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1、*最速降线问题解的充分性是如何证明的？谢建华(西南交通大学应用力学与工程系，成都，610031)摘要：本文利用可动边界的变分公式,通过广义环路积分统一表示变分法中的若干基本原理, 如 Hilbert 不变积分和包络定理等，在此基础上说明了最速降线问题解的充分性。 关键词：最速降线；旋轮线；变分法；充分性；力学史早在 1696 年，John Bernoulli(1667-1748)曾提出这样一个问题：在竖直平面 Oxy 上 将给定两点 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 用一条光滑的金属线相连(图 1)，一质量为 m 质点 P 以初速度 v1 由 A 点沿金属线滑动，问金属线
2、为何种形状时，质点 P 到达 B 点所需的时间最少？这就是历史上著名的最速降线问题(brachistochrone problem)。John Bernoulli 在提 问的同时，警告人们不要凭直觉认为金属线是连接 A 点和 B 点的直线。实际上在此之前 Galileo (1564-1642)曾研究过类似问题，并错误地认为应该是一段圆弧，因为圆弧开始较 陡，就获得较大的速度，走完全程的时间也就最少。最速降线问题吸引了很多著名数学家的 关注，oxA ( x1 , y1 )8PmgvyB( x2 , y2 )图 1最速降线问题* 国家自然科学基金资助项目(10772151)Newton(1642-
3、1727)、Leibniz(1646-1716) 、lHospital(1661-1704)以及 Bernoulli兄弟几乎同时给出了正确的结果。John Bernoulli 本人利用此问题与光线在媒质中传播的 类似性，非常巧妙地得到了正确的答案：连接 A 点和 B 点的旋轮线(cycloid)。其兄 James Bernoulli (1654-1705)提出的几何方法适用范围要广泛的多。Euler(1707-1783)在 James Bernoulli 方法的基础上，建立了所谓 Euler 方程。在变分法的初创时期，象最速降线这类 问题什么是完整解答往往是含糊不清的。后来 Legendre(
4、1752-1833) 、Jacobi(1804-1851) 和 Weierstrass(1815-1897)等人进一步研究了变分问题的必要性和充分性，建立了一些基 本原理，如 Legendre 条件、包络线定理和 Weierstrass 判别法等等，为变分法进一步发展奠定了坚实的基础 1 。最速降线问题的研究在力学史上是非常重要的，大部分力学或物理教材都将其作为一个经典范例加以介绍的，但是最速降线问题的完整解答，特是其中充分性的证明需要较多的 预备知识，故教科书一般仅限于介绍最速降线解的必要条件。本文说明，利用可动边界的变 分公式,通过广义环路积分统一表示变分法中的一些基本原理,如 Hilbe
5、rt 不变积分和包络 定理等等，在此基础可用较少篇幅说明最速降线问题解的充分性。另外还介绍如何用几何方法，证明有仅有一条旋轮线通过平面上任意两个给定的点 1 。这样就对最速降线问题的必要 性、存在性和唯一性，以及充分性给了较全面的介绍。1. 问题的描述设连接 A 点和 B 点的曲线具有 y = y( x) 形式，质点 P 在 A 点的初速度为 v1 ，由动能定理1v 2 v 2= 2g ( y y1 )(1)由(1)v =2g ( y )(2)1其中 = y1 v 2 / 2g (如果从 A 点向上正或斜抛质点 P ， 为其能达到的 y 坐标的最小值)。由 dt = ds / v ，及 ds
6、=到达 B 点所需时间1 + y2 dx ，然后通过积分获得质点 P 由 A 点沿曲线 y = y( x)I = I y( x) =1x21 + y2dx,( y )(3)2g x1y 最速降线问题的完整研究应该回答如下三个问题：(i)最速降线问题的解 y = y( x) 必须满足什么样的条件，即极值曲线必须是哪类曲线？(ii) 在满足必要条件的极值曲线簇中是否包含仅包含唯一一条极值曲线过 A 点和 B 点？(iii)在问题(i)和(ii)得到肯定回答后，证明过 A 点和 B 点的极值曲线确为最速降线问的解，即证明质点 P 沿任何其它曲线由 A 点运动至 B 点所需时间恒大于沿极值曲线所 需时
