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1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。集合与简易逻辑一集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合
2、P+Q=，若，则P+Q中元素的有_个。（答：8）（2）设，那么点的充要条件是_（答：）；（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_个（答：7）二遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，则实数_.（答：）三对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足集合M有_个。（答：7）四集合的运算性质：；.如：设全集，若，则A_，B_.（答：，）五研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：函数的定义域；函数的值域；函数图象上的点集，如（1）设集合，集合N，则_（答
3、：）；（2）设集合，则_（答：）六数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。（答：）七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如：在下列说法中：“且”为真是“或”为真的充分不必要条件； “且”为假是“或”为真的充分不必要条件； “或”为真是“非”为假的必要不充分条件； “非”为真是“且”为假的必要不充分条件。其中正确的是_（答
4、：）八四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若p 则q” ；逆否命题为“若q 则p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如：（1）“在ABC中，
5、若C=900，则A、B都是锐角”的否命题为_（答：在中，若，则不都是锐角）；（2）已知函数，证明方程没有负数根。九充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如：（1）给出下列命题： 实数是直线与平行的充要条件； 若是成立的充要条件； 已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_（答：）；（2）设命题p：；命题q:。若p是q的必要而不充分的条件，则
6、实数a的取值范围是 （答：）十一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_（答：）十一一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：或或RRR如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）十二对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_（答：）；（2
7、）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_.（答：）十三一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？ （、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_（答：（，1）十四二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。如（1）不等式的解集是
8、，则=_（答：）；（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为_（答：）；（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_（答：）。高考三角函数题型归类三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点。2006年高考从三角函数的图象、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角知识。一。2005年高考三角函数题型归类1。直接考查三角函数的基本公式与基本运算。例1、（1）（2006年湖北
9、卷）若的内角满足，则=（A） A. B. C. D. 17解A 。 ，。，=。（2）（2006年安徽卷）已知（）求的值；（）求的值。解：()由得，即，又，所以为所求。（）=。2。考查三角函数的图象与性质。例2（2006年福建卷）已知函数（I）求函数的最小正周期和单调增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。解：（I）的最小正周期由题意得即的单调增区间为（II）方法一：先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就
10、得到的图象。方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。（2006年辽宁卷）已知函数,则的值域是(A) (B) (C) (D) 【解析】即等价于，故选择答案C。【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。3。考查三角恒等变形与解三角形的知识。例3。（2006年湖南卷）如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.(1) 证明 ：;(2) 若AC=DC,求的值.解析：（1）评注：本题考查运用三角变换及三角形正余弦定理求解三角形中的有关问题。其中第一问的证明突破口是如何找到的角的大小关系；第二问题求解关键是如何利用题设条件
11、建立关于的三角方程，注意角的大小范围讨论，以免产生错解。例4。（2006年四川卷）已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。解：（） 即, （）由题知，整理得 或而使，舍去 例5（2006年江西卷）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）（1） 试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2） 求y的最大值与最小值解：（1） 因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG
12、，MAG，由正弦定理得则S1GMGAsina同理可求得S2（2） y72（3cot2a）因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin2164。考查三角函数在实际生活中的的应用。例6。（2006年上海卷）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？北2010ABC解.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=,
13、ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.5。考查三角函数与其他内容的综合。例7。（2006年辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) 【解析】，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。例8。（2006年湖北卷）设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的
14、基本知识，考查推理和运算能力。 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是d（，2），kZ.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.例9。（2006年全国卷2）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值解：（）若ab，则sincos0，2分由此得 tan1()，所以 ；4分（）由a(sin，1)
15、，b(1，cos)得ab，10分当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|最大值为112分二。2007年高考三角函数命题展望与预测三角函数部分在高考中具有一定的的地位，但试题难度不太大，是学生的主要得分题，下面是对2007年高考三角函数方向的几点预测：1 有关三角函数图象及其性质，其中求角的范围可能出现在选择题与填空题中，属基础题，要求学生掌握三角函数最基本的性质。2 有关三角变换及求值并结合三角函数的题可能出现在选择题与填空题中，要求学生掌握三角函数最基本的三角变换。3 研究三角形中的三角函数问题，是近几年中的高考热点题型。4 “横向三角题”即用三角函数知识解决一些实际问题可能出
16、现在大题中，属中档题，要求学生掌握其性质变换，具有推理能力、逻辑思维能力。5 高考中仍将重点考查两角和正、余弦公式及二倍角公式的应用。6 注意三角函数与新知识平面向量、求导等的结合，应关注三角函数在解决立体几何与解析几何计算问题中的应用。例1、如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。分析：10 要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；20 题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角作为变量来求解
17、。解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则m+n=30,令点Q的坐标为（x,y），则 0，。|AQ|2=x2+y2=m2+n2+2mnsinm2+n2+2mn=（m+n）2=900机艇中途东拐，x2+y20），过原点且倾角为和（0的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，（）用、m、n表示四边形ABCD的面积S；（）若m、n为定值，当在（0，上变化时，求S的最小值u；（）如果mn，求的取值范围.解：（）设经过原点且倾角为的直线方程为y=xtan，可得方程组又由对称性，得四边形AB
18、CD为矩形，同时0，所以四边形ABCD的面积S4|xy|（）S（1）当mn，即1时，因为m2tan2nm，当且仅当tan2时等号成立，所以由于0，0tan1，故tan得u2mn（2）当m1时，对于任意012，由于因为0tan1tan21，m2tan1tan2n2m2n20，所以（m2tan2）（m2tan1）0，于是在（0，上，S是的增函数，故取，即tan1得u所以u（）（1）当1时，u=2mnmn恒成立.（2）当1，即有（）24（）+10，所以，又由mn时，的取值范围为（2，1）（1，）评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.例5、设椭圆的中心是原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求此椭圆方程，并求椭圆上的点的坐标。解：由于椭圆的中心是原点，且由，因此可设椭圆参数方程为，其中k0。在椭圆上任取一点，则 若，则当从而这时椭圆方程为点的坐标为或，则当时，这与矛盾，此时无解。故满足条件的椭圆方程为此时