b 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.探究四：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标
16、和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？借助探究二的探究思路，利用向量坐标表示的推导过程来组织教学.结论：向量的坐标与表示它的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系.对具体的两个向量，教师启发引导学生分析规律，通过猜想、验证得出向量的坐标运算法则.例2以学生回答为主，教师板书过程；练习学生笔答，通过实物投影反馈.教师利用多媒体课件演示引导学生把任意向量用起点在原点的向量来表示.寻找各知识点的联系，挖掘问题实质.让学生经历主动观察、大胆猜想、积极验证，顺利得出向量的坐标运算法则，突出重点.同时培养学生的观察能力、推理能力、逻辑思维能力.让学生熟练运算法则的应用，体会向量坐标运算
17、的优势：思路明确，过程简捷；强调步骤书写，发现问题及时解释说明.体现了向量坐标的意义，通过提出矛盾、回顾旧知、推理验证，对难点层层突破.应用四：课本P114练习2.应用五：以表格形式对练习2 引申训练 起点A终点B向量AB（ 2，3 ）（ 1，1 ）( 3 , 4 )( 2 , 7 )应用六：课本P113例三.变式训练：将例三中平行四边形ABCD这一条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平行四边形.（教学中可根据时间情况进行讲解或作为课后思考题）学生口答，教师进行评价、拓展.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.例
18、三是对本节内容综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.归纳总结强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫.在教师提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充. 帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握.作业课本第114页第1、2、3题板书设计方案一：54平面向量的坐标运算（一）一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等 4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、向量的坐标运算法则2、向量AB的坐标与点A、点B的坐标的关系三、例题例1例2例3方案二：一、平面向量的
19、坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等 4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、坐标运算法则2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系三、例题例1例2例3教学环节流程安排复习回顾向量的坐标运算向量的坐标表示跟踪练习跟踪练习情境设置归纳总结探究及应用巩 固 提 高教案的设计说明：1、设计初衷：本节课内容难度不高，但知识点比较繁多，而且各知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉.教师作为教学活动的设计者，在教学设计中应力求突出知识间的联系，指引学生理清众多的思绪，主动参与到思考、观察、猜想、验证、应用的教学活动中去，从而顺利地突破重、难点.2、呈现方
20、式：根据教学大纲要求结合本节课具体的教学目标和学生的认知特点，我设计了“复习回顾创设问题情境合作探究和指导应用归纳小结布置作业”五个教学环节.3、新课程观的体现：本节课主要采用的是“引导发现、合作探究”的教学方法，以学生熟知的足球运动为情境引入新课，以问题为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力发展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的形成、发展和应用的过程，在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握方法.整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用. 4、可能出现的问题： 探究式教学需要留给学生充足的时间和空间，为学生提供活动的机会，学生情况不同，反馈给教师的信息也不同，因而在时间和内容上都不是固定的，需要教师在设计时富有一定的弹性，在实施时设计方案跟着学生转变，具有一定的开放性和灵活性.