7、间。问题(i)、(ii)和(iii)分别对应必要性、存在性和唯一性，以及充分性问题。2. 必要性 一般的教科书对最速降线解的必要性都有介绍,这里主要列举主要结论。 考虑一般的变分问题I = I y( x) =x12x F ( x, y, y)dx(4)设 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 是平面 Oxy 上的两个固定点。问题是如何确定函数 y = y( x) 使泛函(4)在其上取极小或极大值。我们知道使泛函 I 为极值的函数（极值曲线）必须满足欧拉 方程Fy dFy = 0dx(5)若函数 F 不显含变量 x ，即 F = F ( y, y)(如(3)中的被积函数)，那么
8、欧拉方程(5)具有初积分F yFy = C(6)对于最速降线变分问题(3),利用初积分(6),就可证明最速降线必须是具有如下形式曲线：x a = b( + sin ), y = b(1 + cos )(7)其中 a 和 b 为积分常数。如果取半径为 b 的圆(生成圆)在直线 y = 之下作纯滚动(图 2)，设当 = 0 时圆周上的 M 1 点与 (a, ) 点重合，那么对径点 M 轨迹的方程即为(7)。这说明 了(7)表示旋轮线，同时也给出了积分常数 a 和 b 的物理含义 1 。y =bu(a, )M1 Oxy = D D0 DAO1bM ( x, y)ABB l0yll1l图 2 旋轮线图
9、 3 存在性和唯一性3. 存在性和唯一性设 A 点和 B 点给定，过 A 点和 B 点作直线 l ，在曲线簇(7)中任意选定一条旋轮线 (即给定 a 和 b ),如图 3 所示。作与 l 平行的直线 l ，其与 的两个交点分别记为 A 和 B ，过分别 A 点和 A 点作铅垂线交直线 y = 于 D 点和 D 点，记 D0 是 与 y = 的交点。设 l 由 l0 连续变化至 l1(其中 l0 和 l1 均于 l 平行，其中 l0 对应 A 点与 D0 点相重合,而 l1 与 相切( A 点和 B 点重合)，在此变化过程中，线段长度的比值AD / AB(8)由 0 单调地增至 + ，因此存在唯
10、一的 l 使比值(8)等于 AD / AB 。然后改变生成圆的半径(即调整 b 的大小)，使 AD = AD ，那么必然有 AB = AB ；最后水平移动旋轮线(即调整a 值)，使线段 AD 与线段 AD 重合(如此，则线段 AB 与线段 AB 必然重合)。于是有仅 有(7)中的一条旋轮线过 A 点和 B 点。Bernoulli 兄弟就是用上述几何方法，证明过 A 点和1B 点旋轮线是存在和唯一性的( v 为零特殊情况)1, 2 。4.充分性为了证明充分性, 我们先通过可动边界的变分公式，并利用极值场的概念，导出 Hilbert 不变积分。考虑一般的变分问题(4),假定变分问题中的两个端点 A
11、 和 B 不再是固定的，而是分别限制在曲线 y =f i ( x)(i = 1,2) 上，如图 4。泛函 I 在 y =f ( x) 处的变分可表示成3, 4x2I = d(Fy yy y 1F )y + (F yF )dx + F dy 2(9)x1dx其中 dx 和 dy 沿边界 y =f i ( x)(i = 1,2) 取得。yy =f 1 ( x )y = f 2 ( x )A( x1 , y1 )y = y ( x )B( x2 , y2 )xO图 4 可动边界的变分问题取定(7)中的 a 而让 b 变化，得到的单参数旋轮线簇覆盖了平面 Oxy 上的区域 y (图 5)，并且此区域中
12、任一点有一条并仅有一条属于此单参数曲线簇中的旋轮线通过，在区域 y 中任一点 M ( x, y) ，定义一个矢量 (1, p( x, y)T ，其中 p( x, y) = dy / dx 是过点M ( x, y) 旋轮线在该点处切线的斜率。这样在区域 y 中定义了一个向量场，称为极值场(或“极值场 p( x, y) ”)。Oy=(a,)xC13C DE343 42C43D243C13E344D42M(x, y)yp(x, y)21E121H1E212(a)(b)图 5 极值场图 6 环路现假定变分问题(4)的一簇极值曲线在以 C 和 D 为边界的某区域 H 中定义了一个极值场(图 6(a)。设
13、极值曲线由 E12 变到无穷小的相邻位置 E12 ，由(9)得积分(4)的增量1212 pp1I = I (E ) I (E) = (F pF )dx + F dy 2(10)积分(10)得：其中I ( E34) I ( E1224) = I * ( D13) I * (C )(11)24I * ( D ) =D24( F pFp)dx + Fp dy13 I * (C) 类似(12)(12)积分号下各量分别为：F = F ( x, y, p( x, y), Fp= Fy ( x, y, p( x, y) , p = p( x, y)(13)(11)可写成I ( E3442) + I * (
14、D) + I ( E2113) + I * (C) = 0(14)(14)可视为一种环路积分为零的表示(图 6(b)中的环路 34213 )，与普通的环路积分不同的是，(14)中的被积函数在极值曲线 E34 、 E21 上和边界 C13 、 D42 上分别是 Fdx 和( F pFp )dx + Fp dy 。可视为(14)一种广义环路积分与路径无关的表示。特别地，如果取由 E34 和 C43 构成的环路(图 6(a)，由（14），得ECF ( x, y( x), y( x)dx =3434( F pFp )dx + Fp dy(15)其中右边积分号下的各量取(13)式。(15)与曲线 C34
15、 的选取无关，只要其起点和终点分别与343 点和 4 点重合及 C 上的每点都在极值场 H 内即可。(15)称为 Hilbert 不变积分1,3,5 。O xAsy = E12Ms pBC 12y现证充分性。图 7 充分性证明示意图设 E12 和 C12 分别是连接 A 点和 B 点的旋轮线和任意一条异于 E12 的比较曲线(图 7)，不妨设 C12 可表示成形式 y = y( x)( x1 x x2 , y( x) I (E13 ) ,由(23)I (E A2 ) I (E A1 ) + I (E13 ) + I (E34 )(24)这样,质点 M 沿曲线 E A1 + E13 + E34
16、由 A 点滑到 N 所需时间要比沿 E A2 要少。可以证明存在一条连接 A 点到 N 曲线，质点 M 沿其由 A 点滑到 N 所需时间要比沿 E A2 要多，因 此 I (E A2 ) 既非极小值也非极大值。考虑旋轮线 1 ，1 点落在 A 点与 2 点之间,称点 1 为 A 点的共轭点，而 A 点没有共轭点。(22)是包络线定理(envelope theorem)的特例1,5 。由包络线定理，可导出所谓的 Jacobi必要条件：积分 I 在 E12 上取极值的必要条件是， E12 上没有 1 点的共轭点。参考文献1.G.A.Bliss. Calculus of Variations. Th
17、e Open Court Publishing Co., LaSalle,Illinois:19252.E.Mach.The Science of Mechanics. The Open Court Publishing Co.,Chicago:19193.艾利斯哥尔兹.变分法.人民教育出版社,19584.钱伟长变分法及有限元（上册）科学出版社，19805.拉甫伦捷夫, .留斯切尔涅克.变分学教程.高等教育出版社,1955How to prove the sufficient conditionfor the brachistochrone problem?Xie Jianhua( Depar
18、tment of Applied Mechanics and Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu,610031,China)Abstract: The paper uses the variation formula for moving boundaries and unifies several basic principles in the calculus of variations ,such as Hilberts invariant integral and envelope theorem, etc., by means of the integral on closed path of special type , then proves the sufficient condition for brachistochrone problem. Key Words: brachistochrone problem; cycloid; calculus of variations; sufficient condition; history of mechanics